Luyện thi HSG toán 9

d Tính diện tích tứ giác DENM.. Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác.. Gọi O là t

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Luyện thi HSG toán 9

Năm học : 2010 - 2011

Đề số 1

Câu 1: ( 4 điểm) Giải các phơng trình sau:

a) 9 12 − x+ 4x2 = 4 b) x2 − 2x+ + 1 x2 − 6x+ = 9 1

Câu 2: ( 4 điểm) a) Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng: a2 + b2+ c2+ d2 ≥ 1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x2 + 2x+ + 1 x2 − 2x+ 1

Câu 3: (4 điểm) a) Cho a = x + y; b = x2 + y2; c = x3 + y3 C/m rằng: a3 - 3ab +2c = 0 b) Cho 2 số x, y thoả mãn: 2x2 + 12 2

4

y

x + =4, (x≠ 0).Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4: ( 6 điểm) Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH chia cạnh BC thành 2đoạn BH

= 4cm và CH = 9cm Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N

a) Tính độ dài DE

b) C/m M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH

c) C/m 2  BDH và BHA đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng

d) Tính diện tích tứ giác DENM

Câu 5: (2 điểm) Cho ABC có góc ABC bằng 300, góc BAC bằng 450

Gọi M là trung điểm của BC Tính số đo góc AMC

= x3 + 3x2y + 3xy2+ y3 - 3x3- 3xy2- 3x2y- 3y3+ 2x3 +2y3

= (3x3 -3y3) +(3x2y- 3x2y) +(3xy2 - 3xy2)

A

EGT

KL

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

a) ABC vuông tại A, đờng cao AH, ta có: AH = BH HC = 4.9 2.3 6 = = (cm)

b) Tứ giác ADHE có àA D E= = = à à 90 0 nên là hình chữ nhật Suy ra AH = DE = 6 cm.

Gọi O là giao điểm của AH và DE, ta có: OA = OH = OE = OD ⇒OHE OEHã = ã (2 góc

đáy  cân OHE) Mà ãEHN OHE OEH HEN+ã =ã +ã = 90 0 ⇒ ãEHN=HENã ⇒NHE cân tại N⇒

NH = NE (1)

* C EHN CEN HENà + ã = ã + ã = 90 0 ⇒ C CENà = ã ⇒ NEC cân tại N ⇒NC = NE (2)

Từ (1) và (2) suy ra NH = NC Vậy Nlà trung điểm của HC

C/m tơng tự ta có: M là trung điểm của BH

c) Xét BDH và BHA có: BDHã =BHAã = 90 ; 0 ãBHD BAH=ã (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) ⇒ BDH ~ BHA (g.g) ⇒k = 3,3 0,55

*  MDC có ãMDC DMC=ã = 60 0 Vậy  MDC là tam giác đều, do đó DM = DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra  DMA cân tại D , do đó DMA DAMã =ã và

DMA DAM+ =MDB= (t/c góc ngoài tam giác) hay 2.MABã = 30 0 ⇒MABã = 15 0

ãAMC= ãABM MAB+ã = 30 0 + 15 0 = 45 0 Vậy ãAMC= 45 0

2/ Biết a, b là hai số thực dơng thoả mãn ĐK a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:

Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác Chứng minh rằng:

1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH

2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG

3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng

Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a, đờng cao AH Gọi O

là trung điểm của BC, D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Tìm giá trị lớn nhất của;

Trêng THCS Xu©n Hng GV: Lª Träng Tíi

⇔ 12 12 12

a +b +c + 2 = 4 ⇔ 12 12 12

a +b +c = 22) Ta cã: VT =

1

n

− + <1(V× n∈N* nªn

1) XÐt MNO vµ AHB cã: + ·MNO ABH= · (gãc cã c¹nh t¬ng øng song song, v×

MN//AB; ON//HB do cïng vu«ng gãc víi AC)

+ ·NMO BAH= · (Gãc cã c¹nh t¬ng øng song song, v× MN//AB; OM//HA do cïng vu«ng

HA = AB = ); OMG GAH· = · (so le trong)

Suy ra AHG ~ MOG (c.g.c)

3) Do A, G, M thẳng hàng nên tổng 3 góc: AGN, NGO, OGM bằng 1800; mặt khác do 2 góc AGH và MGO bằng nhau (theo câu 2) suy ra tổng 3 góc HGA, AGN, NGO bằng

1800 Vậy 3 điểm H, G, O thẳng hàng (đpcm)

Câu 5: (2 điểm)

GT ABC, àA= 900, BC = 2a, AH ⊥ BC

OB = OC, HD ⊥ AB, HE ⊥ AC

1) Tính maxDE = ?

2) Tính maxSADHE = ?

C/m;

1) (1 đ) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông (àA D E= = =à à 90 0) nên là hình chữ nhật, do đó: DE

= AH Suy ra DE lớn nhất ⇔AH = AO = a ⇔ ABC vuông cân tại A

Vậy Max DE = a ⇔ ABC vuông cân tại A.

2) (1 đ) Ta có SADHE = AD.AE ; AH2 = AD.AB AD AH2

Câu 3: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: 10 + 60 + 24 + 40 = 5 + 3 + 2

2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1

Câu 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng

AB, ta kẻ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB Lấy trên Ax một điểm C

và trên By một điểm D sao cho: AC.BD = 2

A

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

4 (4) Mặt khác (a2 - b2)2 ≥ 0 ⇔a4 + b4 - 2a2b2 ≥ 0 (5)

Cộng vế với vế của 2 BĐT (4) và (5), ta đợc: 2(a4 + b4) >1 4 4 1

4 ⇔a + ≥b 8 (đpcm)2) Với 2 số x, y > 0, ta có: ( ) ( )

Suy ra: 1 1x+ ≥y x y+4 Dấu "=" xảy ra khi x = y

* Trong một ∆ tổng 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại nên 1 ;

VT = ( ) ( ) ( )2 2 2

5 + 3 + 2 + 2 5 3 2 5 2 2 3 2 + +

= ( )2

5 + 3 + 2 = 5 + 3 + 2 = VP (đpcm)2) Ta có: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 + xy = x2 + y2

Vậy quỹ tích điểm I là nửa đờng trònđờng kính AB (phần nằm trong nửa mặt phẳng

bờ là đờng thẳng AB, có chứa Ax)

Câu 5: Kẻ AH ⊥BC

yDI

xC

1 22

2

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Trong vuông AHC, ta có: AC2 = AH2 + HC2 = (c.sinB)2 + (a - c.cosB)2

= c2sin2B + a2 + c2.cos2B - 2ac.cosB = a2 + c2( sin2B + cos2B) -2ac.cosB

⇒ b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (đpcm)

Đề số 4:

Câu1: (3 điểm) Trong hệ toạ độ xôych hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d1) và y

= - x + 2 (d2) Gọi giao điểm của d1 và d2 là A, giao điểm của d1, d2 với Ox lần lợt là B, C 1) Tính diện tích tam giác ABC

2) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 2: (4 điểm) Giải các phơng trình:

Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC,

các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác Chứng minh rằng:

1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH

2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG

Diện tích ABC có BC = 3; đờng cao AH = 3/2 ⇒ SABC =1/2.3.3/2 =9/4 (đvS)

2) Ta có a1.a2 = 1.(-1) = - 1 ⇒ d1⊥d2 tại A ⇒ ABC vuông tại A

⇒ đờng tròn ngoại ABC có tâm I là trung điểm của BC bán kính

y

x

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

2=0 ⇔2a - 1 = 0 ⇔a =1

2; 4

2 1 2

ABC có: MB = MC, NA = NC (GT) suy ra MN là đờng trung bình nên MN//AB; H

là trực tâm nên AH vuông góc với BC, BH vuông góc với AC; O là giao điểm của các ờng trung trực nên OM vuông góc với BC, ON vuông góc với BC Do đó AH//MO (Do cùng vuông góc với BC), BH//ON(do cùng vuông góc với AC)

đ-1) Xét MNO và ABH có: ãNMO HBA= ã (góc có cạnh tơng ứng song song);

MNO ABH= ( góc có cạnh tơng ứng song song) Suy ra MNO P ABH (g.g)

2) MNO P ABH suy ra 1

3) AHG P MOG suy ra HGA OGMã = ã (2 góc tơng ứng)

Ta có: ãHGO HGA AGN NGO OGM= ã + ã + ã = ã + ãAGN NGO+ ã = 180 0 Suy ra 3 điểm H, G, O thẳng hàng

Câu 4: (2 điểm)

A

No

HG

ABC , MB = MC, NA = NC

GT Trực tâm H, trọng tâm G, O là giao của các đờng trung trực

a) MNO P ABH

KL b) AHG P MOG c) H, G, O thẳng hàng

+ ; b =

2 2

2 1

c c

+ ; c =

2 2

2 1

a a

a) Tính độ dài AE

b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC

c) Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N

K

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Chứng minh M là trung điểm của BH; N là trung điểm của CH

d) Tính diện tích tứ giác DENM

Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A Hãy xác định trên cạnh AB điểm D, trên cạnh AC điểm E sao cho DE song song với BC và DE = DB + EC

"=" xảy ra khi a = b = c Suy ra a = b = c = 0 và a = b = c =1

Mà 3(a2 + b2 + c2) = (11 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c)2 - 3(a + b + c) - 4 ≤ 0

Đặt x = a + b + c ta có: x2 - 3x - 4 ≤ 0 ⇔(x2 - 4x) + (x - 4) ≤ 0

⇔x(x - 4) + (x - 4) ≤ 0 ⇔(x - 4)( x + 1) ≤ 0

a) ABC vuông tại A, đờng cao AH, ta có: AH = BH HC = 4.9 2.3 6 = = (cm)

+ áp dụng đ/l Pi -Ta Go vào AHC vuông tại H ta có: AC2 = AH2 + HC2 suy ra:

+ AHB vuông tại H, đờng cao HD, ta có: AH2 = AD.AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD.AB = AE.AC (đpcm)

c) Tứ giác ADHE có àA D E= = = à à 90 0 nên là hình chữ nhật Suy ra AH = DE = 6 cm

Gọi O là giao điểm của AH và DE, ta có: OA = OH = OE = OD ⇒OHE OEHã = ã (2 góc

đáy cân OHE) Mà EHN OHE OEH HENã + ã = ã + ã = 90 0 ⇒EHNã =HENã ⇒ NHE cân tại N

⇒NH = NE (3)

C EHN CEN HENà + ã = ã + ã = 90 0 ⇒C CENà = ã ⇒ NEC cân tại N ⇒NC = NE (4)

Từ (3) và (4) suy ra NH = NC Vậy N là trung điểm của HC

C/m tơng tự ta có: M là trung điểm của BH

d) Vì MD và NE cùng vuông góc với DE nên MD//NE do đó tứ giác DENM là hình thang vuông Mặt khác NE = NH = NC = 9:2 = 4,5 (cm); DM = MH = 4:2 = 2 (cm);

A

EGT

KL

EF

xB

D

450

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Qua E dựng đờng thẳng Ex//AB cắt BC tại F thì BF = DE, DB = EF

Qua C dựng đờng tjhẳng Cy tạo với AC một góc 450 (Cy khác phía với CB đối với CA) và cắt Ex tại I thì CE = EI Ta có DE = BF = EF + EI = FI do đó BFI cân tại F nên IBFã =BIFã , mà ãABI =BIFã (so le trong) ⇒ ãABI =IBFã do đó BI là phân giác của góc B

Từ đó suy ra cách dựng

b) Cách dựng:

+ Dựng phân giác góc B, dựng đờng thẳng Cy tạo với AC 1 góc 450 Hai đờng thẳng này cắt nhau tại I

+ Từ I dựng đờng thẳng Ix song song với AB cắt AC tại E, cắt BC tại F

+ Từ E dựng đờng thẳng song song với BC căts AB tại D, ta có D, E là 2 điểm cần tìm

c) Chứng minh: Theo cách dựng ta có:

+ Tứ giác BFED là hình bình hành (Vì DE// BF, EF//BD) nên DE = BF, FE = BD (1) + BI là phân giác của góc B nên ãABI = ãIBF, mặt khác ãABI =ãBIF(so le trong) nên

ãIBF= ãBIF do đó BFI cân tại F, suy ra FB = FI = FE + EI (2)

+ ECI vuông cân tại E (vì àE= 90 ; 0 ãECI = 45 0) do đó EI = EC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DE = BD + EC thoả mãn yêu cầu bài ra

d) Biện luận:

+ Đờng phân giác của góc B cắt Cy tại 1 điểm I Từ I chỉ kẻ đợc 1 đờng thẳng Ix vuông góc với AC tại E

+ Qua E chỉ kẻ đợc 1 đờng thẳng song song với BC và cắt AB tại 1 điểm D

Vì vậy bài toán luôn xác định đợc 1 điểm E trên AC, 1 điểm D trên AB để DE//BC và

DE = BD + EC Tức bài toán có 1 nghiệm hình

1/ Chứng minh rằng: Nếu a > 0, b > 0 thì: (a + 2)(b + 2)(a + b) ≥16ab

2/ Chứng minh rằng với mọi a ≥2 thì 2 1 2 1 1

c) Chứng minh: MAB đồng dạng với ABC Tìm tỉ số đồng dạng

Câu 5: (3 điểm) Cho ABC có Bà = 60 , 0 Cà = 20 , 0 BC= 4cm Gọi D là trung điểm của

AC Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = CD Tính tổng diện tích các ECD và ABD.

* Nếu - 1≤ <x 3, phơng trình có dạng: x + 1 - 3 + x = 4 ⇔ 0x= 0, nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc khoảng đang xét

* Nếu x ≥3, phơng trình có dạng: x +1 + x - 3 = 4 ⇔2x = 6 ⇔ =x 3(Thoả mãn ĐK trên) Vậy PT có tập nghiệm S = {x x R∈ − ≤ ≤ , 1 x 3} .

1 1 1

Câu 3: (4 điểm) 1) Vì a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

a + 2 ≥2 2a ; b + 2 ≥2 2b ; a + b ≥2 ab Do đó, nhân vé với vế của 3 BĐT này ta có: (a + 2)(b + 2)(a + b) ≥16ab(đpcm)

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Xét tứ giác AMBN có: ãAMB MBN=ã =BNAã = 90 0 ⇒tứ giác AMBN là hình chữ nhật, do đó

MN = AB, BMN = MBA (c.c.c) nên BMNã =MBAã = 30 0 (2)

C/m

Vẽ BCF đều.( F và A cùng phía đối với BC)

Trên cạnh FB lấy điểm G sao cho FG = AB Ta có ABC = GFC (c.g.c), suy ra: + GCFã =ãACB= 20 , 0 ãACG= 60 0 −(20 0 + 20 0) = 20 0

+ ACG cân tại C (do CA = CG : Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng nhau trên)

Từ (1) và (2) suy ra DCE ACG (g.g) với tỉ số đồng dạng là k = 1

Ngày 21/11/09: Đề số 7: (Thời gian làm bài 150/)

Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:

a) x2 − 16x+ 64 + x2 = 10 b) 3 3 2

x x

1) Trong hệ trục toạ độ xOy cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d1) và

y = - x + 2 (d2) Gọi giao điểm của d1 và d2 là A, giao điểm của (d1), (d2) với Ox lần lợt là

B, C

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

c) Qua D kẻ DE ⊥AB, DF ⊥AC Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF

Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện tích bằng 100 cm2 Điểm D nằm trên cạnh huyền BC có khoảng cách đến 2 cạnh góc vuông là 4m và 8cm Tính độ dài các cạnh AB, AC

* Nếu 0 ≤ <x 8, phơng trình có dạng: x - x + 8 = 10⇒ 0x= 2phơng trình vo nghiệm

* Nếu x ≥ 8, phơng trình có dạng: x + x - 8 = 10⇔ 2x= 18 ⇔ =x 9(Đợc, vì x = 9 thuộc khoảng đang xét)

Vì A là giao điểm của d1 và d2 ⇒ x+1 =- x + 2

Diện tích ABC có BC = 3; đờng cao AH = 3/2 ⇒ SABC =1/2.3.3/2 =9/4 (đvS)

b) Ta có a1.a2 = 1.(-1) = - 1 ⇒ d1 ⊥ d2 tại A ⇒ ABC vuông tại A Suy ra đờng tròn ngoại ABC có tâm I là trung điểm của BC bán kính IA = IB = IC=3/2

2) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 22 1

2 1

x x

+ + + + (với x≠ −1)

ABC, àA= 900, AB = 9cm, AC = 12cm

GT BAD DACã = ã , DE ⊥ AB, DF ⊥ AC

KL a) BC = ?, àB= ?,Cà = ?

b)DB = ?, DC = ?

c) Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi

và diện tích tứ giác AEDF

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

c) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông (góc A, góc E, góc F), lại có AD là phân giác của góc A nên AEDF là hình vuông

Do đó chu vi hình vuông AEDF là: 4.36 20,57( )

7 ≈ cm ; diện tích hình vuông AEDF là:

b a b a

x −x + y −y (1)Căn cứ vào hệ thức (1) c/mr ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(2; 1+ 3), C(3; 1)

là tam giác đều

Câu 2: (5 điểm) Giải các phơng trình:

F48

b) C/m tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích củ nó.

c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, c/m tứ giác EFGH là hình chữ nhật và diện tích của nó.Câu 5: (3 điểm) Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất

ABC có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều

Câu 2: (5 điểm) Giải các phơng trình:

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

Vậy để biểu thức có nghĩa thì ĐK của x là: -3 ≤ ≤x 3

Ta có: A = 9 −x2 ≤ 9 3 = , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy maxA= 3⇔x = 0.

Mặt khác A = 9 −x2 ≥ 0, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= -3 hoặc x = 3

Vậy minA = 0 ⇔x = - 3 hoặc x = 3.

b) Ta có: B = 1- − +x2 2x+ 5 ≤ 1, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi - x2 +2x + 5 = 0

ODF vuông ở F nên: sinã 33,6 0,96

35

DF FOD

OEF

OEF ODC ODC

Xét các ABC có đáy BC không đổi

và có cùng diện tích Do chiều cao ứng với cạnh BC

không đổi nên A chuyển động trên đờng thẳng d//BC

(nh hình vẽ) Gọi D là điểm đối xứng với B qua d,

CD

0

42

A ED

d

Trờng THCS Xuân Hng GV: Lê Trọng Tới

ta có: AB = AD

Chu vi ABC nhỏ nhất ⇔AB + AC nhỏ nhất.

Ta có: AB + AC = DA + AC ≥ DC (không đổi);

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi D, A, C thẳng hàng

Khi đó A ở vị trí giao điểm E của DC và d, EBC cân tại E

Vậy trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, tam giác cân với cạnh đáy BC có chu vi nhỏ nhất

Ngày 26/11/09. Đề 9: (Thời gian làm bài 150/)Câu1:(4 điểm) Giải các phơng trình:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 + z2

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx

2 2

x x

x x

VËy víi x = 3; 4; 6; 18 th× A nguyªn

Trêng THCS Xu©n Hng GV: Lª Träng Tíi

  , dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z.

Nªn A ≥B, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z (2)