HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN

Chương 2: Hệ Thống Tuyến Tính BấtBiến Theo Thời Gian Linear Time-Invariant Systems Nội dung 1.. Tích chập & Đáp ứng xung của Hệ LTI 2.. Các tính chất của Hệ thống LTI 3.. Hệ thống LTI Nh

Chương 2: Hệ Thống Tuyến Tính Bất

Biến Theo Thời Gian (Linear Time-Invariant Systems)

Nội dung

1 Tích chập & Đáp ứng xung của Hệ LTI

2 Các tính chất của Hệ thống LTI

3 Hệ thống LTI Nhân quả được mô tả bởi phương

trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

TÍCH CHẬP &

ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ LTI

Tích chập – Convolution Integral

Đáp ứng xung của hệ LTI – Impulse Response

TÍCH CHẬP

– CONVOLUTION INTEGRAL

• Công thức tích chập

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 =

−∞

+∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

• Tìm tích chập của hai tín hiệu sau:

• 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = −∞+∞𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

4

6

ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ LTI

Impulse Response of the LTI

• Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng của hệ

thống khi ngõ vào là hàm xung lực đơn vị (t)

ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ LTI

Impulse Response of the LTI

• Nhắc lại, bất kỳ tín hiệu nào cũng được biểu diễn:

𝑥 𝑡 =

−∞

∞

𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ LTI

Impulse Response of the LTI

𝑦 𝑡 = 𝑆 𝑥 𝑡 = 𝑆

−∞

∞

𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

=

−∞

∞

𝑥 𝜏 𝑆 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

=

−∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡, 𝜏 𝑑𝜏

=

−∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

• Nhắc lại công thức tích chập

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 =

−∞

+∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ LTI

Impulse Response of the LTI

• Một hệ thống LTI có thể được đặc trưng hoàn toàn

bởi đáp ứng xung Tức là, các tính chất của hệ

thống có thể được khảo sát bằng cách khảo sát đáp

ứng xung của hệ thống

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

1 Tính giao hoán

2 Tính phân phối

3 Tính kết hợp

4 Tính có nhớ và không nhớ

5 Tính nhân quả

6 Tính ổn định

7 Tính thuận nghịch

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

1 Tính giao hoán

𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 =

−∞

+∞

ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

2 Tính phân phối

𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

3 Tính kết hợp:

𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

4 Tính không nhớ (memoryless): Một hệ LTI là không

nhớ khi và chỉ khi đáp ứng xung h(t) có dạng:

ℎ 𝑡 = 𝐾𝛿 𝑡

5 Tính nhân quả (causality): Khi và chỉ khi đáp ứng

xung h(t) như sau:

ℎ 𝑡 = 0; ∀𝑡 < 0;

6 Tính ổn định (stability): Khi đáp ứng xung của hệ

thống hữu hạn

−∞

+∞

ℎ 𝑡 𝑑𝑡 < ∞

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

7 Tính thuận nghịch

ℎ 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 = 𝛿 𝑡

TÍNH CHẤT CỦA HỆ LTI

8 Đáp ứng bước của hệ thống

𝑠 𝑡 =

−∞

𝑡

ℎ 𝜏 𝑑𝜏 ⇒ ℎ 𝑡 =𝑑𝑠 𝑡

𝑑𝑡 = 𝑠′ 𝑡

ĐÁP ỨNG CỦA HỆ LTI ĐỐI VỚI TÍN

HIỆU HÀM MŨ PHỨC

• Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu 𝑒𝑠𝑡:

𝑦 𝑡 = 𝑒𝑠𝑡 ∗ ℎ 𝑡 =

−∞

+∞

ℎ 𝜏 𝑒𝑠 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

= 𝑒𝑠𝑡

−∞

+∞

ℎ 𝜏 𝑒−𝑠𝜏𝑑𝜏

= 𝑒𝑠𝑡𝐻 𝑠

𝐻 𝑠 =

−∞

+∞

ℎ 𝜏 𝑒−𝑠𝜏𝑑𝜏

VÍ DỤ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN

TÍNH HỆ SỐ HẰNG

• Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng bậc N

được cho bởi:

𝑘=0

𝑁

𝑎𝑘𝑑𝑘𝑦 𝑡

𝑑𝑡𝑘 =

𝑘=0

𝑀

𝑏𝑘𝑑𝑘𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑘

• Với N=0, ta được phương trình sau:

𝑦 𝑡 = 1

𝑎0

𝑘=0

𝑀

𝑏𝑘 𝑑𝑘𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑘

HỆ LTI DẠNG SƠ ĐỒ KHỐI

HỆ LTI DẠNG SƠ ĐỒ KHỐI

HỆ LTI DẠNG SƠ ĐỒ KHỐI

Bài Tập

• 2.8

• 2.9

• 2.10 (vẽ hình mô phỏng bằng MATLAB)

• 2.11

• 2.12