3 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.. Tìm m để đờng thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm
Trang 1BàI TậP Về HàM Số ÔN THI Câu1: Cho hàm số: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1
2) Tìm k để phơng trình: -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên
Câu2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị
Câu3: Cho hàm số: y = ( )
1
1
−
−
− x
m x
m (1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và hai trục toạ độ
3) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x
Câu4:Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + m (1)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
Câu5: Cho hàm số: y = x 2 x 3 x
3
1 3 − 2 + (1) có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phơng trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Câu6: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y = 1 3 2 1
m
x − x + (*) (m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2
2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm
M song song với đờng thẳng 5x - y = 0
Câu7:
7.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4
7.2 Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x3− 9 x2 + 12 x = m
Câu8: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m Tìm m để đờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
Câu9:Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 -1)x - 3m2 - 1 (1) m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ đọ O
Câu10: Cho hàm số: y = 2
1
x
x +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,
B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
Câu11: Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - 1 (1) (m là tham số)
Trang 22 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8
2) Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Câu12: Cho hàm số: y = (x - 1)(x2 + mx + m) (1) (m là tham số)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4
Câu13: Cho hàm số: y =
1
1 2
−
−
x
x
(1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1)
2) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng IM
Câu14:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1
2) Gọi dk là đờng thẳng đi qua điểm M(0 ; -1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đờng thẳng dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt
Câu15: Cho hàm số: y = x3 - mx2 + 1 (Cm)
1) khi m = 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
2) Xác định m để đờng cong (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng (D) có phơng trình
y = 5 Khi đó tìm giao điểm còn lại của đờng thẳng (D) với đờng cong (Cm)
Câu16:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
2
1
−
+ x x
2) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ là những số nguyên
3) Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Câu17: Cho hàm số: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x (1)
1) Với m = 1;
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Cho điểm A(-2; -2), tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm A qua tâm đối xứng của đồ thị (C)
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng
Câu18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k Xác định k để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
Câu19:Cho đờng cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3
và đờng thẳng (Dm): y = mx - m + 2 m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số với m = -1
Trang 33 2) Với giá trị nào của m, đờng thẳng (Dm) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt?
Câu20: Cho hàm số: y =
1
1
−
+ x
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Chứng minh rằng đờng thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Câu21: Cho hàm số: y =
m x
m x
−
−
(1) 1) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1; +∞)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị của hàm số này
là (C)
3) Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho A và B đối xứng với nhau qua đờng thẳng (d): x + 3y - 4 = 0
Câu22: Cho hàm số: y = x3 - 3x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành
3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đ-ờng cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng
Câu23:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x - 2)
2) Cho đờng thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k Hãy xác định tất cả giá trị của k để đờng thẳng ∆ cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt:
Câu24: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
3
2
−
+ x x
2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đờng tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận ngang
Câu25: Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định
Cõu 26: Cho hàm số 2 4
1
x y
x
+
=
− .
1) Khảo sỏt và vẽ đồ thị ( )C của hàm số trờn.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và cú hệ số gúc k Tỡm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và MN =3 10
Trang 4HD
Từ giả thiết ta có: ( ) : d y k x= ( − +1) 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y phân biệt sao cho 2 2 ( ) (2 )2
x −x + y −y =
( 1) 1
( ) 1
( 1) 1
x
k x
I x
y k x
+
− +
= − +
Ta có:
( )
( 1) 1
I
y k x
− − + + =
Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình kx2−(2k−3)x k+ + =3 0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi đó dễ có được 0, 3
8
k ≠ k <
Ta biến đổi (*) trở thành: 2 ( )2 2 ( )2
(1+k ) x −x = ⇔ +90 (1 k )[ x +x −4x x] 90(***)=
Theo định lí Viet cho (**) ta có: 1 2 1 2
+ = = thế vào (***) ta có phương trình:
8k +27k +8k− = ⇔ +3 0 (k 3)(8k +3k− =1) 0 3, 3 41, 3 41
KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Câu 27: Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
x2 CĐ= xCT.
Câu 28: Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 .
1
x
m x
+
=
−
Câu 29 Cho hàm số y =
1
1 2
−
−
x
x
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
b, Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB
Câu 30:Cho hàm số 2 2
1
x y x
−
= + (C)
1 Khảo sát hàm số
2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =
5
Câu 31: Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất
Giả sử M(x 0 ; y 0 ) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 2 0 0
1
x
2 0
1
0
x
x y
Trang 5-+
f(t) f'(t) x
2 0
1
5
Ta cú d(I ;tt) = 0
4 0
2 1 1 1
x
x
− + +
Xột hàm số f(t) = 2 4 ( 0)
1
t t
t >
+ ta cú f’(t) =
2
(1 )(1 )(1 ) (1 ) 1
f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiờn
chỉ khi t = 1 hay
0 0
0
2
1 1
0
x x
x
=
− = ⇔ =
+ Với x 0 = 0 ta cú tiếp tuyến là y = -x
+ Với x 0 = 2 ta cú tiếp tuyến là y = -x+4
Cõu 32: Cho hàm số
2
3 2
−
−
=
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đờng tiệm cận của (C) tại A và
B Gọi I là giao điểm của các đờng tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam
giác IAB có diện tích nhỏ nhất
2 x
3 x 2
;
x
0
0
−
−
0 0
2 x
1 )
x ( ' y
−
−
=
Phơng trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: ( ) x 2
3 x 2 ) x x ( 2 x
1 y
:
0
0 0 2
− +
−
−
−
=
∆
Toạ độ giao điểm A, B của ( )∆ và hai tiệm cận là: ; B(2x 2;2)
2 x
2 x 2
; 2
0
−
−
Ta thấy A B 0 x0 xM
2
2 x 2 2
x
0
0 B
2 x
3 x 2 2
y
−
−
=
+
suy ra M là trung điểm của AB Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
− +
− π
=
−
−
− +
− π
=
) 2 x (
1 )
2 x ( 2
2 x
3 x )
2 x (
0
2 0 2
0
0 2
0 2
Dấu = xảy ra khi “ ”
=
=
⇔
−
=
−
3 x
1
x )2 x(
1 )2
x(
0
0 2 0
2 0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Trang 6Cõu 33: Cho hàm số y= f x( ) =x4+2(m−2)x2+m2−5m+5
1/ Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị hàm số cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giỏc vuụng cõn
HD:
Tỡm cỏc giỏ trị của m để (C) cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giỏc vuụng cõn.
* Ta cú ( ) 3 ( )
2
0
2
x
=
= + − = ⇔ = −
* Hàm số cú CĐ, CT khi f’(x)=0 cú 3 nghiệm phõn biệt và đổi dấu :
m < 2 (1) Toạ độ cỏc điểm cực trị là:
A(0 ;m2 − 5m+ 5),B( 2 −m; 1 −m) (,C− 2 −m; 1 −m)
* Do tam giỏc ABC luụn cõn tại A, nờn bài toỏn thoả món khi vuụng tại A:
( 2) 1 1 0
=
⇔
−
=
−
⇔
AC
Trong đú AB=( 2 −m; −m2 + 4m− 4),AC =(− 2 −m; −m2 + 4m− 4)
Vậy giỏ trị cần tỡm của m là m = 1.
Cõu 34:Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2 Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số cú cực đại, cực tiểu Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm
số cú điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0
HD :
Ta cú y’ = - 3x 2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.
Hàm số cú cực đại , cực tiểu ⇔ phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt ⇔ m ≠ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m 3 – 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m 3 – 3m – 1)
(2 ; 4 )
AB= m m
uuur
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ur=(8; 1)− Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔ I AB∈d⊥d
⇔
3
AB u
=
Câu 35: Cho hàm số
2
1 2 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình
=−
+
−+
−≠
⇔+
−=
+
+
)1(
0 21 ) 4(
2 2
1
2
2 xm m
x
x
m
x
x
x
Do (1) có∆ =m2 + 1 > 0 va ( − 2 ) 2 + ( 4 −m).( − 2 ) + 1 − 2m= − 3 ≠ 0 ∀m nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB 2 nhỏ nhất
m = 0 Khi đó AB = 24
Trang 7Cõu 36 : Cho hàm số y x= 3+2mx2 +(m+3)x+4 cú đồ thị là (Cm)
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trờn khi m = 1
2) Cho (d ) cú phương trỡnh y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú diện tớch bằng 8 2 Hướng dẫn giải
2)Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (C m ) và d là:
=
2
0
x
g x x mx m (d) cắt (C m ) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C ⇔phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0.
≤ − ∨ ≥
∆ = − − >
⇔ = + ≠ ⇔ ≠ −
2
m
Mặt khỏc: − +
= 1 3 4 =
2
∆ =8 2⇔ 1 ( , ) 8 2= ⇔ =16⇔ 2=256
2
KBC
(x B x C) (y B y C) 256
⇔ − + − = với x x là hai nghiệm của phương trỡnh (2) B, C
⇔(x B −x C) ((2+ x B + −4) (x C+4))2 =256⇔2(x B−x C)2 =256⇔(x B+x C)2−4x x B C =128
2
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = (thỏa ĐK (a)) Vậy 1 137
2
m= ±
Câu 37 : Cho hàm số
2
1 2 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = - x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình
=−
+
−+
−≠
⇔+
−=
+
+
)1(
0 21 ) 4(
2 2
1
2
2 xm m x
x m
x
x
x
Do (1) có∆ =m2 + 1 > 0 va ( − 2 ) 2 + ( 4 −m).( − 2 ) + 1 − 2m= − 3 ≠ 0 ∀m nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB 2
nhỏ nhất m = 0 Khi đó AB = 24
Cõu 38:
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 4
1
x x
− +
2 Tỡm trờn (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) và N(- 1; - 1)
2 MNuuuur = (2;-1) ==> MN: x + 2y + 3 =
HD
Đường thẳng (d) ⊥ MN, (d) cú dạng phương trỡnh y = 2x + m.
Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua đường thẳng MN
Trang 8Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình:
2 4 2
1
x
x m
x − = +
+ ⇒ 2x 2 + mx + m + 4 = 0 ( x ≠ - 1) (1)
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có ∆ = m 2 – 8m – 32 > 0
Ta có A(x 1 ,2x 1 + m), B(x 2 ;2x 2 + m) với x 1 , x 2 là nghiệm của (1
Trung điểm của AB là I 1 2
1 2
; 2
x x
x x m
+
4 2
m m
− ( theo định lý Vi-et)
Ta có I ∈ MN ==> m = - 4, (1) ⇒ 2x 2 – 4x = 0
⇒ A(0; - 4), B(2;0)
