bài giảng giải tích một biến phần 2

Nếu f x ≥ 0 và tích phân +∞ Ra f xdx hội tụ thì ta có thể xác định được diện tíchcủa miền posi-Definition of an Improper Integral of Type 1 a If exists for every number , then provided t

Ví dụ 3.1 Hàm sin x là một nguyên hàm của cos x trên toàn trục số.

Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số

f (x) trên (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm số f (x) và kí hiệu là

Ví dụ 3.3

Z

dxsin2x cos2x =

Zsin2x + cos2xsin2x cos2x dx

a

Zsin(ax)d(ax)

1 − xa
2 = arcsinx

a+ C

TS NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com

x + 1

+C

Ví dụ 3.10

Zsin(3x) cos xdx = 1

2

Z(sin(4x) + sin(2x))dx

= −12

 cos(4x)

cos(2x)2

+ C

Zvdu

Ví dụ 3.12

Z

ln xdx = x ln x −

Zxd(ln x) = x ln x −

=p1 + x2ln(x +p1 + x2) −

Zp

=p1 + x2ln(x +p1 + x2) − x + C

2 − x) ln x −

Z(x3

= (x2− x + 2) sin x −

Z(sin x)(2x − 1)dx

= (x2− x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − 2

Zcos xdx

= (x2− x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − 2 sin x + C

= (x2− x) sin x + (2x − 1) cos x + C

TS NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com

x2± a2

3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 59

Giải Đặt t =√

x2± a2 thì dt = √xdx

x 2 ±a 2 hay làdx

Zdx

x2± a2dx ∓ a2

Zdx

Giải Đặt x = t2 thì dx = 2dt Vậy

Z

dx2(1 +√x) =

Z2tdt2(1 + t) =

Z

dt −

Zdt

t + 1 = t − ln |t + 1| + C

cuối cùng

Zdx2(1 +√x) =

√

x − ln(√x + 1) + C

TS NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com

Z(1 + cos 2t)dt = 1

2

2x

1 + x2

+ C

hay là

Zdx(1 + x2)2 = 1

Chú ý 3.3 Tổng quát đối với tích phân

I1 = 1aarctanxa + C

Thật vậy

In=

Zdx(x2+ a2)n

(x2+ a2)n −

Zxd

1(x2+ a2)n



(x2+ a2)n +

Z2nx2(x2+ a2)n+1dx



a + x

a − x

+ C, a 6= 0

3.3 Tích phân bất định của một vài lớp hàm 62

Định nghĩa 3.3 Hàm hữu tỉ đơn giản Hàm hữu tỉ đơn giản hay phân số hữu

tỉ đơn giản có dạng:

(x − a)k, k ∈ N∗

(x2+ px + q)k, p2− 4q < 0 (đk đó là đk để mẫu vô nghiệm)

Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản

= M

Ztdt(t2+ a2)k + (N −M p

2 )

Zdt(t2+ a2)k

3.3 Tích phân bất định của một vài lớp hàm 63

22

= −32

1

x2+ x + 1 +

12

Zdt(t2+ α2)2

trong đó t = x +12 và α =

√ 3

2

Ta tính

I1 =

Zdt(t2+ α2)2Đặt t = α tan u thì dt = cosαdu2 u và (t2 +α1 2 ) 2 = cosα44u Từ đó ta có

I1 = 1

α3

Zcos2udu = 1



u +sin 2u2

+ C

3

"

arctanx +

1 2

√ 3 2+

√ 3

2 (x + 12)3

4+ (x + 12)

#+ C

2x + 1

x2+ x + 1

!+ C

3.3 Tích phân bất định của một vài lớp hàm 64

• Nếu n ≥ m thì f (x) là hàm hữu tỉ không thực sự Khi đó nó là tổng của một

Mkx + Nk(x2+ px + q)k

Để tính các hệ số Ai, Mi, Ni, i = 1, 2, , k thì ta dùng phương pháp so sánh các hệ

số của luỹ thừa cùng bậc ở hai vế hoặc cho x một số các giá trị đặc biệt

Ví dụ 3.25 Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản

2+ 3x − 2(x + 1)2(x2+ x + 1)

Giải Phân tích f (x) dưới dạng

x + 1+

B(x + 1)2 + Cx + D

x2+ x + 1

3.3 Tích phân bất định của một vài lớp hàm 65

Ví dụ 3.26 Tìm tích phân bất định

Z

x2+ 2x − 12x3+ 3x2− 2x

Giải Ta có

2x3+ 3x2− 2x = x(2x − 1)(x + 2)Xét dạng phân tích

x2+ 2x − 12x3+ 3x2− 2x =

A

B2x − 1+

C

x + 2Quy đồng mẫu số ta được

Z

 12

1

15

12x − 1−

110

1

x + 2

dx

√

α2− t2 hay

Zdt

√

t2± α2 Đây là các tích phân ta đãbiết cách tính



x −14

+

s



x − 14

2

− 54

2 ... 3x2< /small>− 2x

Giải Ta có

2x3+ 3x2< /sup>− 2x = x(2x − 1)(x + 2) Xét dạng phân tích

x2< /small>+ 2x − 12x3+ 3x2< /small>− 2x =...

2 + 3t2< /sup>2t2< /small>+ 1Thay vào tích phân ban đầu ta

I =

Z (2 + 3t2< /sup>)dt(2t2< /small>+ 1)(1 + t2< /small>)

=

12t2< /small>+... data-page="19">

3.3 Tích phân bất định vài lớp hàm 72< /p>

2 + sin2< /sup>x

2 − cos2< /small>x =

2( 1 + tan2< /sup>x) + tan2< /sup>x2(1 + tan2< /small>x)