giao an GIỚI hạn của dãy số hàm số bai 1 2 3

Lớp: 11 Chủ đề: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐA. Mục tiêu:1. Về kiến thức: Qua bài học này, học sinh cần biết được: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.2. Về kỹ năng: Học sinh cần rèn luyện các kỉ năng sau: Rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận. Biết vận dụng định lí vào bài tập . Xây dựng tư duy logic, linh hoạt, biết quy lạ thành quen, phát triển tư duy logic toán học. Biết sử dụng máy tính.3. Về thái độ: Chủ động tích cực tiếp thu kiến thức mới. Tích cực và tương tác tốt trong hoạt động nhóm. Thái độ hứng thú trong học tập.4.Định hướng phát triển năng lực: Rèn luyện năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống,…B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

Lớp: 11 Chủ đề: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A Mục tiêu:

1 Về kiến thức: Qua bài học này, học sinh cần biết được:

- Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

- Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

2 Về kỹ năng: Học sinh cần rèn luyện các kỉ năng sau:

- Rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận

- Biết vận dụng định lí vào bài tập

- Xây dựng tư duy logic, linh hoạt, biết quy lạ thành quen, phát triển tư duy logic toán học

- Biết sử dụng máy tính

3 Về thái độ:

- Chủ động tích cực tiếp thu kiến thức mới

- Tích cực và tương tác tốt trong hoạt động nhóm

- Thái độ hứng thú trong học tập

4.Định hướng phát triển năng lực:

- Rèn luyện năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống,

I HOẠT ĐỘNG 1:KHỞI ĐỘNG- GIỚI THIỆU(5 phút):

1.Mục tiêu: Giúp HS hình dung được khái niệm giới hạn của dãy số.

2 Phương thức: Vấn đáp, giải quyết tình huống.

- HS quan sát hình vẽ, hình dung , tưởng tượng.

- HS làm việc cá nhân, trao đổi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện

- GV gợi ý khi cần thiết

c.Báo cáo thảo luận:

- Kết quả của HS

- HS nhận xét tại chỗ

d.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

Trả lời câu hỏi:

Hình 1 nói về một nghịch lí của Zê- Nông

Nghịch lí này nói về câu chuyện: A-sin chạy đua cùng

rùa

Một ngày nọ, thần A-sin chạy thi với một con rùa Do

được mệnh danh là thần về tốc độ nên A-sin nhường

rùa một đoạn, A-sin ở tại x , rùa ở tại 1 x Cả hai xuất 2

phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ

của thần A-sin là phải đuổi kịp con rùa

Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, A-sin đến

được x Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của 2

nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được x Tiếp tục, A-3

sin đuổi đến x thì rùa đến 3 x , A-sin đuổi đến 4 x thì 4

rùa đến x ,…5

Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và

như thế thì A-sin, một vị thần về tốc độ lại không đuổi

kịp một con rùa Điều này là vô lý theo lẽ thường tình,

nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẫn trong lập luận

trên, vậy điều gì đang diễn ra?

Hình 2 nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường

tròn

Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều

nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên) Số cạnh đa giác

tăng từ 3

Bạn có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số

cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô

tận?

Rõ ràng, khi số cạnh không ngừng tăng lên thì đa giác

sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp

Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng Khi ấy

ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là

đường tròn

Hình 2

Học sinh tự nghiên cứu ở nhà: Bằng những hiểu biết của mình, em hãy tìm xem những lập

luận ở trên đúng hay sai? Vì sao?

* GV giới thiệu bài học:

Các nội dung trên liên quan bài toán giới hạn mở đầu về Giải tích.Nội dung của chương này xoay quanh hai khái niệm cơ bản là giới hạn và liên tục, là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của giải tích(Đạo hàm, Tích phân,…).Đặc biệt cho phép giải quyết các bài toán của khoa học và thực tiễn, mà ta không thể giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của Đại số.Đó chính là những bài toán liên quan tới sự vô hạn.Giới hạn của dãy số là nội dung mà chúng ta nghiên cứu trong tiết học hôm nay.

II HOẠT ĐỘNG 2: NỘI DUNG BÀI HỌC (HÌNH THÀNH KIẾN THỨC)

1 Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm giới hạn của dãy số.

- Nắm vững khái niệm dãy số có giới hạn 0; giới hạn hữu hạn của dãy số

2 Phương thức: Hỏi đáp, gợi mở, giao bài tập.

a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm:

Em hãy thử tưởng tượng tình huống sau: Có một cái bánh Nếu chia đều cho hai người

ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả lớp 40 người ăn thì mỗi người

được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả trường 1500 học sinh thì mỗi HS được bao nhiêu

phần? Nếu chia đều cho cả huyện 1 triệu người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả thế giới 7,5 tỉ người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần?

Khi số người được chia tăng lên càng lớn thì số bánh mỗi người nhận được như thế

nào?

? Ta hình thành dãy số  u với n u n 1

n



- Em hãy biểu diễn vài giá trị của dãy số trên trục số?

Chủ đề: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ(tiết 49)

(Nội dung ghi bảng- trình chiếu)

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:

1.Định nghĩa:

a.Định nghĩa 1:Ta nói rằng dãy số  u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô n

cực, nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n

đi

Khi đó ta viết: limn u n 0

   hoặc u  khi n 0 n  .Quy ước thay cho limn u n

  ta viết tắt limu và hiểu ngầm n n  

- Nhận xét xem khoảng cách từ u đến 0 thay đổi như thế nào khi n càng lớn ? n

- Bắt đầu từ số hạng u nthứ mấy thì khoảng cách từ u n tới 0 nhỏ hơn 0,01 ? 0,001?

a.2.Thực hiện nhiệm vụ:

- HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi của GV

a.3.Báo cáo thảo luận:

- GV biểu diễn dãy (Un) trên trục số cho HS quan sát

a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

- GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất

- HS tiếp thu khái niệm mới

b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu)

c.Cũng cố:(Nội dung ghi bảng - trình chiếu - bảng phụ)

a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm:

Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn = 3n 1

n

.Chứng minh rằng, dãy số u n v n 3 có giới hạn là 0

a 2.Thực hiện nhiệm vụ:

- HS suy nghĩ trao đôi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện

a 3.Báo cáo thảo luận:

- Gọi 1 HS lên bảng trình bày LG

- Kết quả của HS

a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

- GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhât

- GV: Trong ví dụ trên ta nói dãy số (vn) có giới hạn là 3

- HS: Khái quát hóa định nghĩa

- HS tiếp thu khái niệm mới

b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:(Nội dung ghi bảng)

c Cũng cố:

c.1.Chuyển giao nhiệm vụ:

Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

c.3.Báo cáo thảo luận:

- Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện

- Kết quả của HS

Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn = 3n 1

n

.Chứng minh rằng, dãy số u n v n 3 có giới hạn là 0

(Nội dung ghi bảng)

b.Định nghĩa 2:Ta nói rằng dãy số  v có giới hạn là số L khi n   nếu n

lim v n L 0.Kí hiệu: limn v n L

   hoặc limv n L hoặc v n  L khi n  

c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

- GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất

Lời giải- Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng) Đáp số-Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a/ limu n 2 lim 2n 1 2 lim 1 0 limu n 2

- Từ kết quả câu hỏi 2, GV cho HS tiếp thu kiến thức mới.

b.Hình thành giới hạn đặc biệt :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ)

2 Một vài giới hạn đặc biệt :

a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm:

- GV: Từ kết quả của câu hỏi 1 trong phiếu HT1, em hãy tìm limu n v n rồi so sánh với

limu nlimv n

a 2.Thực hiện nhiệm vụ:

- HS thảo luận với bạn bên cạnh để tìm câu trả lời

a 3.Báo cáo thảo luận:

Ta có limu  ; lim n 2 v  ; lim(u n 5 nv ) limn  w n 3

- Ghi nhận kết quả: limu n v n= lim u nlimv n .

GV: Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây.

a.4.Kết luận:

- GV: Nhấn mạnh, dãy ; u v đều phải có giới hạn hữu hạn.Phát biểu tương tự các nội dung n n

còn lại trong định lí.

- HS tiếp thu khái niệm mới

b.Hình thành định lí về giới hạn hữu hạn :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu)

II Định lí về giới hạn hữu hạn :

Định lí 1:

a Nếu limu n a và limv n b thì

c.1.Chuyển giao nhiệm vụ:

Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng)

Câu hỏi 3: Tìm các giới hạn sau:

2 2

2lim1



 lim 2 32

1 2

n F

+ Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả

c.3.Báo cáo thảo luận:

- Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện

- Kết quả của HS

c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

- GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất

Lời giải- Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu)

1.Chuyển giao nhiệm vụ:

Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng – bảng phụ - trình chiếu)

Câu hỏi 4:Tìm lim3 2

n n



 ?

A -2 B 3

2 C 1 D 0

Câu hỏi 5:Tìm

2 4

1lim

+ Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả

3.Báo cáo thảo luận:

- Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện

- Kết quả của HS

4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm:

- GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất

Lời giải- Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng)

2 Mở rộng, tìm tòi:(Học sinh nghiên cứu một tuần)

a.Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm nay ta đề cập đến giới hạn hữu hạn của dãy số, thế thì dãy số như thế nào

gọi là có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)?

c.Trong định lí về giới hạn hữu hạn, nếu có ít nhất một trong hai dãy số u hay n v dần ra vô n

cực (  ) thì ta làm thế nào?Chẳng hạn, tìm các giới hạn sau:

1.lim( n2 1 n) 2.lim(1n2 n43n1) 3.lim(n n2 1 n n2 2)

4.lim( n2  n 1 n) 5.lim (n n2 1 n2 2 ) 6.lim(3n3 2n2 n n )

NỘI DUNG PHÁT CHO HỌC SINH:

2 2

2lim1



 lim 2 32

1 2

n F

1lim

Bài tập HS nghiên cứu ở nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng:

Bài toán: Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu cho một bức tường

hình vuông có cạnh là 1m, các bức tô như sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là 1

2m , tô tiếp hìnhvuông có cạnh bằng một nữa cạnh hình vuông vừa tô và cứ tô tiếp mãi Hỏi diện tích mà chúchuột tô được là bao nhiêu?

Học sinh nghiên cứu một tuần:

a.Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm nay ta đề cập đến giới hạn hữu hạn của dãy số, thế thì dãy số như thế nào

gọi là có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)?

c.Trong định lí về giới hạn hữu hạn, nếu có ít nhất một trong hai dãy số u hay n v dần ra vô n

cực (  ) thì ta làm thế nào?Chẳng hạn, tìm các giới hạn sau:

1.lim( n2 1 n) 2.lim(1n2 n43n1) 3.lim(n n2 1 n n2 2)

4.lim( n2  n 1 n) 5.lim (n n2 1 n2 2 ) 6.lim(3n3 2n2 n n )

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (4 tiết)

I Mục tiêu của bài (chủ đề)

- Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại vô cực

- Học sinh phân biệt được các dạng vô định của giới hạn hàm số

3 Thái độ:

- Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4 Đinh hướng phát triển năng lực:

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương phápgiải quyết bài tập và các tình huống

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyếtcác câu hỏi Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyếttrình

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập

III Chuỗi các hoạt động học

1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (thời gian)

Quan sát các hình ảnh (máy chiếu)

Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) và tìmcâu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3 Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ

H1 Em có nhận xét gì về hình ảnh sau?

H2.Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị hàm số yf x( ) khi x dần đến 2?

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết

quả vào bảng phụ

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nộidung các câu hỏi

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyêndương nhóm có câu trả lời tốt nhất Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơntrong các hoạt động học tiếp theo

Qua các hoạt động giáo viên dẫn dắt vào bài:

Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến tiếp cận một đại lượng nào đó: “ Giới hạn của hàm số”

2 NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC)

2.1 Đơn vị kiến thức 1 (thời gian )

a) Tiếp cận (khởi động)

HTKT 1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.

* Mục tiêu:

- Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

- Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm

* Nội dung, phương thức tổ chức:

+ Chuyển giao:

L Chia lớp thành 4 nhóm Nhóm 1, 2 hoàn thành câu hỏi số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành câu hỏi

số 2 Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

 



2.2 Đơn vị kiến thức 2 (thời gian )

HTKT 2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Định lí về giới hạn hữu hạn

* Mục tiêu: Học sinh biết được nội dung định lí 1 Thông quá đó biết áp dụng nội dung định lí

vào để tính giới hạn tại một điểm

* Nội dung, phương thức tổ chức:

So sánh giá trị của M và I+J?

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi Đại diện các nhóm trìnhbày

a) Nếu xlim ( )x0 f x L và xlim ( )x0g x M thì:

 6 limx 1 (3x+1)(-4x +8)2

Yêu cầu học sinh: tính giới hạn trên

2.3 Đơn vị kiến thức 3 (thời gian)

HTKT 3 Giới hạn một bên

* Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung định lí 2

* Nội dung, phương thức tổ chức:



( )

f x f x ( ) ?1 f x ( ) ?2 f x ( ) ?3 f x ( ) ?4 … f x ( ) ?n … ?Câu hỏi? Em có nhận xét gì về giá trị của dãy f x( )n khi x n 1 và x  n 1?

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định nghĩa 2, Định lí 2

2.4 Đơn vị kiến thức 4 (thời gian)

HTKT 4 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

* Mục tiêu:

- Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số

.* Nội dung, phương thức tổ chức:

+ Chuyển giao:

L1 Chia lớp thành 4 nhóm Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn

thành Phiếu học tập số 2 Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ

Câu hỏi :Cho hàm số

2

1 ) (





x x

3

x  x  4 x  5 x  

  3 ?

f  f   4  ? f   5  ? f     ?

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô

Tìm xlim f(x) và xlim f(x) Giải:

Hàm số đã cho xác định trên (- ; 1) và trên (1; +).

Giả sử ( x n ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn

n

x < 1 và x n   .

Ta có

3 1 1

2 3 lim 1

2 3 lim ) (

n n

x

x x

x x

f

1

2 3 lim )

f

x x

Giả sử ( x n ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn

n

x > 1 và x n   .

Ta có:

3 1 1

2 3 lim 1

2 3 lim ) (

n n

x

x x

x x

f