phep bien hinh trong mat phang

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy I SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Sách giáo khoa lớp 11 môn Hình học đã giảm tải bỏ phần phép đối xứng qua một trục, phép đố

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy

I) SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Sách giáo khoa lớp 11 môn Hình học đã giảm tải bỏ phần phép đối xứng qua một trục, phép đối xứng qua một tâm, như vậy khi học phần này học sinh cảm thấy như bị thiếu hụt và khó nắm bắt ,phép biến hình trong mặt phẳng chỉ còn lại các phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự và phép đồng dạng.Các bài tập trong sách giáo khoa lại ít và số lượng thời gian lại nhiều bởi do giảm tải.Phép biến hình cho bởi quy tắc lại trừu tượng học sinh trung bình và yếu khó nắm bắt được thông tin của bài học Trong khi giảng dạy phần phép biến hình là vấn đề mới đối với học sinh

Vì lẽ đó nhằm đạt hiệu quả trong giảng dạy giảm bớt khó khăn cho học sinh nên tôi đã

cố gắng tìm tòi đúc rút ra được các vấn đề cốt lõi để cho học sinh dễ hiểu hơn các mối quan hệ của phép biến hình với nhau, bản chất của phép biến hình và phương pháp giải bài toán tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình qua các phép Tịnh tiến, phép quay, phép Vị tự , phép Đồng dạng và các vấn đề liên quan

Cho học sinh thấy được phép biến hình có nhiều ứng dụng giải các bài toán mà hình học thuần túy nan giải, phương pháp giải mà sách giáo khoa chưa đề cập đến hoặc là các kiến thức chưa có trong sách giáo khoa.Nó bổ sung đầy đủ các kiến thức của phép biến hình cho học sinh tiện lợi trong việc giải các bài tập phần này,mở rộng các kiến thức cần thiết cho học sinh học tập dễ dàng hơn

II) PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN

Chuyên đề được thực hiện giảng dạy trên các lớp 11c4,11c5,11c6 được chuyển tải đến người học một cách thiết thực và hiệu quả trong cả học kì một, ngoài ra cũng có thể

áp dụng chuyên đề này giải một số bài thi vào Đại học.Áp dụng giải quyết các bài tập của sách giáo khoa một cách nhanh chóng, phần chuyên đề phần phép quay được khai thác với các kiến thức mới mẻ

III) MÔ TẢ SÁNG KIẾN

I PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy

1) ĐỊNH NGHĨA

Phép biến hình trong mặt phẳng Oxy là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M(x;y) của mặt phẳng Oxy ta xác định duy nhất điểm M’(x’;y’) của mặt phẳng đó M’ là ảnh của của M qua phép biến hình F, kí hiệu F(M) =M’

Hình H’=M'x y'; ' | M'F M( ),M x y( ; )Hgọi là ảnh của hình H, ta viết

H’=F(H)

2)VÍ DỤ MINH HỌA

BÀI 1.Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm

M’(-2x+1;2y-1)

a)Tìm tọa độ A’ là ảnh của A(2;1)

b)Tìm phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d : 2x – y+ 3 =0

GIẢI

a)Gọi tọa độ của A’(x’;y’) khi đó  ' 2 1  ' 3 ' 3;1

A

b) d’M'x y'; ' | M' F M , M x y ; d

 

Ta có 

1 '

2

x x

y









  

 

 



 ; 

2

y 

+3 =0 2 'xy' 7 0

Vậy d’ : 2x+y – 7 =0

BÀI 2

Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm M’ sao cho

OM OMv v 

   

a)Tìm tọa độ M’

b) Cho d: 3x – 4y +6 = 0.Tìm d' F d 

GIẢI

a)Gọi tọa độ M’(x’;y’)OM'x y'; ' , OM  v x3;y2

b) Gọi tọa độ M’(x’;y’) là ảnh của Md qua F



3 ' 3 4 ' 2 6 0

Md  x   y    3 ' 4 ' 11 0x y 

Vậy d’: 3x-4y -11 = 0

BÀI TẬP

Trong mặt phẳng Oxy, cho phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm

M’(x;1

3y)

a)Tìm tọa độ A’ là ảnh của A(2;-3)

b)Tìm phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d : x – y+ 3 =0

c)Tìm phương trình ảnh của đường tròn (x-1)2+(y-2)2= 4

1)Trong mặt phẳng Oxy, cho va b; 

và M(x;y) M’=    '; '

v

T M  x y MM ' v

 ' '

 

  2)BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI1

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x- 2y +3=0 véc tơ

2; 1



a) Tìm d’=T v d

b)Tìm d1 sao cho d=T d v 1

Định hướng cho câu a)

Qua phép tịnh tiến đường thẳng biến thành đường thẳng

Cách 1 Ta sử dụng d’M'x y'; ' | M' T v M , M x y ; d

Từ biểu thức tọa độ  '

'

 

'

 



  thay vào phương trình của d

Cách2 d’=T d v  '/ /

'



   nên d’ phương trình có dạng x- 2y +c = 0 (*)

Tìm c ta tìm ảnh của M thuộc d là M’ thay vào phương trình (*)

Cách 3 Đường thẳng d’ đi qua M’, N’ sao cho '  , '  

M T M N T N trong đó M,

N là hai điểm phân biệt của d

GIẢI

a) d’=T d v  '/ /

'



  

x

O

M'

M

nên phương trình d’ có dạng x- 2y +c = 0 (*)

lấy MdM 3; 0M'  1; 1d' c= -1

vậy d’ : x -2y -1 = 0

b) d=T d v 1  1

1

/ /



 

 nên d1 có dạng x- 2y +c = 0 (**)

lấy lấy M' d M' 3;0M''(-5;1)d1

-5 – 2 +c = 0 hay c =7 thay vào (**)

Vậy d1: x – 2y +7 =0

BÀI2

Phép tịnh tiến T v biến đường tròn (C) có phương trình x2+y2-2x +2y – 7 = 0

thành đường tròn (C’) : (x - 2)2+(y -1)2= 9 Tìm tọa độ v

GIẢI

Hai đường tròn (C), (C’) có tâm I(1;-1) và I’(2;1) có bán kính R=R’=3

  ' '

v

T I I II   v v

(1; 2)

III) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY

1) ĐỊNH NGHĨA

Cho một điểm O cố định và góc lượng giác  Phép biến hình F biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho :

'





 Gọi là phép quay tâm O góc  Kí hiệu M' QO, M

2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY

a)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) và góc lượng giác  Gọi

 ,  

M Q  M =(x’;y’) thì : ' cos y sin

CHỨNG MINH

Gọi Ox OM; ,OM' OM aOx OM; ' 

' cos cos

' :

M

 





Ta được

hay  ' cos y sin

Đặc biệt

90 M' y x;

90 M' y; x

Kết quả :Cho tam giác ABC,ABx0 ;y0 0 

tam giác ABC vuông cân tại A là

 0 ; 0



b)Tâm quay O 1 khác gốc tọa độ O

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm O1(x0; y0),góc lượng giác  và M(x;y) Gọi

 1,  

' ( ) cos (y-y ) sin ' ( ) sin ( ) cos





CHỨNG MINH

Sử dụng công thức chuyển hệ trục từ Oxy đến O1XY

Y

x y

y0

x0

M

O1

O

Y

X y

x

0

0



  



Trong hệ trục O1XY với M(X;Y)

 1,  

M Q  M =(X’;Y’) thì : ' cos sin

Theo công thức chuyển hệ trục ta có





Hay

' ( ) cos (y-y ) sin





Đặc biệt

0 0

' 90

'

       



0 0

' 90

'

       



c) BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài1) Bài tập sách giáo khoa hình học 11 trang 19

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;0) và đường thẳng d có phương trình

x+y-2=0 Tìm ảnh của A và d qua phép

O,90 0

Q

GIẢI

90

  , Nếu M(x;y) thì M’(-y;x)

A(2;0) thì A’(0;2)

 ,900   

Md M Q M  x y ta có  '  '

'



Vì Md  y'x' 2 0 hay x – y +2 = 0

Vậy ảnh của d là d’ : x- y +2 =0

*Cách 2

Tìm hai điểm M,N của d , tìm ảnh của nó qua phép

 0

,90

O

Q là M’ và N’

Đường thẳng cần tìm đi qua M’ và N’

Bài2

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

x2+y2 -2x-4y+1=0.Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O góc -900

*Phân tích:

Muốn tìm ảnh của đường tròn ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn đó Theo tính chất của phép quay đường tròn biến thành đường tròn có cùng bán kính

Từ phương trình của (C) tìm tọa tâm I và bán kính R=2

Tìm I’=

O, 90 0 

 bằng công thức  '

'



  và R’= R=2

GIẢI

Tọa độ tâm của đường tròn (C) là I(1;2), bán kính R=2

Tìm ảnh của I là I’ : ' 2

x y



  I' 2; 1   Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm : (x-2)2+(y+1)2= 4

Cách khác

Gọi M(x;y) thuộc (C) có ảnh M’(x’;y’) qua

 0

, 90

O

Q



Mà  '

'



  thay vào phương trình của (C) ta được y'2 x' 2 2 ' 4 ' 1y  x   0 Hay x2+y2- 4x+2y +1= 0

BÀI 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình

x+y-2=0 Tìm ảnh của d qua phép

 0

1 ,90

O

Q với O1(1;2)

GIẢI

 1,900   

0 0

' 90

'

       



Vì Md y' 1    3 x'  2 0   x' y'  0 hay d’: x –y =0

BÀI4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;-1) ,B(3;4) Tìm ảnh của A, B qua phép

 0

1 ,30

O

Q với O1(1;2)

GIẢI

ta có 0

30

 





 



5 '

' 2

2

x

A y







  



và B' 3;3  3

BÀI 5

Cho hai đường tròn (C) và (C’) lần lượt có phương trình

x2+y2 -2x -4y +1= 0 và x2+y2+4x = 0 Tìm tọa độ tâm của phép quay góc 900 biến (C) thành (C’)

GIẢI

Ta có tâm (C) là I(1;2) ,R =2

Tâm của (C’) là I’(-2;0), R’=2

 Gọi tọa độ tâm quay O1(x0;y0)

 Áp dụng kết quả ta được

I’=

 0 

1 ,90

O

0 0

' 90

'

        



0

0

1

2

1

2

x

y







 

  



1

;

0

0 0

2

0 0

0

3

3 5

;

2

x

O

y



 





   



BÀI 6

Trong mặt phẳng Oxy,cho hai đường thẳng d: 2x-y +4 = 0 và d’:x -3y – 2 = 0 Tìm tọa độ hai điểm A, B lần lượt nằm trên d’ và d sao cho tam giác OAB vuông cân tại O

GIẢI

Gọi d1=

 0

,90

O

' '; '

y

B

A O

d' d

O

B A



Md  yx  hay x+2y+4 =0

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

8

5

x

A y



 

  



B =

 0

, 90

O

Q

 (A)

6

6 8

5

B

B

x

B

y



 





 

 BÀI 7 Khối D-2011

Trong mặt phẳng Oxy ,cho điểm A(1;0) và đường tròn (C) : x2y2 2x 4y  5 0 Viết phương trình đường thẳng Δ cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

GIẢI

Gỉa sử góc lượng giác AM AN ,  90

Gọi M0x y0; 0   C 2 2  

 0 1; 0,  0 ; 0 1 , 1 0 ; 0 1

Từ (1) và (2) ta có 0 0





2;1 , 0;1 Δ : 1 0

 2; 3 , 4; 3 Δ : 3 0

BÀI TẬP

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3;3), B(0;5), C(1;1) và đường thẳng d:

5x -3y +15 = 0.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và d’ theo thứ tự là ảnh của tam giác ABC và d theo phép quay

O,90 0

Q

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho d: x +y– 2=0.Hãy viêt phươngtrình

 ,45 0 

3) Trong mặt phẳng Oxy ,tìm ảnh đường tròn qua

O,90 0

Q

a) (x+1)2+(y-1)2=9 b) x2+y2- 4x -2y – 4 =0

4) Trong mặt phẳng Oxy,cho hai đường thẳng d: 2x-y +4 = 0 và d’:x -y – 2 = 0 Tìm tọa độ hai điểm A, B lần lượt nằm trên d và d’ sao cho tam giác OAB là tam giác đều Hướng Dẫn

'

'



O,600  1 : 2 3 2 3 1 8 0

1

2 0 '

  





23 17 3

13

3 17 3

13

x

y





 

 

 



 0 

0, 60





5)Bài 2 trang 34 SGK 11

Trong mặt phẳng Oxy,cho A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình

3x+ y +1 =0.Tìm ảnh của A, d qua phép quay tâm O góc 900

Hướng dẫn

Gọi A’ là ảnh của A

2 ' 2; 1 1

A

Gọi M(x’;y’) là ảnh của M(x;y) thuộc d qua phép quay tâm O góc 900



Md3y’-x’+1 =0

d’ : -x+3y+ 1 =0

6) Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;2) và hai đường thẳng

1: 2 1 0, 2: 2 8 0

d x y  d x y  Tìm các điểm B,C,D sao ABCD là hình

vuông,Bd D1, d2

7) khối B-2007

Cho A(2;2) và hai đường thẳng

Δ :xy  2 0, Δ :xy  8 0.Tìm tọa độ hai điểm B,C lần lượt thuộc Δ , Δ1 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài này nếu Δ , Δ1 2 cắt nhau vẫn thỏa mãn

IV)PHÉP DỜI HÌNH

1) ĐỊNH NGHĨA

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì Trong mặt phẳng Oxy cho phép dời hình F, M’=F(M) và N’=F(N)

' '

  x N'x M'2y N'y M'2x N x M2y N y M2

*Nhận xét quan trọng

1.1)Thực hiên liên tiếp các phép dời hình là 1 phép dời hình

1.2) Phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay đều là phép dời hình

VÍ DỤ 1

Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến M(x;y) thành M’(x’;y’) sao cho

'

'









a) Chứng minh F là phép dời hình

b) Tìm ảnh của đường thẳng d : 2x- y +1 = 0 qua F

GIẢI

a) Gọi M’(x’;y’) và  ' '

1 1

' ;

N x y lần lượt là ảnh của M(x;y), N(x1;y1)

   

= 2  2 2

b) gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) thuộc d khi đó d'M' |M'F M ,Md

'

'













 



d’: 2x +y +1 = 0

VÍ DỤ 2

Phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’)

sao cho  ' 2 1

a) Tìm ảnh của A(2;1) qua F

b) F có phải là phép dời hình không ?

GIẢI

a) Thay tọa độ của A vào công thức  ' 4

' 3

x y



 vậy A’(4;3) b) x= y = 0 ta có B’(1;-1)

A B    AO   không phải là phép dời

VÍ DỤ3 Phép quay là phép dời hình

Chứng minh

Để đơn giản chọn tâm quay là gốc tọa độ O, góc quay 

Gọi M’(x’;y’) và  ' '

1 1

' ;

N x y lần lượt là ảnh của M(x;y), N(x1;y1) qua phép quay

O, 

M’: ' cos sin



'

'







Đpcm

Chứng minh bốn phép biến hình còn lại cũng là phép dời là đơn giản

2) BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1(bài tập 1 trang 23 sách giáo khoa hình học 11)

Trong mặt phẳng Oxy cho A(-3;2), B( -4;5) và C(-1;3)

a) Chứng minh rằng A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép

O, 90 0

Q



GIẢI

90 ' :

'

A

          

 đúng

vậy A’ là ảnh của A qua

O, 90 0

Q

 Tương tự Kiểm tra với hai điểm còn lại

BÀI 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x- 2y +3 = 0 Tìm ảnh của d khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ v  1; 2 

và phép quay tâm O góc -900

Phân tích

Đây là phép dời thực hiện liên tiếp T v ,

O, 90 0

Q



Bước 1: phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với

nó

'/ /

'



Bước 2

Tìm c bằng cách tìm M thuộc d có ảnh M’ thuộc d’theo công thức  '

'

 

Được phương trình d’

*Chú ý tìm d’ có đến 3 cách giải

Bước 3

Tìm ảnh của d’ =

 0

, 90

O

Q

 (d)

GIẢI

'/ /

'

 



Lấy MdM 3; 0T M v M'  2; 2

Vì M' d      2 4 c 0 c  2

  '

V

T d d : x- 2y – 2 = 0

 Gọi

 0   

, 90

O





Thay vào phương trình d’: -y’-2x’ -2=0

Vậy d’’: 2x +y +2= 0

BÀI TẬP

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho v  3;1

và đường thẳng d có phương trình 2x-y = 0 Tìm ảnh của d qua phép dời thực hiện liên tiếp

O,90 0

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho v    1;1

và đường tròn (C) có phương trình (x-2)2 +(y -1)2 = 4.Tìm ảnh của (C)qua phép dời thực hiện liên tiếp T vvà

 0

, 90

I

Q

 với I(1;2)

V)PHÉP VỊ TỰ

1) ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm O và số k 0.Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

'

 

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Kí hiệu M'VO k,  M OM'kOM

2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP VỊ TỰ

Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y) và k 0 khi đó

 ,  

' O k

M V M =(x’;y’) OM'kOM

 ' '





Tổng quát tâm vị tự là I(a; b)

' '

'



' '

 



BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;-2) và đường thẳng d có phương trình

3x -4y +6 =0 Tìm:

a) Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm O và tỉ số k =3

b) Tọa độ của B sao cho VO,3 B A

GIẢI

a) Ta có A’ là ảnh của A có tọa độ  ' 3  ' 3 ' 3; 6 

A

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) d

Tọa độ M’=VO,3 M là 

'

3

x x

y









 



 



3

Vậy d’ có phương trình 3x-4y +18 = 0

Tổng quát : Nếu M(x;y) thì VO k,  M M'M'kx ky; 

Nếu đường thẳng d có phương trình ax+by +c = 0

O k,   '

V d d có phương trình ax+by +kc = 0

VÍ DỤ:

Trong mặt phẳng Oxy, d có phương trình 2x – 3y + 6= 0 thì VO, 2  d d' có phương trình 2x- 3y – 12 = 0

b) VO,3 B A

1

3

B

B

x

y















;

chú ý tìm phương trình đường thẳng có đến 3 cách giải

BÀI 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;-2) và đường thẳng d có phương trình

3x -4y +6 =0.Tìm

a) Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm B(-1;1) và tỉ số k =3

b) Ảnh của (C) có phương trình (x+1)2+(y-3)2=9 qua VB,3

GIẢI

'

'





 

' 8 ' 3 2 1 1

y y

 

'

'



' 2

3

x x

y









 



 ' 2 4 ' 2 6 0

3

d’: 3x – 4y +4= 0

b)Đường tròn (C) có tâm I(-1;3) và R =3

gọi I’(x’;y’) là ảnh của I qua VB,3

 ' 1 ' 1; 7

' 7

x

I

y

 



Phương trình (C’) có phương trình (x+1)2+(y-7)2=9

BÀI 3

Thực hiện liên tiếp phép vị tự tỉ số k 1và một phép tịnh tiến là một phép vị tự

GIẢI

Xét phép vị tự      1

1 1 1 ,

1

;

O k







1

1

' '

'

v







'

'



 

 Phép vị tự tâm ' ;

O

 tỉ số k BÀI4

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2;-1) và hai đường thẳng d có phương trình 2x-3y-5

= 0 và d’: 2x-3y -3 =0.Phép vị tự tâm I tỉ số k biến d thành d’ tìm k ?

GIẢI

Lấy M thuộc d M1; 1  

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M , IM    1; 0

' 2 '

y

   



y

 Thay vào phương trình d’

2(-k+2) +3 – 3 =0 k 2

BÀI TẬP

1)Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường thẳng d có phương trình

3x -2y +6 =0 Tìm:

Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm O và tỉ số k = - 1

2 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;-2) và đường thẳng d có phương trình

3x -2y - 6 =0.Tìm

a)Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm B(1;1) và tỉ số k =2

b)Ảnh của (C) có phương trình (x+1)2+(y-2)2=4 qua 1

, 2

B



VI) PHÉP ĐỒNG DẠNG

1)Khái niệm

Trong mặt phẳng Oxy, phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k

(k >0) nếu M x M;y M,N x N;y N có ảnh lần lượt là  ' '   ' ' 

' M ; M , ' N ; N

M x y N x y ta có

VÍ DỤ

Trong mặt phẳng Oxy, phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành

M’(-2x+3;2y-1).Chứng minh F là phép đồng dạng