SKKN phương pháp giải hệ phương trình

LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chuyên đề môn Toán: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng nhưrèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán hệ phương trình trong quá trình ônthi

Phương pháp giải hệ phương trình

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dungquan trọng, thường có trong các đề thi THPT QG và trong các đề thi học sinh giỏi cáccấp Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gâykhó khăn cho học sinh trong việc giải hệ Chính vì thế đây là một nội dung đòi hỏi họcsinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất

Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống cácphương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì còn sơ sài, chưa đầy

đủ Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn

tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em họcsinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kếtquả tốt hơn

2 TÊN SÁNG KIẾN

“Phương pháp giải hệ phương trình”

3 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Phạm Văn Minh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2

- Số điện thoại: 0977657260

- E_mail:phamvanminh.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn

4 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả cùng với sự hỗ trợ của tổ chuyên môn Trường THPT Tam Đảo 2 về cơ sởvật chất - kỹ thuật trong quá trình viết sáng kiến và dạy thực nghiệm sáng kiến

5 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Xây dựng chuyên đề môn Toán: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng nhưrèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán hệ phương trình trong quá trình ônthi HSG, THPT QG

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

Ngày 01 tháng 10 năm 2019, môn Toán lớp 12

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

7.1 Nội dung sáng kiến

I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CẦN NHỚ:

 trong đó f x y ;  là một đa thức đối với x và y.

Phương pháp giải: Bằng phương pháp thế, từ phương trình (1) rút x theo y hoặc

rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 2 1 2

x y

2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng ( ; ) ( ; ) 0

trong đó các đa thức f x y g x y( ; ), ( ; ) là các đa thức đối xứng đối với x, y

(Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trò của x và y thì đa thức đó

Phương pháp giải hệ phương trình

Chú ý: Với cách đặt ẩn phụ S, P như trên thì điều kiện có nghiệm là

2

2 2

2

02

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ; )x y là ( 2; 2),( 2; 2),( 2;1),(1; 2) 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:    

2 2

2 2

315

26

S S

P PS

Thay S 3,P2, giải hệ ta tìm được 2 nghiệm ( ; ) x y của hệ là (1; 2), (2;1).

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Thay S 3,P2, giải hệ ta tìm được 2 nghiệm ( ; ) x y của hệ là (1; 2), (2;1)

Khi đó ta giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ: S x y

 sau đó giải tương tự như trên

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 3 3 3

Phương pháp giải hệ phương trình

2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng: ( ; ) 0

(trong đó f x y ;  là đa thức đối với x và y)

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương, trừ vế hai phương trình ta được

Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I)

Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III).

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

3 3

x y x

y y y

 x y  3xy x y   0

 xy(Do 3xy x y    0 x 0,y0)

Thay xyvào phương trình (1) ta được phương trình: 3x3 x2 2 0  x 1 y1Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1)x y 

Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng và trừ

theo vế hai phương trình

Ví dụ:Giải hệ phương trình

3 3

Phương pháp giải hệ phương trình

0

( )0

g x y g x y1( ; ), ( ; )2 là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc.

Phương pháp giải:

 Nếu x  0, thay vào hệ suy ra kết luận về nghiệm của hệ

 Nếu x 0: Đặt y tx 

Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t Chia theo vế hai phương trình,

ta được phương trình một ẩn t Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được x, y.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

4

24

y

y y

2 2

1 4

1 3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (0; 2),(0; 2) .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

1

x x

16t2 40t16 0

212

t t

Phương pháp giải hệ phương trình

 Với t 1 thay vào hệ ta được x y ;  1;1 hoặc x y   ;   1; 1

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y;  là 1;1 , 1; 1   

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

14

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHUƠNG TRÌNH KHÁC:

Các hệ phương trình này không có dạng đối xứng, không là hệ đẳng cấp, việc áp dụngphương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn gọn,chính xác

1 Phương pháp thế:

Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y Khi đó ta tìm cách rút y qua x (hoặc x qua y).

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

x y x

Có x  không thoả mãn Khi đó, thay x vào ta tìm được y 0

Hệ phương trình có hai nghiệm ( ; )x y là (1;-1), (-2; )-5

Hướng dẫn: Ta có thể nhận thấy nếu thế số 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1)

thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y, từ đó rút được x qua y.

Lời giải:

Thay 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được phương trình:

3 2 2 (8 2 2) 0 3 2 2 2 8 3 0

x  xy  y x y  x x y xy  y   (x2 )(y x2 xy4 ) 0y2 

 x2y 0 x2y (Do x2 xy4y2 0 x y,  )

Thay x2y vào phương trình (2) ta được:12y2 12 y1

Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (2; 1),( 2;1)  

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

4 3 2 2 2

Phương pháp giải hệ phương trình

 Với x 0, thay vào (2) không thỏa mãn  hệ vô nghiệm

 Với x 4, thay vào (2) ta được 17

2 Phương pháp biến đổi tương đương:

Phương pháp này chủ yếu dựa vào những kỹ năng biến đổi đồng nhất, phân tích bằngcách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương, lập phương, nhân chia biểu thức liên hợp,…nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng đơn giản hơn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 Giải hệ phương trình (*) ta được nghiệm ( ; ) (2;4)x y 

 Giải hệ phương trình (**) ta được nghiệm ( ; ) (113; 161)

x y y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (5;2)x y  .

Nhận xét: Với các hệ phương trình trong ví dụ 1, ví dụ 2, phương trình (1) của mỗi hệ

có dạng là phương trình (bậc hai) theo ẩn x hoặc y, khi đó ta coi ẩn còn lại là tham số.

Giải phương trình bậc hai đó theo tham số ta có thể tìm được các phân tích như trên

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x Tìm

nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ.

(Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự)

Lời giải:

Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x Khi đó:

(2) y2 4(x2)y 5x216x16 0

 'x 4(x2)2 ( 5x2 16x16) 9 x2 0,

Từ đó, ta được y 4 x hoặc y5x4

 Với y5x4, thay vào (1) ta được x y ;  0; 4 hoặc ;  4;0

5

x y   

 Với y 4 x, thay vào (1) ta được x y ;  0;4hoặc x y ;  4;0

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( ; )x y là (0;4),(4;0),( 4;0)

5



Phương pháp giải hệ phương trình

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải: Điều kiện: x y 0

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: 2x2 x2 y2 4y

 Với xy 1 có x y ;  1;1hoặc x y   ;   1; 1là nghiệm

 Với x2 ,y thay vào ta được  ;  2 10; 10

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

 Nếu x 0thì y  , ngược lại, nếu 0 y 0 x0, do đó hệ có nghiệm ( ; ) (0;0)x y  .

 Nếu xy 0: Nhân hai vế của (2) với x rồi cộng với (1) ta được:

Ẩn phụ có thể xuất hiện ngay trong từng phương trình hoặc phải qua một số phépbiến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một giá trị, biểu thức khác 0

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

2

5215

x

x y y

Phương pháp giải hệ phương trình

4

u v

Hệ phương trình có hai nghiệm ( ; ) x y là (1;3), ( 2;6)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;0)x y 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

4 2

545

04

45

254

16

x

x y xy

Phương pháp giải hệ phương trình

x x

y y x x

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

(2) y2(x1)y x 2 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Thay x=1 vào (1) có y=1

Ta có ( ; ) (1;1) x y  thoả mãn (2) và thoả mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1)x y  .

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Hệ phương trình (II) là hệ đối xứng loại 2, học sinh đã biết cách làm

Hệ phương trình có hai nghiệm( ; ) x y là (1 5 1; 5), (1 5 1; 5)

5 Phương pháp đánh giá

Phương pháp giải hệ phương trình

Phương pháp đánh giá cũng gần giống với phương pháp sử dụng bất đẳng thức Đỗivới phương pháp này, ta thường nhẩm được nghiệm của hệ phương trình, kết hợp cáctính chất của các bất đẳng thức cơ bản,…

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

3 3

Suy ra mâu thuẫn, vậy với x  hệ vô nghiệm.2

Nếu x  : Tương tự ta cũng suy ra điều mâu thuẫn.2

Với x = 2, thay vào có y = 2 suy ra ( ; ) (2; 2)x y  là nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (2; 2)x y  .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1)x y 

6 Phương pháp hàm số

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm nghiệm, như vậy để áp dụng được phươngpháp này học sinh phải được trang bị các kiến thức về sự đơn điệu của các hàm số, cáchchỉ ra tính đơn điệu của hàm số Trong phương pháp này qua các phép biến đổi thườngxuất hiện phương trình có dạng f x( )f y( ), trong đó hàm số f đơn điệu trên miền xácđịnh của nó

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Xét hàm số f t( ) t3 5t trên [-1;1].

Có f t'( ) 3 t2  5 0,  t [-1;1] f t( )nghịch biến trên (-1;1)

Khi đó, ( )f x f y( ) xy

Vậy từ (1) suy ra x , thay vào (2) có: y x8x4 1 0

Đặt a  x4  0, giải phương trình tương ứng có 1 5 4 1 5

a   x y  

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 3 2 1 1 (1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (5 2 7;5 2 7)x y   

2 2

12

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (1) x1312x1  y1312 y1 sau đó xéthàm số f t   t3 12t

Lời giải:

Phương pháp giải hệ phương trình

32

Hướng dẫn: Phương trình (1) viết về dạng f 2xf  5 2 y với f t  t t 21

Lời giải: Điều kiện 3, 5

x yPhương trình (1) 2 4x x21  5 2 5 2 y   y1 (3)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;  1; 2

Hướng dẫn: Đặt u4 x1,biến đổi phương trình (1) và xét hàm số





  

 (do y 0)Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x y;  là 1;0 , 2;1  

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các hệ phương trình sau:

12

3 2

Phương pháp giải hệ phương trình

2 4

A  1;0 , log 5;log 2 log 5  2 5  2   B  1;0 , log 2;log 2 log 5  5 5  2  

C  2;1 , log 5;log 2 log 5  2 5  2   D  1;0 , log 5;log 5 log 2  2 2  5  

Câu 2: Giải hệ phương trình:

Phương pháp giải hệ phương trình

x

y x y 2

1e

Câu 18: Tìm m để hệ phương trình 2 3 2 2

y x y x

m m

Thống kê chung như sau:

Như vậy tỉ lệ học sinh khá, giỏi ở lớp 12A2 là lớp dạy bài bản theo chuyên đề trên là 76%

và cao hơn hẳn lớp 12A4

7.3 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

- Sáng kiến trên là một mảng kiến thức thuộc phần kiến thức ‘Phương trình và hệphương trình’ đã xuất hiện trên các đề thi Nội dung sáng kiến đã nêu ra được các bàitoán cơ bản, phương pháp giải, thủ thuật bấm máy tính khắc phực lỗi chạy lâu của máytính và một số bài tập tự luyện Vì vậy sáng kiến trên có thể áp dụng rộng dãi cho đốitượng thi THPTQG trên cả nước

8 NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT (nếu có)

9 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Phương pháp giải hệ phương trình

- Đối với lãnh đạo cấp cơ sở: Cần quan tâm, sát sao trước những vấn đề đổi mới củangành giáo dục; trang bị đầy đủ các phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học…để giáo viêntích cực lĩnh hội và áp dụng những đổi mới cả về hình thức và nội dung dạy học Nhàtrường không đặt ưu tiên truyền đạt kiến thức, thông tin đơn lẻ, mà phải hình thành ở họcsinh năng lực tìm kiếm, quản lí, tổ chức sử dụng kiến thức để giải quyết vấn đề trong tìnhhuống có ý nghĩa

- Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chươngtrình; các đơn vị kiến thức Toán học cơ bản, nâng cao và phần liên hệ thực tế, liên môn.Chủ động xây dựng thêm các hệ thống bài tập theo khung chung của bài tập tổng quát đểhọc sinh tự rèn luyện kĩ năng

Khi thực hiện dạy học chuyên đề , giáo viên cần phải xác định rõ mục tiêu nàotrong bài học là quan trọng, tránh tham lam kiến thức liên môn mà không làm rõ đượckiến thức trọng tâm của môn học chính

- Đối với học sinh: Trong quá trình học tập, học sinh phải tham gia vào các hoạtđộng mà giáo viên tổ chức, đồng thời phải huy động và sử dụng kiến thức nhiều môn học

để thực hiện các nhiệm vụ mà giáo viên đưa ra thể hiện tính sáng tạo và năng lực tư duycủa bản thân Ngoài ra học sinh cần có sự kết hợp giữa nắm vững kiến thức lí thuyết vớiviệc thực hành, liên hệ thực tế để có thể vận dụng kiến thức liên môn vào thực tiễn

10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

- Sau khi dự án được thực hiện, tôi thấy các em học sinh hoàn toàn có khả năngđộc lập và sáng tạo trong việc vận dụng kiến thức của nhiều môn học khác nhau để giảiquyết một chủ đề nào đó Một số em học sinh còn làm tôi phải ngỡ ngàng trước khả năngliên kết kiến thức các môn một cách linh hoạt

- Các em có cơ hội để thể hiện hết năng lực của mình trong một giờ học Chính vìvậy mà giờ học Toán học trở nên rất nhẹ nhàng chứ không còn gánh nặng kiến thức trừutượng như trước

- Việc thiết lập các mối quan hệ theo một logic nhất định những kiến thức, kĩnăng khác nhau để thực hiện một hoạt động phức hợp, do vậy giúp HS lựa chọn thôngtin, kiến thức, kĩ năng cần thiết để thực hiện được các hoạt động thiết thực trong cáctình huống học tập

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân

Việc dạy học xung quanh một chủ đề đòi hỏi huy động kiến thức, kỹ năng, phươngpháp của nhiều môn học Điều này tạo thuận lợi cho việc trao đổi và làm giao thoa cácmục tiêu dạy học của các môn học khác nhau Vì vậy, tích hợp sẽ đáp ứng yêu cầu dạyhọc để phát triển năng lực HS

Sáng kiến giúp học sinh nhìn Toán học dưới con mắt không còn thuần túy côngthức tính toán mà nó có ứng dụng trong thực tiễn, cũng như trong đời sống và là công cụrất đắc lực làm giảm đáng kể khó khăn của một số môn học khác

11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

TT

Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực

áp dụng sáng kiến

1 Phạm Văn Minh GV THPT Tam Đảo 2 Môn Toán học

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Cacs phương pháp không mẫu mực giải phương trình, hệ phương trình – Nguyễn VănLộc ( chủ biên)-Nhà xuất bản Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

2 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn Toán – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)- Nhàxuất bản Hà Nội, 2012

4 Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất