Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0, kí hiệulim u n =0haylim un =0, nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đ
Trang 1WWW.ToanCapBa.Net Giới Hạn
A Kiến thức sách giáo khoa
I Giới hạn của dãy số
1 Dãy số có giới hạn 0
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số( )un có giới hạn 0, kí hiệulim u( )n =0(haylim un =0), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó
b Tính chất: lim1 0; lim 1 0( 0 ; lim q) n 0 | q | 1( )
c Định lí: Cho hai dãy số
( )
n
| u | v
≤
2 Dãy số có giới hạn hữu hạn
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( )un có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim un =L, nếu lim u( n−L)=0
b Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, ∀n : lim un =c
n
lim | u | | L |
=
⇒
=
n
• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn (3)
c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
•
n
1 q
1 q
− −
−
•
n
u
1 q
3 Dãy số có giới hạn vô cực
a Dãy số có giới hạn +∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó
Kết quả: lim n= +∞;lim n = +∞;lim n3 = +∞
b Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
• Quy tắc chia
n
n
u lim v
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn hữu hạn
a Giới hạn hữu hạn
WWW.ToanCapBa.Net 1
Trang 2Cho x0∈( )a; b và f là hàm số xác định trên tập ( ) { }a; b \ x0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
( )
0
xlim f xx L
→ = , khi x dần đến x (hoặc tại điểm 0 x ), nếu với mọi dãy số 0 ( )xn trong tập ( ) { }a; b \ x0 mà lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n =L
b Giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→ = +∞nếu mọi dãy ( )xn trong tập ( ) { }a; b \ x0 mà lim xn =x0 thì lim f x( )n = +∞
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;+∞) Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu xlim f x( ) L
→+∞ = , nếu với mọi dãy số ( )xn trong khoảng (a;+∞) mà lim xn = +∞, ta đều có lim f x( )n =L
3 Các định lí
0
xlim f xx L
→ = và ( ) ( )
0
0
0
→ =
0
→ = ∈¡ • ( )
0
x x
0
xlim f xx L
0
xlim | f x | | L |x
→ = ;
0
3
3
• Nếu f x( )≥0 với mọi x J \ x∈ { }0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì L 00 ≥ và ( )
0
c Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x{ }0 Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
0
x x
4 Giới hạn một bên
a Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (x ; b , x0 ) 0∈¡ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
x0, kí hiệu: ( )
0
xlim f xx+ L
→ = , nếu với mọi dãy số ( )xn trong khoảng (x ; b mà 0 ) lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n =L
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (a; x , x0) 0∈¡ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến
x0, kí hiệu: ( )
0
xlim f xx− L
→ = , nếu với mọi dãy số ( )xn trong khoảng (a; x mà 0) lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n =L
xlim f xx− ; lim f xx x− ; lim f xx x+ ; lim f xx x+
b Định lí:
0
xlim f xx+ xlim f xx− L lim f x L
→
1
f x
5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→
( )
0
xlim g xx L 0
→ = ≠
0
xlim f x g xx
→ ( )
0
xlim f xx L 0
→ = ≠
có dấu
( )
0
xlim g xx 0
→ = g(x) có dấu
( ) ( )
0
x x
f x lim
g x
→
6 Các dạng vô định
f x
g x − khi x→x ; x0 →x ; x0+ →x ; x0− → +∞ → −∞; x ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu 0, ,0 ,
Trang 3B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
2
lim
n
−
Giải:
2
3
2
n n
Ví dụ 2: Tìm: lim2n2 23n 1
− +
Giải:
2
2
2
n
− −
−
Ví dụ 3: Tìm: lim n 1( − − n2+1)
Giải:
2
2
Dạng 2: Chứng minh lim un =0
Phương pháp giải: Sử dụng định lí:
n
| u | v
≤
n
1 cos n
n
−
=
Giải:
Ta có: ( )n
−
1 cos n
n
−
=
Dạng 3: Chứng minh lim u tồn tạin
Phương pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
1 u
n n 1
= + có giới hạn.
Giải:
n n 1
1
n n 1
+
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: S u1 ,| q | 1
1 q
−
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1
2
= < và u1=1 Vậy:
1
1
2
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
WWW.ToanCapBa.Net 3
Trang 4Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3 2
lim
+
Giải:
Cách 1:
Ta có:
2
3
2
n n
n
3
n+n > ∀ ∈¥ nên suy ra:
2
3
2
n n
Cách 2:
Ta có:
3
2
2
2 2
1 1
n n
Lại có
3
2
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1 lim x.sin
x
→
Giải:
Xét dãy ( )xn mà xn ≠ ∀0, n và lim xn =0 Ta có: ( )n n n
n
1
x
Vì lim | x | 0n = ⇒lim f x( )n =0 Do đó lim x.sinx 0 1 0
x
→
Giải:
2
2
1 1
2
+
→−∞ + + +
Giải:
2
2
1
x
+
(Chú ý: khi x→ −∞ là ta xét x < 0, nên x= − x2 )
Dạng 7: Chứng minh ( )
0
xlim f xx 0
→ = (Hoặc bằng L)
Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x{ }0 Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
0
x x
Trang 5x
x sin x
1 x
→+∞ = +
Giải:
→+∞ = →+∞ = →−∞ = →−∞ = ⇒ →+∞ = →−∞ = ⇒ →+∞ =
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
f x
=
víi víi Tìm xlim f x1 ( )
→−
Giải:
xlim f x1− xlim x1− 1
Từ (1) và (2) suy ra xlim f x1 ( ) 1
→− = −
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi khi
+
= −
+
a Tìm lim f xx 2 ( )
→
b Tìm lim f xx 1 ( )
→
Giải:
a lim f xx 2 ( ) xlim2 1 1
x 1 3
→ = → =
+
b lim f xx 1 ( )
→
Ta có: x 1lim f x( ) x 1lim 1 1; lim f xx 1 ( ) x 1lim 1 1 x 1lim f x( ) x 1lim f x( )
−
→
0
xlim f xx
xlim f xx+ xlim f xx− L
0
xlim f xx L
→ = )
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
→−∞ −
Giải:
2
1
x
Dạng 10: Khử dạng vô định
Phương pháp giải
( )
0
x x
P x lim
Q x
xlim P xx xlim Q xx 0
→ = → = :
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp.
x 2
lim
x 2
→
−
Giải:
2
x 2 x 7
WWW.ToanCapBa.Net 5
Trang 6Vớ dụ 2: Tỡm:
x 0
4 x 2 lim
4x
→
+ −
Giải:
x 1
x 7 2 lim
x 1
→
+ −
−
Giải:
2
3 3
lim
12
→
Vớ dụ 4: Tỡm:
x 2
2x 5 3 lim
x 2 2
→
+ − + −
Giải:
3
x 1
lim
x 1
→
−
Giải:
( ) ( )
3
3x 2 1
x 1
x 2 1 lim
x 2 1
→−
+ − + −
Giải:
Đặt t=12x 2+ ⇒ + =x 2 t12⇔ =x t12−2, khi đó x→ −1 thì t→1 Do đú:
2
4
3
4
x 2 1
+ −
x 1
lim
x 1
→
−
Giải:
3
3 2
2
lim
lim
x 3 2
→
→
+ +
( )
x
P x lim
Q x
Trang 7• Sử dụng kết quả:
x
1
xα
x
lim
→+∞
Giải:
2
2
3
→+∞ →+∞
− +
x
lim
2 3x
→−∞
+ + −
−
2
x
Ví dụ 3: Tìm:
2 x
lim
→−∞
− + +
Giải:
3
2
2
C Bài tập tự luận
1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1. limx 3 x22 5x 6
→
2 2 1 x 2
lim
→
−
2
x 3
lim
→
−
4. limx 12x44 5x33 3x22 1
→
3 4
x 1
lim
→
x 2
lim
→
x 1
lim
→
x 0
lim
x
→
x 0
lim
x
→
2 Tìm các giới hạn hàm số sau:
1. xlim2 x 2
→
−
2x 7 3 lim
x 3 2
→
+ −
2
x 0
lim
x
→
x 2
x 7 3
lim
→
+ −
3
x 2
4x 2 lim
x 2
→
−
2
x 0
lim x
→
7.
2
x 1
lim
x 1
→
3
x 0
x 1 lim
x 1
→
−
lim
x 2
→
−
x 0
lim
x
→
2
x 1
lim
→
lim
x 1
→
−
x 3
lim
→
lim
x
→
2
x 1
lim
→
−
3 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
x 1
lim
→
3
x 0
lim
x
→
x 0
lim
x
→
x 2
lim
→−
x 1
lim
x 1
→
2 3
x 1
lim
x 1
→
−
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
→
2
x 0
lim
x
→
4 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
WWW.ToanCapBa.Net 7
Trang 8x
lim
→−∞
2 2 x
lim
→+∞
+ −
( ) ( )
x
lim
→+∞
50 x
lim
2x 1
→−∞
2 2 x
lim
→−∞
5x 3 1 x lim
1 x
→−∞
−
5 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
2.
→+∞ − − − −
→+∞ + −
→+∞ + −
→−∞ + +
x
→∞ + − −
→+∞ + − +
→+∞ + − −
D Bài tập trắc nghiệm Dãy số có giới hạn 0
1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
1
n
2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a
n
5
3
ữ
n
1 3
ữ
n
5 3
−
n
4 3
−
3 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
1,012
1,901
−
4 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
a ( )n
1
0,99
0,89
−
1
L lim
n 4
−
=
+ Khi đó L bằng
a 1
5
4
6 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
1
n
4 3
ữ
1 n
−
Dãy số có giới giạn hữu hạn
7 Cho un 1 4n
5n
−
a 3
3 5
4 5
−
8 Cho un 2n n5n
5
+
7 5
n
n
1
1, 1 1, , , ,
+
−
1 3
3
−
n
1
+
−
a 1
Trang 9n 1
1
+
−
−
a 8
2
3 8
n 1
1
+
−
−
a 2
3
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
14 KÕt qu¶ L lim 5n 3n= ( − 3) lµ
15 BiÕt L lim 3n= ( 2+5n 3− ) th× L b»ng
16 lim 3n(− 3+2n2−5) b»ng
17
2
3
lim
−
4
5n −2n 1+ b»ng
a 2
4
lim
2 7
20 lim2n44 2n 2
3 11
21 lim 5n42 3n4
−
a 3
4
3 4
22 lim 2n 3n2 3
+
a 3
5
23 Dãy số nào sau đây có giới hạn là+∞?
n
n
n
n
24 Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?
n
n
n
n
u = − +n 4n
2n 1
26 Kết quả lim( n 10+ − n) là
27 Kết quả
2 2
3 2n 4n
lim
4 3
−
WWW.ToanCapBa.Net 9
Trang 1028 Nếu lim un =L thì lim un+9 bằng
29 Nếu lim un =L thì 3
n
1 lim
u +8 bằng bao nhiêu?
1
1
1
L 8+
2n 5
+
a 5
5
31
4
4
10 n
lim
10 +2n bằng bao nhiêu?
32 lim1 2 3 n2
2n
+ + + + bằng bao nhiêu?
1
33 lim3n3 n
6n 2
+
a 1
1
32
34 lim n( n2+ −1 n2−3) bằng bao nhiêu?
35 limn sin 2n
n 5
+
a 2
1
36 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a
2
u
5n 3n
−
=
1 2n 5n 3n
−
2 2
1 2n 5n 3n
−
2
u 5n 3n
−
= +
37 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
a un n2 2n2
5n 5n
−
=
1 2n 5n 5n
+
2 n
1 n u
5n 5
+
=
2
u 5n 5n
−
= +
38 Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?
a
2
u
n n
+
=
2007 2008n u
n 1
+
=
2 n
n
39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
a lim 2n23 3
−
2 2
lim
−
2
lim
−
3 2
lim
−
40 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
a lim 2n23 3
−
3 2
2n 3n lim
−
lim
−
3 2
3 2n lim
+
−
41 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞?
a lim2n32 3
+
2 2
2n 3n lim
−
lim
−
3 2
3 2n lim
+
−
42 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1
5?
a
2
u
5n 5n
−
=
1 2n u
5n 5
−
=
2 n
1 2n u
5n 5
−
=
1 2n u
5n 5n
−
= +
43 Nếu L lim n= ( n2+ −2 n2−4)
Trang 1144 Gọi L lim n= ( n2+ −2 n2−4)
2n 3
46 lim cos 2n 9
47 lim( n2+2n− n2−2n) có kết quả là
50 Dãy số nào sau đây có giới hạn 1
3
a
u
−
=
2
2n n u
− +
=
u
=
2
u
=
Giới hạn của hàm số
xlim x1 x 7
xlim 3x2 3x 8
x 1
lim
x 1
→
54
x 1
lim
x 2
→−
5 3
−
55
x 1
lim
→
−
a 1
3
2 5
3
−
56
4
x 1
lim
→−
−
a 4
4
2
2 7
57
2
x 2
lim
→−
−
a 4
9
4
58
x 1
lim
→
−
12
7
7
59
3
2
x 2
x x
lim
→−
+
a 10
7
3
WWW.ToanCapBa.Net 11
Trang 1260 xlim 4x→−1 3−2x 3− bằng
61
3
3 2
x 1
x 1
lim
→−
+
4 2
−
2 3
−
x
lim
x 2x
→+∞
63
4
4
x
lim
→+∞
3
64
4
x
lim
→+∞
−
a 2
5
65
x
lim
→+∞
−
2 5
x
lim
→+∞
5
2 3
x 2
lim
→−
1
35
x 1
lim
→−
a 1
3
3
Giới hạn một bên
69
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
a 1
1
x 1
1 x
lim
−
→
−
71
x 1
x 2
lim
x 1
−
→
+
a 1
2
x 1
lim
x 1
+
→
+
− là
x 2
lim
−
→−
Trang 139 8
74
x 0
lim
+
→
+
75
2
x 1
lim
+
→−
=
víi víi Khi đó xlim f x2− ( )
f x
víi víi
=
x 1
y f x
8
khi
Khi đó x 1lim f x− ( )
a 1
1 8
79 Cho hàm số: ( )
2
víi víi
+
<
= −
Khi đó x 1lim f x− ( )
80 Cho hàm số ( )
2
2x
x 1
1 x
f x
víi víi
−
=
Khi đó x 1lim f x+ ( )
Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
x 1
L lim
1 x
→
=
2
4
4
2
−
82 Cho
2 2
x 2
→−
−
=
5
5
2
2
= −
x 2
lim
2x 4
→
1
1 2
−
84
2
x 2
lim
x 5
→
2 5
−
x 5
lim
5x 25
→
WWW.ToanCapBa.Net 13
Trang 142
2 5
−
2
x
lim
→−∞
a 2
2 3
1 2
−
5
90
4
t 1
lim
t 1
→
−
t a
lim
t a
→
−
92
4
3
y 1
lim
→
−
4 3
x
lim
→+∞
−
x
lim
2x 7
→+∞
x 0
lim
x
→
2
96
3
2
x 1
x 1
lim
→−
+
2 3
−
97
2
x 5
lim
2x 10
→−
98
2
x 5
lim
2x 10
→
99
2
x 5
lim
2x 10
→
a 5
2
2
100
4
x
lim
→−∞
−
Trang 15a 2
5
x 1
lim
→−
+
x lim x 5
→+∞ +
x 1
lim
→
a 2
3
3
3
x
lim
→+∞
−
106
2
x 3
lim
2x 3
→
−
a 3
x 1
lim
1 x
→
a 1
1
1
1 8
−
108 Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được một khẳng định đúng
1
2
x 3
lim 2x 10
→
7 2
−
2
2
x 5
lim 2x 10
→
3
2
x 5
lim 3x 15
→
3 2
4
2
x 5
lim 2x 10
→−
8 3 e) 7 2
WWW.ToanCapBa.Net 15