Phép biến hình trong mặt phẳng

VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Học phần: Ứng dụng phép biến hình giải các bài toán Hình học Lớp CĐSP Toán K06... Đó là phương pháp vận dụng các tín

Bài 3 VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN HÌNH HỌC

Học phần: Ứng dụng phép biến hình giải các bài toán Hình học

Lớp CĐSP Toán K06

1 Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai

điểm B, C cố định trên (O) Một điểm

A thay đổi trên đường tròn đó

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi là một đường tròn

Lời giải 1:

Gọi D là xuyên tâm đối của C Khi đó

BD ⊥ BC ⇒ BD//AH (cùng vuông góc với BC) Tương tự DA//BH Suy ra

ADBH là hình bình hành ⇒

(do (O), B, C cố định nên D cố định nên không đổi) Nên H = Đ(A) A

thuộc đường tròn (O) nên H thuộc

ảnh của đường tròn (O) qua phép

tịnh tiến theo véc tơ

AH = DB

uuur uuur

Lời giải 2

 Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác ABC, H là trực tâm BK, AI lần lần lượt cắt (O) tại D, E.

 Ta có ∆ AIC ~ ∆ BKC

 nên = ∠ IAC

 Đồng thời ∠ IAC = (cùng chắn cung EC)

Do đó: ∠ KBC= ∠ EBC Từ đó suy ra: ∆ BHE cân tại B ⇒ IH = IE ⇒ H = ĐBC(E)

 Khi A thay đổi trên (O) thì E thay đổi trên

Nhận xét 1

Bài toán trên có thể giải được chỉ

cần bằng các kiến thức hình học

THCS nhưng đã được giải ở đây theo phương pháp biến hình Đó là

phương pháp vận dụng các tính chất của phép biến hình (phép dời hình, phép đồng dạng, …) vào việc khảo sát các tính chất của hình, dựng

hình, tìm quỹ tích,…

Nhận xét 2

Về nguyên tắc, một bài toán hình học

thông thường có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp,

rất gọn gàng, ở một số bài toán khác,

phương pháp dựng hình cho ta một phương

án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự

đúng đắn của lời giải Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nhận biết một bài toán có khả

năng giải được bằng phương pháp biến hình

Thông thường, một bài toán giải

được bằng phương pháp dựng hình các

dữ kiện của nó các tính chất thường

xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan

hệ đáng chú ý đến một phép biến hình

cụ thể nào đó Từ đó vận dụng các

tính chất của phép biến hình này, ta

tìm ra lời giải hoặc đáp số

Ví dụ: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A Hãy dựng đường tròn tâm A cắt (O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C thẳng hàng.

Phân tích: Giả sử

bài toán đã được

dựng xong Khi đó

dễ thấy rằng B =

ĐA(C) nên B thuộc

đường tròn ảnh

của (O’) qua phép

đối xứng tâm A,

đồng thời B thuộc

(O) nên B là giao

của (O) và

ĐA[(O’)] Đường

tròn cần dựng là

(A, AB).

C

B

A

O'

O

Nhận xét: Ở bài toán trên, tính chất đối xứng của hai điểm B, C được thể hiện rất rõ trong yêu cầu của bài toán bởi hai điểm xuyên tâm đối của một

đường tròn thì đối xứng nhau qua tâm đường tròn đó

2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình.

Tính chất: Cho phép tịnh tiến

- Phép tịnh tiến là phép dời hình nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng,

đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường thẳng

- M’ = Khí đó

- Hai đường thẳng d và d’ =

song song với nhau

'

MM = v

uuuuur r ( )

v

T Mr

( )

v

T dr

Ví dụ 3 Chứng minh tồn tại một tam giác mà cạnh bằng các đường trung

tuyến của tam giác ABC cho trước và

có diện tích bằng ¾ diện tích tam giác ABC

( )

BN

Q T= uuur M

Gọi , khi đó

MQ = BN Đồng thời, P, N,

Q thẳng hàng và N là

trung điểm của PQ Ta

cũng chứng minh được

APCQ là hbh nên AQ = CP

Như vậy tam giác AMQ có

các cạnh lần lượt bằng các

trung tuyến của tam giác

ABC.

( )

BN

Q T= uuur M

S R

Q

M

A

B

C

Gọi R là trọng tâm của tam giác ABC, S = AC x

MQ Phân hoạc tam giác AMQ thành các tam

giác AMS, ANQ và QNS Khi đó dễ thấy rằng

SQNS = SMCS; SANQ = SANP = SPMA

Từ đó suy ra: SAMQ = SAMS + SANQ + SQNS = SAMS + SAPR + SMSC = SABC – SBPM = ¾

2 Ứng dụng phép đối xứng vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình.

đó:

- Phép đối xứng trục là một phép dời hình

nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng, đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường thẳng.

- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp.

- M’ = Đ∆(M) thì: ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng MM’

- Đ∆ là một phép dời hình nghịch nên nếu

A’B’C’ = Đ ∆ (ABC) thì hai tam giác ABC và

Giải: Gọi I là tâm của đường tròn γ

ta dễ thấy rằng đưòng thẳng OI là trục đối xứng của các đường tròn có tâm O

và I Trong đó: O = ĐOI(O), C = ĐOI(B),

D = ĐOI(A) Vì thế nếu O, A B thẳng

hàng thì theo tính chất của phép đối

xứng trục ta có O, B, C cũng thẳng

Ví dụ 4 Một đường tròn thứ ba (γ)

cắt hai đường tròn đồng tâm O lần lượt

ở trên (γ) ở các điểm A, B, C, D Chứng minh rằng nếu A, B, O thẳng hàng thì

C, D, O thẳng hàng

Ví dụ 6 Cho một điểm M chuyển

động trên đường kính AB của đường

tròn (O) Dây cung CD đi qua M cắt AB

và hợp với nó một góc 450 Chứng

ming rằng đại lượng p = MC2 + MD2

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

trên AB

Giải: Gọi C’, D’ lần lượt là ảnh của C, D qua ĐAB, Khi đó góc CMD’ bằng 900 và cung CD

bằng cung C’D’ cùng bằng 900 vì thế dây

cung CD’ có độ dài không đổi khi M chạy trên

MC2 + MD’2 = CD’2 (không đổi) Khi M = O, ta

có MC2 + MD2 = 2R2

2 Ứng dụng phép quay vào việc

khảo sát tính chất của hình và dựng hình.

Tính chất: Cho phép quay QOα Khi đó:

Phép quay là một phép dời hình

Nếu M’ = QOα(M) thì ∠MOM’ = α và OM’ = OM

QO- α là phép dời hình ngược của QOα Tức là: QO- α oQOα và QOα oQO- α

Q π = Đ

Ví dụ: Trong mặt phẳng, cho hai tam giác ABC và ADEcó các góc ở đỉnh

chung A bù nhau đồng thời AB ⊥ AD,

AB = AD, AC ⊥ AE, AC = AE Và hai

tam giác đó không còn đỉnh chung nào khác ngoài đỉnh A CMR đường thẳng chứa trung tyuến xuất phát từ đỉnh A của tam giác này cũng chứa đường

cao hạ từ A của tam giác kia

Giải: Ta thực hiện phép quay biến E thành và D thành D’ khi đó B, A, D thẳng hàng Trung tuyến AM trở

thành đường trung bình của ∆BCD’ nên song song với CD’ = (DE) Mà theo tính chất của phép quay CD’ ⊥

DE Từ đó suy ra AM ⊥DE (PCM)

1 Các bất biến trong phép dời

hình.

 Một khái niệm, tính chất hay một đại

lượng được giữ nguyên qua phép dời hình được gọi là một bất biến của nhóm dời

hình (như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, các hình hình học phẳng, ) Hình

học Euclide nghiên cứu các bất biến của phép dời hình Nói cách khác tập hợp tất

cả các bất biến đối với phép dời hình được gọi là hình học nhóm các phép dời hình (còn gọi là hình học Euclide)

ư

1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc khảo sát tính chất của hình

và dựng hình.

 Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai

điểm B, C cố định trên (O) Một điểm

A thay đổi trên đường tròn đó

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi là một đường tròn