Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3 x.. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA = a.. 1đ Tính góc giữa đường th
Trang 1Kiểm tra học kỳ II Môn : Toán 11 – Nâng cao Thời gian : 90 phút
*****
Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau :
1 lim
x
x L
→+∞
+
=
1 cos cos2 lim
x
L
x
→
−
=
Câu II : (2 điểm)
1 (1đ) Cho hàm số :
2
1 1 víi 0 ( )
1 víi 0
x
x
(m là tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục tại x = 0
2 (1đ) Cho phương trình : ( m4 + + m 1 ) x2009 + x5− 32 0 = (m là tham số)
Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
Câu III : (3 điểm)
1 (1đ) Cho hàm số ( ) 2
1
x
f x
x
=
+ Chứng minh rằng '( ) 0, f x > ∀ ∈ x ¡
2 (1đ) Cho hàm số =
1 ( )
1 cos 2
f x
x Tính ' f 12 π
÷
3 (1đ) Cho hàm số 1
x y x
−
= + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3 x
Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và
góc · BAD 120 = o Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
1 (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
2 (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
3 (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC Xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của thiết diện
này theo a.
-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
1
L
+ − + −
0,25 0,25
Trang 2
2
1
lim
2 1
x
x
x
→+∞
+
+ −
0,25 0,25
1
2
2
L
Vì
2
sin
4 2
4 2
x x
÷
và
2
3 sin
4
9 2
x x
÷
0,50
L = + = 0,25
1
4 2
2
f x
+ −
→
1
2 Hàm số f x( )=(m4+ +m 1)x2009 +x5−32 là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , do đó nó
liên tục trên đoạn [0 ; 2 ]
0,25
f = − < ;
= + + = − ÷ + + ÷ + > ∀ ∈
0,50
Suy ra (0) (2) 0,f f < ∀ ∈m ¡ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng
(0 ; 2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. 0,25
1
2
1 '( )
x
x
f x
+ −
0,75
Vì x2 + > ∀ ∈1 0, x ¡ nên ( 2 )3
1 0,
x + > ∀ ∈x ¡ do đó '( ) 0, f x > ∀ ∈x ¡ 0,25
Trang 32 ( )
'
'( )
f x
16 3 '
f π =÷
0,25
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ( ) :d y y− =0 f x'( )(0 x x− 0)
với ( )
0
3 '
f x
x
=
+
0,25
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x khi và chỉ khi :
( )0
0 2
0 0
0 3
1
x x
x x
=
0,25
với x0 =0 thì y0 = −1 nên ta có phương trình tiếp tuyến là ( ) :d1 y=3x−1 0,25
với x0 = −1 thì y0 =2 nên ta có phương trình tiếp tuyến là ( ) :d2 y=3x+5 0,25
1 Vì SA⊥(ABCD)nên AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD), do đó góc giữa đường
thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và AC và bằng góc ·SCA
0,25
ABCD là hình thoi và góc · o
ABC ADC 60= = , suy ra các tam
giác ABC, ADC là những tam giác đều nên AC = a.
Mặt khác SA = a và SA⊥(ABCD) nên SA⊥AC Suy ra ∆SAC vuông cân tại A.
0,25
0,25
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc ·SCA và bằng 45o 0,25
Trang 4Từ (1), (2) suy ra BD⊥(SAC) 0,25
3 Gọi H là hình chiếu của A lên SC, suy ra AH⊥SC (3)
Gọi I là giao điểm của SO và AH Qua I, vẽ MN // BD
Vì BD⊥(SAC) nên MN⊥(SAC), do đó MN⊥SC (4)
Từ (3), (4) suy ra (AMHN) ⊥ SC nên mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (AMHN)
0,25
Suy ra thiết diện là tứ giác AMHN
0,25
AH là đường cao của tam giác vuông cân SAC nên AH 2
2
a
=
BD =SO = 3 (vì I là trọng tâm của ∆SAC), suy ra MN 2BD
3
=
Mà BD = 2BO = 2 3
2
3
a nên MN = 2 3
3
a
0,25
AMHN
1
2
= 1. 2 2. 3 2 6
HẾT
