Định nghĩa tiệm cậnCho đồ thị C có nhánh vô tận.
Trang 1O x
y
y = f(x
)
Trang 2Định nghĩa tiệm cận
Cho đồ thị (C) có nhánh vô tận
y x
y
x y
x M C
M ( ), ( ; )
(d) là 1 đường thẳng
là tiệm cận thẳng của (C)M (C),limd(M,d) 0 đ /n (d)
M
O
y
x (C)
d M
Trang 3I Đường tiệm cận ngang:
Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu xlim y y0
O O
y = y0
y = y0
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi )x Đường thẳng y=yngang của đồ thị ( khi )0 là tiệm cận x
y = f(x)
y = f(x)
y0
y0
y
x
x y
Trang 4II Đường tiệm cận đứng:
Định nghĩa 2:
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
0
x xlim y
0
x xlim y
0
x xlim y
0
x xlim y
Trang 5Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
của đồ thị (khi )
Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi )
x o
x o x
O
y
O
x
x
y
y y
x0
x0
y = f(x)
y = f(x)
Trang 62
2
x
x y
Giải
3
2
2
x
x y
y
x
lim
3
y
x
lim
3
x
2
y
x
2
lim
y
x
=> Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi và khi x x
Trang 72
5 2
3
1
x x
x
x y
2 2
5 3 2
2
5
3
2
2
1 2
2
1
5 2
3
1 5
2 3
1
5 2
3
1 5
2 3
1
} 5
3
; 1 {
\ :
lim lim
lim lim
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
R D
TXĐ
x x
x x
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi và
5
1 5
2 3
1
2
2
lim
) (
x x
x
x
Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi và
x
3 / 5
3 / 5
x
Trang 8III Đường tiệm cận xiên:
Định nghĩa 3:
Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu
hoặc
b ax
x f
x
Trang 9y = f(x)
y = f(x)
y
y
y = ax +
b
y = ax
+ b
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi )
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị ( khi )
Trang 101
x
x
x y
TXĐ: D = R\{2}
2
13 7
f x x x x
x
2
13 7
f x x x x
x
2
13 7
3 2
1
x
x x
x
x y
Ta có:
=> Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khi và khi x x
Trang 11Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a)
b)
c)
)
y
x
x x
x f
1 5
4 1
2 )
y
Trang 12Chú ý:
)
0 1
0
b x
b x
b
a x
a x
a x
f
m
n n
n < m y = 0 Không có
n = m+1 Không có Có ( viết dạng y = ax+b+
với
m
n
b
a
y
0 )
(
x x
)
(x
Trang 13=> Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi và
)
) 1
( )
1 (
2 3
) 1 (
) 2 3
(
3 3
) 1 (
) 1 (
2 3
2
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
) 1 (
2 3
) 1 (
) 2 3
(
3
3 )
1 (
) (
0 )
1 (
2 3
) 1 (
) 2 3
(
3
3 )
1 (
) (
2
3 3 2
3 3 2 2
2
3 3 2
3 3 2 2
lim lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x f
x x
x x
x x
x x
x f
x x
x x
x
x
Trang 14=> Đg thẳng y = x là TCX của (C) khi và
x
x x
x f
TXĐ: D = R\{0}
x
f
x
lim
x
f
x
lim
0
=> Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi và
x
0
2
cos )
(
lim lim
lim lim
x
x x
x f
x
x x
x f
x x
x x
x
x
Trang 15=> ĐTHS có TCX: y=4x-9/4 khi
1 5
4 1
2 )
y
4
1
;
: D
TXĐ
=> Không có TCĐ
4
1 1
5 4
1 2
1 5
4 1
2
1 5
4 1 4
4
1 5
4 1
2
2 2
2 2
2
lim lim
lim
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
=> ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi
a x
x x
x
x
x
4
9 4
1 5
4 1
2
4
1 5
4 1
2
2
2
lim
lim
x
x
Trang 16O x
y
y = f(x
)