Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI NĂM 2014... Đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THỊ DỊU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI NĂM 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THỊ DỊU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI NĂM 2014

Mục lục

1.1 Hệ phương trình tuyến tính 3

1.2 Hệ phương trình đối xứng 10

1.3 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 18

1.4 Hệ phương trình đẳng cấp 24

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 28 2.1 Phương pháp thế 28

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 39

2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 46

2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55

3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57

3.2 Hệ phương trình và bất phương trình một ẩn 60

1

LỜI GIỚI THIỆU

Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình học phổ thông Đề thi đại học các năm hầu hết đều có câu hệ phương trình Đó cũng là một phần học quan trọng ở đại số lớp 10 Từ khá lâu nay việc tìm cách tổng hợp các phương pháp để giải hệ phương trình cũng đã được rất nhiều người quan tâm.

Hệ bất phương trình thì lại là một lĩnh vực mà ít được mọi người quan tâmhơn Các tài liệu tổng hợp về phương pháp giải hệ bất phương trình có thểnói là khá ít

Dựa trên sự giúp đỡ chỉ dẫn của thầy Nguyễn Văn Mậu cùng với sự tìm tòitham khảo tôi đã tổng hợp được một số phương pháp giải hệ phương trình

D3

TH2: D = 0 và DX = DY = 0 Hệ có vô số nghiệm dạng

{(X0; Y0)|a1X0 + b1Y0 = c1}

TH3:D = 0 và DX = 0 hoặc DY = 0 Khi đó hệ vô nghiệm

Lưu ý : Đôi khi cũng cần một vài biến đổi như đặt ẩn phụ thì hệ mới quy về

hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Sau đây là một số bài toán Và thông thường, với một bài toán ta cũng có

thể kết hợp vài phương pháp để giải một cách thuận lợi

Bài toán 1.1 Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất, ta rút ra y = −5x − 2, thế vào phương trình thứ hai

thì được 15x + 4 = 0 hay x = −15 4 , từ đó dễ dàng tìm được y = −2

Nhân hai vế của phương trình đầu với 2 rồi cộng từng vế của phương trình mới thu

được với phương trình còn lại ta được u = 1

3, thay vào một trong hai phương

trình thì v = 1

5 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (3;

5) Bài toán 1.3 Giải hệ phương trình

giải thì cũng quy về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài toán 1.4 Giải hệ phương trình sau |x − 1| + y = 0

2x − y = 1Lời giải

Từ phương trình thứ nhất ra rút ra y = −|x − 1|, thế vào phương trình thứ hai

ta thu được |x − 1| = 1 − 2x

TH1 Nếu x ≥ 1 thì |x − 1| = x − 1, do đó x − 1 = 1 − 2x, tìm được x = 2

3 < 1, không thỏa mãn

TH2 Nếu x < 1 thì |x − 1| = 1 − x, giải tương tự tìm được x = 0 < 1, thỏa mãn

5

Khi đó y = −1.

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; −1)

Sau đây ta đưa ra một số bài toán hình học phẳng là những câu trong đềthi đại học mấy năm gần đây như là một ứng dụng của giải hệ phương trìnhtuyến tính bậc nhất

Bài toán 1.5 (Đề thi Đại học khối A 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chohình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộcđoạn AC sao cho AN = 3N C Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằngM(1; 2) và N(2; −1)

Gọi K là trung điểm của M B, khi đó N K song song với BC, do đó N K vuông

góc với AB và CD Gọi E là giao của đường thẳng N K với DC √Trong tam giác vuông M KN ta có M K = a

,NK =3a, suy ra M N = a 10

.4

M N(1; −3).

6

Với a = 0, vì a2 + b2 > 0 nên ta chọn b = 1 Khi đó dễ dàng viết được

phương trình của đường thẳng AB là y − 2 = 0, đường thẳng N K là x − 2 = 0

Suy ra tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình

y − 2 = 0

x − 2 = 0Suy ra K(2; 2)

Ta có KE = 3KN Từ đó suy ra E(2; −2)

Đường thẳng CD qua điểm E(2; −2), nhận vecto chỉ phương (0; 1) của N K

làm vecto pháp tuyến có phương trình là y + 2 = 0

Với 4a + 3b = 0, và vì a2 + b2 > 0, nên ta chọn a = 3, b = −4 D đó vecto chỉ

⇔

4x + 3y

− 5 = 0 y = 7

1 7

Suy ra tọa độ điểm K 5; 5 .

Tương tự lập luận như trường hợp trên ta cũng tìm được điểm E 13

5; −9

5 Do

đó ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng CD là 3x − 4y − 15 = 0

Bài toán 1.6 (Đề thi Đại học khối D 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chotam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phângiác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A và C.

7

Hình 1.2:

Gọi d là đường phân giác trong của góc A, tức là d có phương trình x−y−1

= 0 Gọi điểm B′ đối xứng với điểm B qua d Vì d là tia phân giác trong góc A

nên suy ra B′ nằm trên đường thẳng AC

Gọi I là giao điểm của BB′ và d Suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình

8

Bài toán 1.7 (Đề thi Đại học khối B 2008) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy

xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của

C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường phân giác trong của góc A có

phương trình x −y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y −1 = 0.

Lời giải

C

K

H ′ D

B

Hình 1.3:

Gọi H′(a; b) là điểm đối xứng với điểm H qua đường thẳng AD Suy ra H′

nằm trên đường thẳng AC

Khi đó vì HH′ vuông góc với AD và I phải thuộc đường thẳng AD nên ta có

tọa độ H′ là nghiệm của hệ phương trình

Đường thẳng AC đi qua H′ và vuông góc với đường cao BK, từ đó ta viết

được phương trình của AC 3x − 4y + 13 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

9

3x − 4y + 13 = 0

x − y + 2 = 0Suy ra A(5; 7)

Phương pháp tổng quát

P = xyĐiều kiện để hệ có nghiệm là S2 − 4P ≥ 0

Khi tìm được nghiệm S, P thì x, y sẽ là hai nghiệm của phương trình t2 − St +

x2 + y2 + xy = 7

x + y + xy = 5

10

Dễ dàng giải được hệ này, ta có hai trường hợp như sau:

TH1 S = 3, P = 2 Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình t2 − 3t + 2 = 0

Ta thu được hai nghiệm là

x = 1

TH2 S = −4, P = 8 Trường hợp này vô nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm là (1; 2), (2; 1)

Bài toán 1.9 Giải hệ phương trình sau x2+ xy2 − y = 5

13 (Hệ này là đối

x + y + xy =xứng đối với x và −y)

x(−y) = −3Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình t2 − 2t − 3 = 0 Phương trình này

có hai nghiệm t = −1; t = 3

Ta tìm được hai nghiệm tương ứng là x = −1 ; x = 3

Vậy hệ có bốn nghiệm là (1 + 17; −1 + 17), (1 − 17; −1 −

11

Ta tìm được hai nghiệm (−1; −2), (−2; −1)

Bài toán 1.11 Giải hệ phương trình sau

y = 312

Hệ tương đương với

Từ phương trình thứ nhất ta có u = 7 + v, thế vào phương trình thứ hai ta được

Đến đây ta dễ dàng giải được

x = 9 ; x = 4 Vậy hệ có hai nghiệm như trên

x+ y − √

= 3Bài toán 1.14 Giải hệ phương trình sau

Điều kiện: x > 0; y > 0

u = 2 x√ = 2 x2y = 4TH1

2x x + 4x x = 6 ⇔ x x = 1 ⇔ x = 1 Từ đó y = 4, ta có một nghiệm (1; 4)

v = 2

Giải tương tự như trường hợp một ta thu được một nghiệm (4; 1)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1; 4), (4; 1)

(x + y)(1 + xy) = 18xy

Bài 16 Giải hệ phương trình

Bài toán 1.17 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1994) Giải hệ phương trình

Không mất tổng quát, giả sử x = min{x, y, z} Khi đó ta có

x ≤ y suy ra f (x) ≤ f (y) hay y ≤ z Từ đó f (y) ≤ f (z) hay z ≤ x.Tóm lại x≤ y≤

z≤x Suy ra x= y= z

Xét phương trình x3 +3x−3+ln(x2 −x+1) = x ⇔ x3 +2x−3+ln(x2 −x+1) = 0

Phương trình đó có một nghiệm là x = 1

Mà hàm số h(x) = x3 + 2x − 3 + ln(x2 − x + 1) đồng biến trên R nên x = 1 là

nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Chứng tỏ x1 = x2.

Tóm lại từ quá trình trên ta suy ra được x1 = x2 = = xn

Bài toán 1.18 Giải hệ phương trình

Do đó hàm số f (t) nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

Không mất tổng quát, giả sử x = min{x; y; z}

Khi đó x ≤ y suy ra f (x) ≥ f (y) hay y ≥ z Từ đó suy ra f (y) ≤ f (z) hay

z ≥ x

Do đó x = z Suy ra f (x) = f (z), nên y = x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

2.Dạng 3 Xét hệ phương trình có dạng (với n chẵn)

Để chứng minh khẳng định trên, ta giả sử x1 = min{x1; x2; ;

Tiếp tục quá trình, đến f (xn−2) ≤ f (xn), suy ra g(xn−1) ≤ g(x1) Do đó xn−1 ≤

Sau đây ta xét một số hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh với hai

ẩn số mà trong chương trình phổ thông còn gọi là hệ phương trình đối xứngloại hai và cũng có cách giải đặc trưng riêng là trừ từng vế hai phương trình

để tạo nhân tử chung x − y

20

Khi đó ta xét hai trường hợp

TH1 y = x thế vào (1) ta được x2 + 2x = 0 Từ đây ta thu được hai nghiệm của hệ là

Bài toán 1.21. x3 + 4x = y + 4(1)

y3 + 4y = x + 4Lời giải

Trừ từng vế hai phương trình ta thu được

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là x = y = 1

21

3y = y2 + 2Bài toán 1.22 Giải hệ phương trình sau 2 x2

3x = x + 2

y2Lời giải

Điều kiện x, y = 0

Hệ phương trình tương đương với 3yx2

3xy2Trừ từng vế hai phương trình ta được

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x= y= 1

Sau đây là một số bài ta có thể dễ dàng giải được tương tự

Bài toán 1.23 Giải hệ phương trình

22

Bài toán 1.27 Giải hệ phương trình

2x 2 = y +1

y2y 2 = y +1

xBài toán 1.28 Giải hệ phương trình

* Xét x = 0 Thay vào hệ nếu tìm được y thỏa mãn thì hệ có nghiệm không thì

vô nghiệm trong trong trường hợp này

Tiếp đó ta lại làm hoàn toàn tương tự như trên.

Sau đây là một số bài toán

Bài toán 1.31 Giải hệ phương trình sau x 2 2− 3xy + 2y 22 = 0

2x − xy + 3y = 1Lời giải

* Nếu x = 0 thì thay vào phương trình thứ hai không thỏa mãn

* Nếux = 0, ta chia cả hai vế phương trình thứ nhất cho x2 thì thu được

Cộng từng vế hai phương trình ta có 31x2+26xy−5y2 = 0 ⇔ (31x−5y)(x+y) = 0

Từ đây ta có hai trường hợp:

+ TH1 31x − 5y = 0 ⇔ 31x = 5y Thế vào phương trình đầu ta dễ dàng tìm

được hai giá trị của x thỏa mãn là x = − √ ; x = √ Từ đó hệ phương

(− √ 5 ; − √ 31 ) và √ 5 ;√ 31

+ TH2 y = −x Tương tự ta tìm được hai nghiệm nữa của hệ phương trình

24

+ Nếu y > 0 thì |y| = y, thay vào (3) vô nghiệm.

hệ phương trình là 3y|3y|+y|y|=−2⇔10y|y|= 2 ⇔ y|y| = −

Cộng rồi trừ từng vế hai phương trình trên ta được hệ mới tương đương

25

Thay y = x − 1 vào (1) ta có x 2 − x − 6 = 0, phương trình có hai nghiệm x =

−2; x = 3 Từ đó ta tìm được hai nghiệm của hệ phương trình là:

(−2;3 ), (3; 2)

Dưới đây là một vài bài cũng có thể được giải tương tự

Bài toán 1.35 Giải hệ phương trình

Bài toán 2.2 Giải hệ phương trình

27

y + 1 = x2 − 1 , thế vào phương trình (1) ta được

28

Lời giải.

Đối với hệ này ta phải trừ vế với vế để tạo nhân tử chung xy(2y − x) = xy ⇔ xy(2y − x − 1) = 0

29

TH1 Nếu x = 0 hoặc y = 0 ta đều giải được nghiệm tương ứng là (0; 0).

TH2 Nếu x = 2y − 1, thế vào (1) ta được phương trình

10y3 − 19y2 + 10y − 1 = 0

Bài toán 2.8 Giải hệ phương trình sau

30

⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện) Từ đó ta tìm được y = 8

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 8)

Sau đây là một số bài có thể giải bằng phương pháp tương tự

Bài toán 2.9 Giải hệ phương trình

Có những bài toán cần phải đặt ẩn phụ để việc giải quyết bài toán trở nên

dễ dàng hơn (thường là khi thấy trong hệ phương trình xuất hiện cụm ẩn nào

đó được lặp lại) Sau đây là một số bài toán minh họa cho phương pháp này

Bài toán 2.11 Giải hệ phương trình sau

31

(3) ⇔ yv2 − 2yv + y = 0 ⇔ y(v2 − 2v + 1) = 0 ⇔ y(v − 1)2

Nếu y = 0, thế vào (2) thì u = 0 không thỏa mãn

Nếu v = 1, ta có y = 3 − x, thế vào (1) ta được x2

32

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; −1).

Bài toán 2.13 Giải hệ phương trình sau

x4 + y2 + xy(1 + 2x) = −5 4

4Lời giải

Hệ đã cho tương đương với

Đặt u x , v

1

Suy ra x2 + y2 = u2 − 2v Thay vào hệ trên ta có

34

nghiệm) Vậy hệ có hai nghiệm (3; 1), (1; 3).

Bài toán 2.16 Giải hệ phương trình sau

Từ đó suy ra 2x + y = 1 ⇔ y = 1 − 2x, lại thế vào phương trình (2) ta được

x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (1; −1), (−3; 7)

Bài toán 2.17 Giải hệ phương trình sau

2Bài toán 2.18 Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; 0).

Bài toán 2.19 Giải hệ phương trình

37

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1).

Sau đây là một số bài toán hệ phương trình cũng sử dụng phương phápđặt ẩn phụ

Bài toán 2.20 Giải hệ phương trình

(x + y)(1 + xy) = 18xy

Bài toán

Giải hệ phương trìnhx

+

y(x + y) = 15

x2

y 2 x 2

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Một số hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp hàm số Để nhậnbiết có thể giải bằng phương pháp này không ta chú ý hai tính chất sau:

Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trênkhoảng (a; b) Khi đó ta có

f (u) = f (v) ⇔ u = v (với u, v ∈ (a; b))

Tính chất 2: Nếu hàm số y = f (x) tăng trên (a; b) và y = g(x) là hàm hằnghoặc là một hàm số giảm trên (a; b) thì phương trình f (x) = g(x) có nhiều nhấtmột nghiệm trong khoảng (a; b).

Bài toán 2.23 Giải hệ phương trình sau

38

Từ đó tìm được hai nghiệm của hệ phương trình là

Phương trình này có nghiệm x khi và chỉ khi

= (y − 7)2 − 4(y2 − 6y + 14) = −3y2 + 10y − 7 > 0 ⇔ 1 6 y 6 7

Từ đó, dựa vào điều kiện 1 6 y 6 7

3 ta có f (y) > f (1) = 3, và dựa vào điều kiện

39

2 6 x 6 10

ta có f (x) > f (2) = 6

3

Suy ra f (x).f (y) > 6.3 = 18 ⇔ (2x2 − 3x + 4)(2y2 − 3y + 4) > 18

Mà theo (1) thì đẳng thức xảy ra do đó ta phải có x = 2

y = 1

x = 2

vào (2) ta có 22 + 12 + 2.1 − 7.2 − 6.1 + 14 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý)

Thay y= 1

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài toán 2.25 Giải hệ phương trình sau

2y = 4

Từđó√ 4y − 8 + √2y + 4 > 2 + 4 = 6 , suy ra mọi y > 6 phương trình (4) vô

y < 6 phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy y = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình (4)

Từ đó, nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1

Đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Ta suy ra sin t > 0, ] Ta suy ra sin t > 0,

sin 2 > 0 ∀ ∈ [0;π] Ta suy ra sin t > 0, ]

Vì t ∈ [0; π] Ta suy ra sin t > 0, ] nên t chỉ nhận giá trị t = 10

3π] Ta suy ra sin t > 0, √ 3π] Ta suy ra sin t > 0, Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (cos 10 ; 2 sin 10 )

Bài toán 2.27 Giải hệ phương trình sau

41

x3 − y3 − 2 = 3x − 3y2 (1)

x2 + √

+2=0 (2)

1 − x2 − 3 2y − y2Lời giải

Điều kiện: −1 6 x 6 1 hay −1 6 x 6 1

0 6 y 6 2 −1 6 y − 1 6 1(1)⇔ x3 − 3x + 2 = (y3 − 3y2 + 3y − 1) − 3y + 1 = 0 ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 −3(y − 1)(3)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 1)

Bài toán 2.28 Giải hệ phương trình sau

Từ đó g(u) là hàm số nghịch biến Do đó u = 0 là nghiệm duy nhất của (3).

Ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 1)

Bài toán 2.29 Giải hệ phương trình sau

(1)(2)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2014; 2013)

⇔ 8x3 + 2x − t3 − t = 0

43

thỏa mãn phương trình (4) Do đó x = là nghiệm duy

Bài toán 2.31 Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trìnhx(x2 + y2) = y4(y2 + 1)

+8=64x + 5 + y

Bài toán 2.34 Giải hệ phương trình

2y = x 3 + 1

44

45

y4 > 1 Từ đó mâu thuẫn với phương trình (1) Do đó hệ vô nghiệm.

TH2 Nếu x = 1, thay vào hệ đề bài ta được

⇔ y = ±1

TH3 Nếu 0 < x < 1 thì (x − 1)(x2 − x + 1) < 0.Do đó y2 − 1 < 0 ⇔ y 2 < 1.Tương tự như TH1, ta cũng suy ra mâu thuẫn với phương trình (1) Do đó hệ

vô nghiệm

TH4 Nếu x < 0 thì x3 − 2x2 + 2x < 0 Do đó y2 < 0, vô lý

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x; y) = (1; 1), (1; −1)

Bài toán 2.38 Giải hệ phương trình sau

46

81

Thử lại các nghiệm (0; 0) và (1; 1) đều thỏa mãn hệ phương trình đề bài.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là (0; 0), (1; 1)

Bài toán 2.39 Giải hệ phương trình sau

y3 − x3 = 7

x3 − y2 + x = −2

Lời giải

47