Một số phương pháp giải hệ phương trình luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS... 62 3.2 ÙNGDÖN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHẠM VĂN QUỐC

HÀ NỘI, NĂM 2013

Möc löc

1.1 M¸TS¨D NGH CÌB N 7

1.1.1 H PH×ÌNGTRNHB CNHTHAI N 7

1.1.2 H PH×ÌNGTRNH ¨IXÙNG 9

1.1.3 H PH×ÌNGTRNH NGC P 15

1.1.4 H PH×ÌNGTRNHD NGHO NVÀV`NGQUANH 19

1.2 PH×ÌNGPH PCÌB N 24

1.2.1 PH×ÌNGPH PC¸NG IS¨ 24

1.2.2 PH×ÌNGPH PTH 27

2 M¸T S¨ PH×ÌNG PH P GI I H PH×ÌNG TR NH 32 2.1 PH×ÌNGPH P T NPHÖ 32

2.2 PH×ÌNGPH PBI N ˚IV PH×ÌNGTRNHTCH 37

2.3 PH×ÌNGPH PDÒNGH NG NGTHÙC 43

2.4 PH×ÌNGPH PDÒNGTNH ÌN I UCÕAH MS¨ 46

2.5 PH×ÌNGPH PDÒNGBT NGTHÙC 51

2.6 PH×ÌNGPH PL×ÑNGGI CHO 54

2.7 PH×ÌNGPH PSÛDÖNGS¨PHÙC 58

3

3 M¸T V I ÙNG DÖNG CÕA H PH×ÌNG TR NH 62

3.1 ÙNG DÖNG TRONG X T T×ÌNG GIAO CÕA HAI ˙ THÀ 62

3.2 ÙNGDÖNGTRONGGI IPH×ÌNGTRNH 63

3.3 ÙNGDÖNGTRONGTMGTLN,GTNN 66

3.4 ÙNGDÖNGTRONGGI IB ITO NKINHT 68

K TLU N 71

T ILI UTHAMKH O 72

4

M°c dò b£n th¥n ¢ r§t cŁ g›ng v nghi¶m tóc trong håc t“p công nh÷ nghi¶n cøu khoahåc nh÷ng do thíi gian câ h⁄n, ki‚n thøc b£n th¥n cÆn h⁄n ch‚ n¶n trong qu¡ tr…nh thüchi»n khæng tr¡nh khäi sì su§t K‰nh mong nh“n ÷æc sü gâp þ cıa thƒy cæ v c¡c b⁄n.Tæi xin tr¥n trång c£m ìn!

5

L˝I M— U

Chuy¶n • h» ph÷ìng tr…nh l mºt nºi dung quan trång, cƒn thi‚t, câ th” xem nh÷mºt trong nhœng d⁄ng to¡n cì b£n nh§t cıa ch÷ìng tr…nh ⁄i sŁ ð b“c trung håc C¡c b i to¡nv• gi£i h» ph÷ìng tr…nh xu§t hi»n ð hƒu h‚t c¡c k… thi ⁄i håc, Cao flng v c¡c k… thi Håcsinh giäi

øng tr÷îc mºt h» ph÷ìng tr…nh håc sinh cƒn ph£i bi‚t ph¥n t‰ch, nh“n d⁄ng v chånlüa ph÷ìng ph¡p gi£i th‰ch hæp MØi b i to¡n •u câ th” câ nhi•u c¡ch gi£i Tuy nhi¶n, vi»ch» thŁng ho¡ c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i s‡ cho ph†p nh…n nh“n c¡c b i to¡n theo mºt h» thŁngnh§t qu¡n Do â tæi ¢ lüa chån nghi¶n cøu • t i Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr…nh

B£n lu“n v«n ÷æc chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ d⁄ng h» v ph÷ìng ph¡p cì b£n

Ch÷ìng n y nh›c l⁄i mºt sŁ d⁄ng h» cì b£n v ph÷ìng ph¡p gi£i nh÷: H» ph÷ìng tr…nhb“c nh§t hai 'n, h» Łi xøng, flng c§p, ho¡n và vÆng quanh còng c¡c ph÷ìng ph¡p cì b£n lcºng v th‚

H nºi, th¡ng 12 n«m 2013T¡c gi£ lu“n v«n

NGUY N THÀ KIM NG¯C

6

: f j

a x + b y = cnghi»m d⁄ng (x ; y )

7

8

b) C¡ch gi£i: °t S = x + y; P = x:y ( i•u ki»n S2 4P ).

Gi£i h» tr¶n t…m ÷æc S; P tł â theo ành lþ Viet £o, x; y l nghi»m ph÷ìng tr…nh:

Ta câ G(y) = f(y) + g(y) f(y) g(y) = 0

Suy ra y l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh G(x) = 0 Chøng tä G(x) câ chøa nh¥n tß (xy) theoành lþ Bezout

Nh÷ v“y ta câ c¡ch gi£i h» Łi øng lo⁄i 2 l : trł hai ph÷ìng tr…nh v‚ theo v‚ ” ÷æc G(x; y)

= (x y):M(x; y) = 0: Sau â gi£i h» trong tłng tr÷íng hæp x = y v M(x; y) = 0: *) V‰ dö ¡pdöng

Lo⁄i 1: H» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 1

9

T÷ìng tü tr¶n x†t c¡c h»:

8V‰ dö 1.5 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh 9y3(3x3 1) = 125 (1)

> 45x 2 y + 75x = 6y 2 (2)

<

:Nh“n x†t y = 0 khæng tho£ m¢n h» ph÷ìng tr…nh suy ra y 6= 0

8(u :

°t 88

:Gi£i

Qua c¡c v‰ dö

tr¶n ta th§y æi khi h» ban ƒu ch÷a ph£i l h» Łi xøng lo⁄i 1 nh÷ng

qua bi‚n Œi ho°c °t 'n phö ta ÷a v• h» Łi xøng lo⁄i 1

Lo⁄i 2: H» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2

Łi vîi h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2, n‚u f(x; y) l a thøc ta th÷íng trł v‚ vîiv‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc ph÷ìng tr…nh d⁄ng (x y):M(x; y) = 0 Trong tr÷íng hæpM(x; y) = 0 n‚u M(x; y) l a thøc Łi xøng ta th÷íng cºng v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh

x3 y3 = 5x 5y, (x y)(x2 + y2 + xy 5) = 02

6 = 7

1 + px + 6 = 7

<

pV‰ dö 1.8 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh 8

p

:Trł v‚ theo v‚ cıa 2 ph÷ìng tr…nh ta ÷æc

V“y h» ¢ cho câ nghi»m x = y = 10:

N‚u ta thay Œi h» sŁ tü do mºt chót ta s‡ câ b i to¡n mîi nh÷ sau:

Nh“n x†t: B i n y ta ho n to n câ th” gi£i b‹ng c¡ch trł tłng v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh

t÷ìng tü v‰ dö tr¶n Tuy nhi¶n ta câ th” câ líi gi£i ng›n gån hìn nhí ¡nh gi¡ nh÷ sau: Gi£i

D§u = x£y ra khi x=y=1

V“y h» câ nghi»m duy nh§t (1;1)

K 3 x; y 5.

:C¡ch 1

Trł v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc

13

Ta công câ th” ch¿ ra x = y nh÷ sau:

V“y h» (I ) câ 2 nghi»m l (0;0) v (1;1).

Nh“n x†t: Łi vîi c¡c h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2 m c¡c ph÷ìng tr…nh th nh phƒn

l ph÷ìng tr…nh si¶u vi»t vi»c l m xu§t hi»n nh¥n tß (x y) g°p khâ kh«n ta s‡ chøng tä x

X†t x = 0 thay v o h» ki”m tra xem câ tho£ m¢n khæng.

Vîi x = 0 °t y = tx thay v o h» ta câ 8f(x; tx) = a

1+) t = 1 ) y = x thay v o h» ) 2x3 = 1 , x = p3 2

<

°t y = tx h» trð th nh

Nhœng h» ph÷ìng tr…nh tr¶n ta •u nh“n ra ngay d⁄ng h» flng c§p Sau ¥y ta x†t mºt

sŁ v‰ dö m ph£i qua bi‚n Œi mîi ÷a ÷æc v• h» flng c§p

Nh“n x†t n‚u x = 0 th… y = 0 v ng÷æc l⁄i n¶n (0,0) l mºt nghi»m cıa h» X†t

Ta x†t mºt sŁ v‰ dö nœa v• ÷a mºt h» v• ph÷ìng tr…nh çng b“c:

I(a; b) D := Df \ Dg, cÆn (x1; x2; :::; xn) l nghi»m cıa h» (1) vîi xj 2 I(a; b); 8j = 1:n th… x1 =

x2 = ::: = xn

Chøng minh

Gi£ sß f(x) v g(x)çng bi‚n tr¶n I(a; b) v x1 = min fx1; x2; :::; xng Ta câ x1

x2 ) f(x1) f(x2) ) g(x2) g(x3) ) x2 x3 ) ::: ) xn x1) x1 x2 x3 ::: xn x1 ) x1 = x2 = x3 = ::: = xn (dpcm)ành lþ 2: N‚u f(x) v g(x) kh¡c t‰nh ìn i»u tr¶n mi•n I(a; b) li¶n thæng,

I(a; b) D := Df \ Dg, cÆn (x1; x2; :::; xn) l nghi»m cıa h» (1) vîi xj 2 I(a; b); 8j = 1:n th…:

Câ f(t) x¡c ành v

f0(t) = 4t2 + 2 +t2 2t + 2 = 4 t2 + t2 2t + 2 > 0 8t 2 R:V“y f(t) l h m sŁ çng bi‚n tr¶n R:

n¶n h(t) l h m sŁ çng bi‚n tr¶n R M h(2)=0 n¶n (1) câ nghi»m duy nh§t t=2

V“y h» ph÷ìng tr…nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t x=y=z=2

p döng ành lþ 1, x = y = z = t l nghi»m thuºc ( ; ) cıa ph÷ìng tr…nh

2

21

2 ¥y l m§u chŁt cıa b i to¡n.

Tr¶n ¥y l mºt sŁ b i t“p ¡p döng trüc ti‚p ành lþ 1 v 2 Sau ¥y ta x†t mºt sŁ v‰ dö m thayv… ¡nh gi¡ x; y; z ri¶ng l·, ta s‡ i ¡nh gi¡ nhœng bi”u thøc ho¡n và cıa x; y; z l x + y; y + z; z+ x ho°c x3 + y3; y3 + z3; z3 + x3

°t f(t) = 3t3 + 2t2 + t câ f0(t) = 9t2 + 4t + 1 > 0 8t 2 R suy ra f(t) l h m sŁ çng bi‚n tr¶n R

Khæng gi£m tŒng qu¡t gi£ sß x = max fx; y; zg

câ th” so s¡nh ÷æc v‚ tr¡i cıa tłng ph÷ìng tr…nh

Ta quay l⁄i h» ph÷ìng tr…nh ð v‰ dö 1.20

22

Khæng gi£m tŒng qu¡t gi£ sß x = max fx; y; zg

1.2 PH×ÌNG PH P CÌ B N

*) Cì sð ph÷ìng ph¡p: K‚t hæp 2 ph÷ìng tr…nh trong h» b‹ng c¡c ph†p to¡n: cºng, trł,nh¥n, chia ta thu ÷æc ph÷ìng tr…nh h» qu£ m vi»c gi£i ph÷ìng tr…nh n y l kh£ thi ho°c câlæi cho c¡c b÷îc sau

Cºng v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc

Nh¥n 2 v‚ ph÷ìng tr…nh thø hai vîi -3 rçi cºng vîi ph÷ìng tr…nh thø nh§t ÷æc

x3 + 3xy2 3x2 18xy 3y2 = 28 30x 18y

24

K‚t hæp vîi (1) ta câ y2 = 9 , y = 3.

V“y nghi»m cıa h» l (1;3), (1;-3)

Rª r ng l ta thüc hi»n ph†p to¡n cºng, trł tłng v‚ khi ph¡t hi»n th§y n‚u l m v“y trong c¡cph÷ìng tr…nh mºt sŁ h⁄ng tß çng d⁄ng câ th” gi£n ÷îc ÷æc Tuy nhi¶n, câ nhœng h» ph÷ìngtr…nh, ta l⁄i thüc hi»n vi»c nh¥n hay chia tłng v‚ (n‚u kh¡c khæng) ” thüc hi»n vi»c thu gån

Nh¥n tłng v‚ c¡c ph÷ìng tr…nh cıa h» vła thu ÷æc ta câ

24(x 2)(y + 2)(z + 4) = (x 2)(y + 2)(z + 4)(x2 + 2x + 3)(y2 2y + 5)(z2 4z + 7)2

Vîi x = 2 thay v o (1) ta câ y = 2, thay v o (2) câ z = 4

Suy ra h» câ nghi»m (2; 2; 4)

D§u b‹ng x£y ra khi v ch¿ khi x = 1; y = 1; z = 2:V“y n¶n (*) câ nghi»m duy nh§t ( 1; 1; 2).

Thß l⁄i, ta th§y ( 1; 1; 2) khæng l nghi»m cıa h»

25

V“y h» câ nghi»m duy nh§t (2; 2; 4).

1

=

1n¶n h» câ nghi»m (1;

1

;

1); ( 1; 1 ;

1)

2x

1

;

1)

1.2.2 PH×ÌNG PH P TH

H» ph÷ìng tr…nh gi£i b‹ng ph÷ìng ph¡p th‚ l ÷a nhi•u r ng buºc v• ‰t r ng buºc, ÷a h»nhi•u ph÷ìng tr…nh v• h» ‰t ph÷ìng tr…nh hay l ÷a h» ph÷ìng tr…nh v• ph÷ìng tr…nh Bðiv“y, ¥y l c¡ch l m tü nhi¶n nh§t, theo quan i”m ÷a c¡i phøc t⁄p v• c¡i ìn gi£n

D§u hi»u nh“n bi‚t Łi vîi h» ph÷ìng tr…nh gi£i b‹ng ph†p th‚ l ‰t nh§t mºt trong c¡cph÷ìng tr…nh câ th” rót ÷æc mºt 'n qua c¡c 'n cÆn l⁄i; vi»c th‚ v o nhœng ph÷ìng tr…nh kiacho ta ph÷ìng tr…nh hay h» ph÷ìng tr…nh câ th” gi£i ÷æc

Lo⁄i 1: Tł mºt ph÷ìng tr…nh t‰nh mºt 'n theo 'n cÆn l⁄i rçi th‚ v o ph÷ìng tr…nh kia

N‚u trong ph÷ìng tr…nh cıa h» m câ mºt 'n xu§t hi»n d÷îi d⁄ng b“c nh§t th… ta câ

27

th” rót 'n â theo 'n cÆn l⁄i v th‚ v o ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h» Ph÷ìng tr…nh thu ÷æc câ th” câ b“c khæng nhä nh÷ng þ t÷ðng gi£i l r§t rª r ng.

258

25V‰ dö 1.29 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh x3 + 2x2y + 2y 5x = 0 (1)

x8 + 2x6 3x4 20x2 + 20 = 0 , 6 x2 = 1 , 6x = 1

2); (

2):

22

Vîi b i n y, tr÷íng hæp x 6= 0 ta câ th” chia hai v‚ ph÷ìng tr…nh (1) cho x v chia

28

;

1); (

Th‚ (2) v o (1) ta ÷æc ph÷ìng tr…nh > 2

(x2 + 3x + 3 2x ) = 2x + 9 , x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = 0, x(x + 4)3 = 0 , x = 0 _ x = 4:

Thay x = 0 v o ph÷ìng tr…nh (2) th§y khæng tho£ m¢n

Thay x = 4 v o ph÷ìng tr…nh (2) ÷æc y = 17

29

V“y h» ¢ cho câ nghi»m ( 4;

17)

4+) Vîi y = 0 thay v o (1) ÷æc x2 + 1 = 0 (V N)

+) Vîi x + y = 3 thay v o (1) ÷æc

(x + y)2 + 1 = 4y + xy

4Vîi y = 5 ) x = 2, vîi y = 2 ) x = 1

+) Vîi x + y = 5 thay v o (1) ÷æc 25 + 1 = 4y + ( 5 y)y (V N).

V“y h» ph÷ìng tr…nh ¢ cho câ nghi»m ( 2; 5); (1; 2):

Vîi y = 1 ) x = 2, vîi y = 1 ) x = 2 V“y h» câ hai nghi»m: (2; 1); ( 2; 1):

Ch֓ng 2

M¸T S¨ PH×ÌNG PH P GI I

*) Cì sð ph÷ìng ph¡p: Khi gi£i mºt h» ph÷ìng tr…nh ta th÷íng bi‚n Œi c¡c ph÷ìng tr…nh

mºt c¡ch hæp lþ ” nh“n ÷æc h» mîi m c¡c ph÷ìng tr…nh câ c¡c bi”u thøc chøa 'n chung °t l

m 'n phö v d¤n tîi h» mîi (vîi 'n mîi) d„ t…m ÷æc nghi»m hìn Ta th÷íng dòng c¡c ph†p bi‚n

Œi sau ” ÷a h» v• d⁄ng ìn gi£n hìn

Lo⁄i 1: Ph¡t hi»n 'n phö câ ngay trong tłng ph÷ìng tr…nh ho°c xu§t hi»n sau mºt sŁ ph†p

8 p

32

3

>a2 2 + b2 2 = 100 , > b = 10 >

: : :Thay v o b÷îc °t ta suy ra h» câ bŁn nghi»m (2; 1); (

2

;

1); (2; 1); (

2

;

1)

Trong c¡c v‰ dö tr¶n, chóng ta °t hai hay nhi•u 'n phö khi‚n cho h» mîi khæng cÆn'n cô Câ nhœng h» ph÷ìng tr…nh ch¿ °t mºt 'n phö, cÆn 'n kia v¤n giœ nguy¶n H» mîichøa c£ 'n mîi l¤n 'n cô

p

°t t = 2x 1; t 0, h» ph÷ìng tr…nh trð th nh

34

+) y 6= 0 lƒn l÷æt chia hai ph÷ìng tr…nh cho y2; y3 h» trð th nh

<

)

= 19P3 , 63P6+ P3 = 0 , 6 4

>

3

3 S

= 1 P

3

:1+) Vîi

181x+=

S , 2 3

:

1 1

P =

6

+) x = 0 khæng tho£ m¢n h» ph÷ìng tr…nh.

8

1

6 + 7y =+) x = 0 lƒn l÷æt chia hai ph÷ìng tr…nh cho x3 ; x h» trð th nh x3

2

Nh“n x†t: Trong v‰ dö tr¶n, 'n phö t÷ìng Łi khâ ph¡t hi»n Tuy nhi¶n, ta düa

v o n†t °c bi»t hi‚m hoi l c¡c bŁ tr‰ h» sŁ 6x4; 6; 5x4; 5 v c¡c bi”u thøc chøa

x : x3 x; x2 ; (x2 1)2; x2 ” nh“n ra b÷îc chia cho x2 ÷a v• h» 'n y v t

D: H

»,

(x +

x )

+(y

> 5 1 1 + >5 1 5 S: (1;

:

); (1; ); ( 1;

>

);( 1; ): :

2

x2+

2

Lo⁄i 1 : Nhâm c¡c nh¥n tß chung

xyV‰ dö 2.9 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh 8 x2 + y2 + x4+ y = 4 (1)

x + y, (x + y 2)(

x2 + y2

+2)=0

x + y, x + y 2 = 0 , y = 2 x (Do

x2 + y2

> 0):

x + yThay v o (2) ta ־c

TH2: x2 + y2 2 = 0 bi‚n Œi (1)

(1) , 3y(x2 + y2) + 2x2y 4xy2 2(x + y) = 0, 2x2y 4xy2 2x + 4y = 0

, 2(xy 1)(x 2y) = 0 2xy, 6x 2y = 0 1 = 0

438

2 10

;

10):

8V‰ dö 2.11 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh 3y(9y2 + 1) = (x 2y + 1) p x 2y (1)

Bi”u thøc trong ph÷ìng tr…nh thø nh§t cçng k•nh khi‚n ta khâ ph¡t hi»n nh¥n tß chung

Coi ph÷ìng tr…nh thø nh§t l ph÷ìng tr…nh b“c hai 'n y ta gi£i

39

Chó þ: Khi g°p mºt ph÷ìng tr…nh cıa h» câ d⁄ng

> < y2 + xy 2y = 1

:Nh¥n ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h» vîi k 6= 0 v cºng vîi ph÷ìng tr…nh thø nh§t ta ÷æc

Ta th§y k = 2 l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh tr¶n Khi â

40

x = 16y2 24y + 9 = (4y 3)2

Lo⁄i 3: Nh¥n vîi l÷æng li¶n hæp ” xu§t hi»n nh¥n tß chung

Lo⁄i n y th÷íng ¡p döng vîi c¡c h» ph÷ìng tr…nh chøa c«n n‚u ta th§y c¡c bi”u thøc

trong c«n câ tŒng (ho°c hi»u) câ th” l nh¥n tß chung

2 p 6y + 1 = 0 (2)

+) Gi£i (3) vîi y 0

N‚u 0 < y < 1 th… y7 + 2y4 + y < 4 ) (3) V N:

N‚u y > 1 th… y7 + 2y4 + y > 4 ) (3) V N:

Suy ra y = 1 l nghi»m duy nh§t cıa (3) y = 1 ) x = 2 V“y

h» ¢ cho câ hai nghi»m (1; 0); (2; 1):

Nh“n x†t: — b i to¡n tr¶n ta ¢ ÷a v• ph÷ìng tr…nh t‰ch b‹ng c¡ch nh¥n th¶m l÷ængli¶n hæp N‚u nh¥n tß thu ÷æc qu¡ cçng k•nh ho°c khâ gi£i h¢y thß ngh¾ c¡ch chøng minh

nâ væ nghi»m

41

HD: nh¥n pt (2) vîi 3 rçi cºng vîi pt (1) ta ÷æc (x + 1) (x + 1)2 + 3(y 4)2 =08x3 3x = y3 3y

Nh“n x†t: N‚u chóng ta th§y c¡c bi”u thøc cıa x v y trong h» ph÷ìng tr…nh chøa ƒy

ı c¡c b“c th… kh£ n«ng gi£i theo c¡ch dòng h‹ng flng thøc l cao

L⁄i thay v o ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h», ta ÷æc:

(3 y)2 + 2y2 = 3 y + 4y , 3y2 9y + 6 = 0 , y = 1 _ y = 2:

Thß l⁄i ta th§y tho£ m¢n V“y h» câ hai nghi»m l (1;2), (2;1).

43

Nh“n x†t: Łi vîi c¡c h» ph÷ìng tr…nh m hai 'n x; y ºc l“p vîi nhau ta •u câ th” ¡pdöng ph÷ìng ph¡p tr¶n Ta x†t ti‚p v‰ dö sau:

Thay v o (1) v k‚t hæp i•u ki»n ta ÷æc x = y = z = 2

V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t x = y = z = 2

Nh¥n ph÷ìng tr…nh (1) vîi 2, nh¥n ph÷ìng tr…nh (2) vîi 4 rçi cºng hai ph÷ìng tr…nh l⁄i ta

ành lþ 3:

Cho h m sŁ y = f(x) câ ⁄o h m ‚n c§p n v ph÷ìng tr…nh f(k)(x) = 0 câ mnghi»m, khi â ph÷ìng tr…nh f(k 1)(x) = 0 câ nhi•u nh§t l m + 1 nghi»m

Lo⁄i 1: Bi‚n Œi mºt ph÷ìng tr…nh v• d⁄ng f(u) = f(v):

Nh“n x†t: Trong h» ph÷ìng tr…nh m câ ph÷ìng tr…nh câ x; y t¡ch bi»t th… kh£ n«ngdòng t‰nh ìn i»u l cao Khi â ta ph¥n t‰ch ph÷ìng tr…nh v• d⁄ng

°t 5 2y = t ) y = 2 v (3 2 2 Ta bi‚n Œi v‚ tr¡i ” h m °c

22

46

.V“y (1)

2

X†t h m sŁ g(x) = 4x + ( 2 2x ) + 2 3 4x 7 câ g0(x) > 0; 8x 4 suy ra g(x) çngbi‚n tr¶n TX , l⁄i câ g(

= 4x2 + 2x + 92x + 2x2 + 9

2+

x)2 = (

5x)2

47

2(2y 1)2 + 2(2y 1)(2t 1) + 2(2t 1)2+1

Th‚ v o h»

y = (2y 1)3 , 8y3 12y2 + 5y 1 = 0 , (y 1)(8y2 4y + 1) = 0 , y = 1:

y = 1 ) x = 2 tho£ m¢n i•u ki»n ban ƒu

V“y h» ¢ cho câ nghi»m duy nh§t (2;1)

Lo⁄i 2: Dü o¡n t“p nghi»m, chøng minh khæng cÆn nghi»m n o kh¡c nœa

Tr÷îc ti¶n ta ÷a h» v• ph÷ìng tr…nh mºt 'n d⁄ng f(x) = 0 rçi ch¿ ra ph÷ìng tr…nh f0(x)

= 0 câ k nghi»m, chøng tä f(x) = 0 câ nhi•u nh§t k + 1 nghi»m Li»t k¶ k + 1 nghi»m

cıa f(x) = 0 v khflng ành â l t“p nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Tł â suy ra t“p nghi»m

= p

+ p

(2) , 2x(x2 y) + y2(x2 y) + 3(x2 y) = 0

, (2x + y2 + 3)(x2 y) = 0, x2 y = 0 , y = x2 (do i•u ki»n suy ra 2x + y2 + 3 > 0)

f0(t) = 0 , 4 4t ln 4 = 0 , t = log4

4

> 0:

ln 4Ph÷ìng tr…nh f0(t) = 0 câ nghi»m duy nh§t suy ra ph÷ìng tr…nh f(t) = 0 câ nhi•u nh§t

hai nghi»m L⁄i th§y f(1) = f(

1) = 0 n¶n (3) câ hai nghi»m 2

t = 1:

(1; +1) n¶n g0(x) = 0 câ óng mºt nghi»m thuºc kho£ng n y Tł â ph÷ìng tr…nh g(x) = 0

câ nhi•u nh§t hai nghi»m tr¶n (1; +1)

N¶n ph÷ìng tr…nh (3) câ mºt nghi»m thuºc (1;2) v mºt nghi»m thuºc (2; +1) Ngh¾a l (3)

câ hai nghi»m tr¶n (1; +1), do â h» công câ hai nghi»m tr¶n (1; +1)

B i t“p t÷ìng tü

Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr…nh

50

V“y h» ¢ cho câ nghi»m duy nh§t (x; y; z) = (2; 2; 2):

H» t÷ìng ÷ìng vîi 8(x + y)2 z(x + y) + z2 3=0 (1)

> (x y)2 z(x y) + 1 = 0 (2)

<

:Coi (1) l

ph÷ìng tr…nh b“c hai 'n (x + y); z l tham sŁ Ph÷ìng tr…nh câ nghi»m

V“y h» câ hai nghi»m l ( 1; 0; 2); (1; 0; 2)

X†t ti‚p mºt v‰ dö nœa v• sß döng i•u ki»n câ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh b“c hai:

Khi â x; y l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh b“c hai 'n X>

2

8

> x + y = 0

<

:V“y h» câ nghi»m duy nh§t (x; y; z) = (0; 0; 1)

52

¥y l h» ph÷ìng tr…nh câ sŁ 'n b‹ng sŁ ph÷ìng tr…nh, ð ¥y t¡c gi£ muŁn giîi thi»u

>

:D„ th§y h» câ nghi»m (0;0;0) D÷îi ¥y ta x†t x; y; z 6= 0 Tł h» tr¶n ta th§y x; y; z > 0

Þ t÷ðng cıa b i n y l ta nh'm ÷æc mºt nghi»m (2;2;2) Ta s‡ chøng minh â l nghi»m duy

53

cıa h» ta suy ra

x + y + xy + 2014 = (x + 1)(y + 1) + 2013 > 0:

+) N‚u x > y th… ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h» câ VT>0, VP<0 Væ lþ

+) N‚u x < y th… ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h» câ VT<0, VP>0 Væ Lþ

+) N‚u x = y th… ph÷ìng tr…nh thø hai cıa h» tho£ m¢n Thay v o ph÷ìng tr…nh thø nh§t

ta ־c 2x2 = 1 , x =

1