SKKN vphương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình toán 9

Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầmquan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực,sáng tạo trong quá trình giải toán

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”

Quảng Bình, tháng 11 năm 2017

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”

Toán học là môn khoa học cơ bản, đã rất quen thuộc với các em học sinh ngay

từ tiểu học, song việc dạy tốt và học tốt môn Toán học đang là yêu cầu và mongmuốn của toàn xã hội, nó góp phần hình thành nhân cách và là cơ sở khoa học để họctập, lao động và tạo ra của cải vật chất cho xã hội Như chúng ta đã biết, Toán học làmột ngành, một môn học đòi hỏi tính suy luận và trí thông minh cao, nó nghiên cứu

về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi Do khả năng ứng dụng rộng rãitrong nhiều khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữ của vũ trụ” hay nhưnhà bác học Carl Friedrich Gauβ đã nói, “Toán học là nữ hoàng của các môn khoahọc” Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nóirằng không có Toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Do đó môn Toán có vịtrí đặc biệt quan trọng trong việc phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ cho họcsinh Tuy nhiên, qua quan sát việc học môn Toán của học sinh nhìn chung vẫn còn bịhạn chế, không ít em sợ Toán, coi việc học Toán là một công việc nặng nhọc, căngthẳng Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầmquan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực,sáng tạo trong quá trình giải toán; cũng có thể do nội dung môn Toán khô khan,phương pháp dạy của giáo viên chưa thật sự hấp dẫn, cũng như chưa tạo ra bầu khôngkhí tích cực trong các nhóm học sinh khi học Toán

Đặc biệt trong chương trình Toán lớp 9 có dạng toán “Giải bài toán bằng cáchlập phương trình - hệ phương trình” Đây là một loại toán có rất nhiều dạng, phongphú về bài tập và đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều Ngoài ra, còn phải biết tìm mốiliên hệ, gắn kết các dữ kiện đưa ra trong bài để đưa ra cách giải hợp lý, ngắn gọn vàchính xác nhất Dung lượng bài tập nhiều và phức tạp vì vậy việc vận dụng lý thuyếtvào việc giải các bài tập của học sinh phải ở mức độ cao hơn Do đó cần phải tìm ramột phương pháp giải bài tập phù hợp với trình độ năng lực của học sinh

Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc giúp học sinh đi từ lý thuyết đến thực hànhrất quan trọng, sẽ giúp ích cho học sinh áp dụng vào cuộc sống Ngoài ra, trong quátrình dạy học nên tìm cách tạo ra hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức và vậndụng vào từng dạng bài tập một cách tích cực và hiệu quả nhất để giúp học sinhkhông chỉ học tốt phần này mà nó còn kích thích tính hứng thú học tập để các em họctốt các phần tiếp theo

Hiện nay đã có các tài liệu đưa ra được phương pháp giải bài toán bằng cách lậpphương trình hay hệ phương trình Tuy nhiên để phù hợp với trình độ và năng lực củahọc sinh cần triển khai áp dụng một cách cụ thể chi tiết hơn

Từ những lí do đó tôi mạnh dạn đưa ra những ý kiến, kinh nghiệm của bản thânmình về “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trìnhToán 9”

1.2 Điểm mới của đề tài:

- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chú trọng đến phần kỹ năng giải bài toánbằng cách lập phương trình - hệ phương trình Một mặt xây dựng được cơ sở lýthuyết cơ bản, bổ sung các kiến thức liên quan Mặt khác tôi hướng dẫn các em họcsinh cách nhận biết, phân loại các dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải mộtcách nhanh chóng, hiệu quả Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp.

- Với phương pháp này sẽ giúp các em học sinh có hứng thú với môn học, nhất

là học sinh yếu, rèn luyện tính tư duy, lập luận lô gic cho các em

1.3 Phạm vi áp dụng của đề tài:

- Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình” trongchương trình môn Toán 9

- Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở tại đơn vị tôi đang công tác

- Giáo viên dạy Toán 9 THCS

2 NỘI DUNG

2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng toánlập phương trình cơ bản mà ở lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạngđơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9 Thế nhưng hầu hết các emhọc sinh ở lớp 9 đều rất ngại khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình - hệphương trình vì các em thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung Cónhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bàitập Vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liênquan giữa các đại lượng để lập phương trình - hệ phương trình Mà đây là một dạngtoán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kỳ II của lớp

9 Nhưng đại đa số học sinh không làm được bài này do không nắm chắc cách giải,cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý

Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những

đề toán khác thì lại không giải được Đó cũng là do một số giáo viên chỉ sửa bài tậpcho học sinh trong những giờ học trên lớp mà chưa chú ý đến việc giảng dạy cho họcsinh các kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời thành phươngtrình ứng với bài toán đã cho Muốn vậy học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữthông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số Ngôn ngữ đại số đó là thứngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học Vì nội dung củacác bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hộihoặc tự nhiên,… Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liênquan đến thực tế Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâmđến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Từ những lý do đó mà học sinh rất ngạilàm loại toán này Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình

độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sáchgiáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng

Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữacác dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khókhăn trong vấn đề giải loại toán này Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phươngtrình – hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mìnhlàm ra phương trình Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưacao Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lạikhông làm được Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình đểgiải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đóphát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nângcao chất lượng học tập bộ môn Toán 9

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải bài toán bằng

cách lập phương trình – hệ phương trình Toán 9”, tôi tiến hành khảo sát 2 lớp 9A,

9B của Trường THCS nơi bản thân tôi đang công tác trong năm học 2015 – 2016dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Kết quả như sau:

Qua thực tế giảng dạy và kết quả kiểm tra của học sinh tôi thấy kỹ năng làm bàicủa học sinh còn sai sót nhiều dẫn đến kết quả làm bài điểm còn thấp

Do vậy để các em học sinh nắm bắt được kiến thức, kỹ năng cơ bản của chươngtrình và vận dụng vào giải bài tập Tôi đã đưa ra một số dạng bài tập cơ bản ứng với lí

thuyết đã học, để rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ

phương trình Toán 9 Tạo cho các em có thêm hứng thú với môn học.

* Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình):

- Chọn ẩn số (đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

* Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình).

* Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương

trình) nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình (hệphương trình) chính xác thì mới có được kết quả của bài toán đã ra

Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cảgiáo viên và học sinh cần chú ý :

+ Đọc kĩ đề bài, nhận dạng và tóm tắt bài toán (sơ đồ, lập bảng) để hiểu rõ: đạilượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyểnđổi đơn vị nếu cần

+ Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện của ẩn phù hợp với yêu cầu củabài toán và với thực tế

+ Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngayđược.

+ Khi đã lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ năng giải cácdạng phương trình (hệ phương trình) đã học để tìm nghiệm của phương trình (hệphương trình)

+ Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trình) vớiđiều kiện của ẩn để trả lời

2.2.2 Phân loại dạng toán và bổ sung kiến thức cần thiết cho các dạng toán đó.

2.2.2.1 Có thể phân loại thành 6 dạng toán thường gặp như sau:

- Dạng toán về chuyển động

- Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

- Dạng toán về năng suất lao động

- Dạng toán tìm số

- Dạng toán có liên quan hình học

- Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học

v dòng nước = (vxuôi - vngược ) : 2

b Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng:

+ Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc và thời gian

+ Năng suất lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc đượchoàn thành là A Công thức biểu thị: A = n.t ;t A ; n = A

+ Dạng tổng quát của số có hai chữ số: ab (a 0 9;0 b 9;a,b N)    

d Dạng toán liên quan hình học:

+ Công thức tính diện tích các hình cơ bản như: hình chữ nhật, tam giác, hìnhtròn, hình vuông : Shcn = a.b (a chiều dài; b chiều rộng hình chữ nhật), Stamgiac =1

2

a.h (a cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng), Stron =π r2 (r là bán kính), Svuong = a2 (a làcạnh hình vuông)

e Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học.

+ Công suất của một động cơ là P, thời gian làm việc là t, công là A Công thứcbiểu thị: A = P.t; P A; t = A

a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãngđường (Lưu ý phải thống nhất đơn vị)

- Chọn ẩn và điều kiện thích hợp cho ẩn

- Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau:

Đại lượng

Các đối tượng

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)Đối tượng 1

Đối tượng 2

b/ Bài toán minh hoạ:

Bài toán 1: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km.

Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một xe khách đi hết 2 giờ Biết vậntốc của ca nô kém vận tốc của xe khách là 17km/h Tính vận tốc của ca nô?

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

6(x 17) 10x 304x 72

x = 18 (thoả mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h

Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > 0

Ta có bảng sau:

Đại lượng

Phương tiện

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

    (thoả mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ca nô là: 3.60 18

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

- Từ đó có hệ phương trình:

y x 1710

- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời

Bài toán 2: (Bài 47 SGK Toán 9/Trang 58)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởihành cùng một lúc Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3km nên bácHiệp đến sớm hơn cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người?

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h), x > 3

Khi đó, vận tốc xe của cô Liên là: x – 3 (km/h)

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là: 30

Vậy: Vận tốc xe của bác Hiệp là 15km/h

Vận tốc xe của cô Liên là 15 – 3 = 12 (km/h)

Cách 2: Lập hệ phương trình:

- Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x > 3

- Vận tốc xe của cô Liên là y(km/h), y > 0

- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời

Bài toán 3: (Bài 3 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán/Tr62 – Trần Lưu Thịnh)

Một ô tô đi quãng đường AB dài 80km trong một thời gian đã dự định, ba phần

tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10km/h, quãng đường còn lại ô tôchạy chậm hơn 15km/h Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định Tính thời gian ô tô

đi hết quãng đường AB?

* Hướng dẫn giải

Cách 1: Chọn ẩn gián tiếp

+ Nếu gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)

- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau :

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), x > 15

Thời gian ô tô dự định đi là: 80

x (giờ)

Đoạn đường ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 80.3 60

4  (km)

Thời gian ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 60

x 10 (giờ)Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc x – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km)Thời gian ô tô đi với vận tốc x - 15 (km/h) là: 20

x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc dự định của ô tô là: 40 (km/h)

Do đó thời gian để ô tô đi hết quãng đường là: 80 2

40  (giờ).

Cách 2: Chọn ẩn trực tiếp

+ Nếu gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ)

Thì thời gian của ô tô dự định đi hết quãng đường AB là t (giờ)

- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau:

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

t 

20

* Giải:

Gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ), t >0

Khi đó, thời gian ô tô dự định đi là: t (giờ)

Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc 80

t – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km)

Thời gian ô tô đi với vận tốc 80

t – 15 (km/h) là:

208015

Với t = 0 (không thỏa mãn điều kiện); t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian để ô tô đi hết quãng đường là 2 giờ

* Như vậy, qua bài toán trên ta thấy: Khi giải bài toán bằng cách lập phương

trình - hệ phương trình đa số chúng ta thường chọn trực tiếp đại lượng chưa biết làm

ẩn Nhưng đôi khi việc chọn đại lượng chưa biết làm ẩn làm cho việc giải bài toán trởnên phức tạp hơn Vì vậy, tùy theo bài toán đưa ra ta có thể chọn ẩn một cách giántiếp thông qua một đại lượng khác

2.2.3.2 Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:

“ làm chung - làm riêng ”, “vòi nước chảy” (toán quy về đơn vị)

a/ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

- Hướng dẫn học sinh có thể l p b ng nh sau:ập bảng như sau: ảng như sau: ư sau:

Đại lượng

Đối tượng

Thời gian làmxong 1 công việc Năng suất Công việcĐội I (Vòi 1)

Đội II (Vòi 2)

Cả 2 đội (2 vòi)

b/ Bài toán minh hoạ:

Bài toán 1: (Bài 33 SGK Toán 9/Trang 24)

Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứnhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏinếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

* Hướng dẫn giải:

Đại lượng

Đối tượng

Số giờ để hoànthành công việc Năng suất

Tổng khối lượngcông việc

x 24

x 24(I)

Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ.

Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 48 giờ

Bài toán 2: (Bài 32 SGK Toán 9/Trang 23)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 44

Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0)

Thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0)

Ta có bảng sau:

Đại lượng

Đối tượng

Số giờ để nướcchảy đầy bể

Lượng nướctrong 1 giờ

Tổng khối lượngcông việc



1

* Giải: Đổi 44 24

5 5

Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0)

Thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: 1



(bể)

Vì hai vòi cùng chảy thì bể đầy trong 44

5 giờ nên ta có phương trình: