SKKN phương pháp giải hệ phương trình

Tên đề tài: “ Phương pháp giải hệ phương trình”PHẦN 2: NỘI DUNG A- MỞ ĐẦU I- ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trìnhtoán THCS ,toa

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH”

HỌ VÀ TÊN : VŨ HỮU HẢI

CHỨC VỤ : PHÓ HIỆU TRƯỞNG

ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS PHÙ CỪ

Năm học 2013 - 2014

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THCS PHÙ CỪ

2- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

PHẦN 1: PHẦN LÝ LỊCH

Họ và tên tác giả: Vũ Hữu Hải

Chức vụ: Phó hiệu trưởng

Tên đề tài: “ Phương pháp giải hệ phương trình”

PHẦN 2: NỘI DUNG A- MỞ ĐẦU

I- ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trìnhtoán THCS ,toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sátphần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm

ra cách giải Nguyên nhân là vì

Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏingười học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau,

có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu thamkhảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc củabài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìntổng quát về hệ phương trình

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổngquát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn chocác em

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về mặt hình thức là không mới Cái mới ở đâychính là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào cácphương pháp quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh Thêm vào đó, với mỗibài toán đều có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinhtìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúngbằng cách nào

Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghimột cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toánmới Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này

Đề tài đã được triển khai tại trường THCS Phù Cừ và được Hội đồng khoahọc trường đánh giá cao trong năm học vừa qua rất mong được các bạn bè đồng

nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tên đề tài: “Phương pháp giải hệ phương trình”

* Đề tài nghiên cứu và đưa ra phương pháp giải hệ phương trình , phân loại có

tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các phương pháp quenthuộc, phù hợp với tư duy của học sinh Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều cósự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái gốccủa bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào

* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 9 tự học chủ đề toán học

“Phương pháp giải hệ phương trình”.

* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dụcở trường THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và

kỹ thuật dạy học tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCSPhù Cừ

II- PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1- Cơ sở lý luận

1.1 Định hướng đổi mới PPDH môn toán.

Định hướng đổi mới PPDH môn Toán trong giai đoạn hiện nay đã được xác địnhlà: “PPDH Toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩmchất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”

(Chương trình GDPT môn Toán của Bộ GD&ĐT ban hành theo quyết định số16/2006/QĐ-BGD%ĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006)

Đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông được thực hiện theo các địnhhướng sau:

1 Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông

2 Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể

3 Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh

4 Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường

5 Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy- học

6 Kết hợp giữa việc tiếp thu và sử dụng có chọn lọc, có hiệu quả các phươngpháp dạy học tiên tiến, hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của cácphương pháp dạy học truyền thống

7 Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học và đặc biệt lưu ý đến nhữngứng dụng của công nghệ thông tin (Một số vấn đề đổi mới PP dạy học môn toánTHCS - Tôn Thân - Phan Thị Luyến - Đặng Thị Thu Thủy)

1.2 Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.

a Dạy học tích cực là gì?

Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ

những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủđộng, sáng tạo của người học

"Tích cực" trong PPDH - tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủđộng, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không dùng theo nghĩa trái vớitiêu cực

Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức

của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứkhông phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy

Học tích cực chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương

tác đề tài chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri

thức hơn là việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên Trong một môi trường học tập tích cực, giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải là người “đọc chính tả” cho học sinh chép!

2 C¬ së thùc tiÔn

Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh

ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phươngtrình được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi họcsinh giỏi , ĐH, CĐ

Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi học sinh giỏi tôi trực tiếp hướng dẫnhọc sinh giải hệ phương trình , tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩnăng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng thường ápdụng khi giải “hệ không mẫu mực” Trong bài viết này tôi xin giới thiệu và trình

bày tóm tắt một số “ phương pháp giải hệ phương trình “.

Năm học này , bản thân tôi được nhà trường và phòng giáo dục giao cho nhiệm

vụ đào tạo , bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp huyện , cấp tỉnh Đây là cơ hội để tôi

đưa ra đề tài “phương pháp giải hệ phương trình” và áp dụng vào công tác bồi

dưỡng học sinh giỏi

Với tất cả các lý do trên tôi quyết định chọn đề tài này

3 Các biện pháp cơ bản tiến hành nghiên cứa đề tài

3.1 Phương pháp nghiên cứu:

1 Phương pháp nghiên cứ lý luận

Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mớiPPDH môn toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng,nhiệm vụ năm

học, hướng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận chođề tài

2.Phương pháp nghiên cứu dạy học tích cực

a) Phương pháp luyện tập và thực hành

b) Phương pháp dạy học và phát hện và giải quyết vấn đề

3 Nhóm phương pháp thực tiễn

Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm đểrút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS

4.Nhóm phương pháp hỗ trợ

Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá

3.2 Kế hoạch nghiên cứu

1/ Đăng ký nghiờn cứu chuyờn đề “ phương pháp giải hệ phương trỡnh “ với

trường THCS Phự Cừ từ đầu năm học 2012-2013

2/ Thực hiện nhúm phương phỏp thực tiễn tại trường THCS Phự Cừ trong các năm

học từ năm học 2012-2013 đờ́n 2013-2014 bao gụ̀m:

+ Điờ̀u tra thực tiờ̃n qua học sinh trường THCS Phự Cừ

+ Tổ chức chuyờn đờ̀ cấp Tổ đụ́i với Tổ KHTN

+ Tổng kờ́t, viờ́t đờ̀ tài, thụng qua Hội đụ̀ng khoa học trường THCS Phự Cừ

B- NỘI DUNG

I- MỤC TIấU ĐỀ TÀI

- Nghiờn cứu và phõn loại vờ̀ phương pháp giải hợ̀ phương trỡnh

- Xõy dựng hợ̀ thụ́ng bài tọ̃p vờ̀ hợ̀ phương trỡnh với các cách giải phự hợp chotừng dạng toán

- Thực nghiợ̀m viợ̀c sử dụng các phương pháp giải bài tọ̃p hợ̀ phương trỡnhtrong giảng dạy

- Đờ̀ xuất một sụ́ bài học kinh nghiợ̀m trong quá trỡnh nghiờn cứu

II- GIẢI PHÁP ĐỀ TÀI

Trong quá trình thực hiện đề tài bản thõn tôi là ngời trực tiếp thực hiện việc bồi ỡng học sinh giỏi Tôi đa ra một số giải pháp thực tiễn sau:

Giải pháp 1 - Đụ́i với bản thõn giáo viờn

- Để giỳp các em học sinh nắm chắc kiờ́n thức vờ̀ hợ̀ phương trỡnh cũng như cúđược phương pháp giải tụ́i ưu cho mỗi dạng toán vờ̀ hợ̀ phương trỡnh thỡ trước hờ́tgiáo viờn cần phải cú một trỡnh độ chuyờn mụn vững vàng , nắm vững các thuọ̃ttoán , giải được các dạng toán khú vờ̀ hợ̀ phương trỡnh một cách thành thạo Cầnphải cú một phương pháp giảng dạy phự hợp kớch thớch được sự tũ mũ , năngđộng , sáng tạo , tớch cực của học sinh

- Trong quá trỡnh dạy cần thường xuyờn bám sát đụ́i tượng học sinh , theo dừi vàđộng viờn kịp thời sự cụ́ gắng , nỗ lực của từng học sinh Đụ̀ng thời kớch thớch họcsinh phát huy tụ́i đa khả năng của mỡnh trong quá trỡnh ụn luyợ̀n , học tọ̃p Bờncạnh đú , cần dừi kiểm tra , uụ́n nắn kịp thời những sai sút mà học sinh cú thể mắcphải , giỳp các em cú niờ̀m tin , nghị lực và quyờ́t tõm vượt qua nứng khú khănbước đầu khi học tọ̃p các chuyờn đờ̀ mà giáo viờn đưa ra

- Trong quá trỡnh dạy học cũng cần hờ́t sức tránh cho học sinh những biểu hiợ̀n tựđắc , cho mỡnh là giỏi Điờ̀u này sẽ làm cho các em khú tránh khỏi những thất bại

khi tham dự những cuộc thi lớn

- Trong quá trình dạy học cũng cần hết sức tránh cho học sinh những biểu hiện tự

đắc , cho mình là giỏi Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bạikhi tham dự những cuộc thi lớn

- Giáo viờn nờn hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, cú kiểm tra đánh giá để hs cúkhả năng tự phõn tớch tổng hợp Muụ́n hiợ̀u quả cao, giáo viờn phải biờ́t viờ́t các tàiliợ̀u theo hướng các chuyờn đờ̀ nhằm định hướng vờ̀ Tư duy và Kỹ năng cho họcsinh đụ̀ng thời tạo ra động lực thỳc đẩy học sinh nghiờn cứu khoa học

Giải pháp 2 Mụ̣t số biện pháp hướng dẫn học sinh

2.1 Tự học qua sách giáo khoa:

- SGK là nguụ̀n tri thức quan trọng cho học sinh, nú là một hướng dẫn cụ thể

để đạt lượng liờ̀u lượng kiờ́n thức cần thiờt của mụn học, là phương tiợ̀n phục vụđắc lực cho giáo viờn và học sinh Do đú tự học qua SGK là vụ cựng quan trọng đểhọc sinh tham gia vào quá trỡnh nhọ̃n thức trờn lớp và củng cụ́ khắc sõu ở nhà

- Để học sinh tự nghiờn cứu trước SGK ở nhà thỡ giáo viờn khụng nờn chỉđơn giản là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nờu cụ thể cõu hỏi mà khi đọcxong bài mới các em cú thể trả lời được Đú là cách giao nhiợ̀m vụ cụ thể giỳp họcsinh đọc sách giao khoa cú mục tiờu cụ thể rừ ràng

- SGK cũng là tài liợ̀u để học sinh đọc thờm cho rừ ràng những kiờ́n thức màgiáo viờn truyờ̀n đạt trờn lớp vỡ vọ̃y những vớ dụ mẫu giáo viờn khụng nờn thay đổi

để nờ́u học sinh đó đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh yờ́u cú thờm 1 tài liợ̀u để đọc lại khi chưa rừ cách giáo viờn hướng dẫn

- Đụ́i với những nội dung mà sách giáo khoa đó cú chi tiờ́t đầy đủ thỡ khụng nờn ghi lờn bảng cho hs chộp mà cho các em vờ̀ tự đọc trong SGK, cách làm này vừa tiờ́t kiợ̀m thời gian vừa tạo thúi quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài giảngkhụng bị nhàm chán

2.2 Tự học qua sách bài tọ̃p, sách và tài liệu tham khảo:

- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tậndụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả

- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT

để học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết)

để có thể tự mình làm được các bài trong SGK Khi cho bài theo cách này sẽ giúphọc sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương ántương tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn

III CƠ SỞ LÝ THUYẾT

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.Phương pháp thế

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình

trong hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương

trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 (1)

2 2

* Chú ý : Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các

phương pháp khác

Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biếu thức) từ phương trình nàythế vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta

có cách biến đổi về một hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà

ta quan sát thấy một phương trình nào đó của hệ mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ởcả hai phương trình của hệ có cùng một biểu thức chung nào đó

Ví dụ 3 (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: 7 2 5 (1)

-Nếu x=-1 thì hệ trở thành y2 16 y 4.

Không phái lúc nào ta cũng may mắn khi áp dụng phương pháp ‘‘ thế đến cùng’’như vậy, chẳng hạn như gặp phương trình bậc 4 mà không nhẩm được nghiệm nhưbài toán sau :

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình :

Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc nhất đối với b và c, điều đó gợi ý cho ta rút

một ẩn từ phương trình này và thế vào phương trình kia Tuy nhiên sau khi rút gọn

ta được một phương trình bậc 4 mà nghiệm lẻ Ở đây ta cần một kĩ năng tách khéoléo hơn :

1 Phương pháp cộng đại số

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,

trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ

phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2 2 2 2

23

23

y y x x x y

TH 2 3xy x y  0 Từ

2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

x y

Phân tích Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số

hạng tự do và thực hiện phép trừ vế

Giải phương trình này ta được 1 , 145

trình của hệ ta thu được kết quả

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt

thứ nhất cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y

Chú ý Hệ phương trình có dạng 2

này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức

Tổng quát ta có hệ sau:

m

px qy bx

m

px qy dy

Phân tích Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho x y z thì ta được hệ mới 2 2 2

đơn giản hơn

2 2