báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến một số phương pháp giải hệ phương trình đại số

Hệ phương trình Đại số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình toánhọc phổ thông.. Ở bậc THPT các học sinh được học chi tiết ở chương trình đại số lớp10, nhưng với lượng kiến t

Hệ phương trình Đại số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình toánhọc phổ thông Các em häc sinh được làm quen với hệ phương trình đại số từ các lớptrung học cơ sở Ở bậc THPT các học sinh được học chi tiết ở chương trình đại số lớp

10, nhưng với lượng kiến thức không nhiều, trong khi đó hệ phương trình được đưavào trong các đề thi THPT Quốc gia, thi HSG lại đòi hỏi các em phải có một lượngkiến thức tương đối nhiều về phần này Chính vì thế trong quá trình giảng dạy, tôi đã

soạn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ” Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của hệ phương trình

cùng các phương pháp giải qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình

độ chuyên môn

2 Tên sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số”.

3.Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Hòa

- Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0987.444.700

- Email: nguyenthanhhoa.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Hòa

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

- Môn Đại số lớp 10 và Giải Tích lớp 12 ban cơ bản

-Trong phạm vi đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu đưa ra các các dạng cơ bản vàphương pháp giải một số hệ phương trình thuộc chương trình Đại số 10 và có sử dụngkiến thức của chương 1 Giải tích 12

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 03 tháng 11 năm 2017.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Nội dung của sáng kiến

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Mục đích nghiên cứu

Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệuphục vụ công tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêmmột tài liệu tham khảo Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thôngdụng và có hiệu quả khi giải hệ phương trình Đại số

2 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A1 và 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo năm học 2017 –

2018

3 Phạm vi nghiên cứu

Chương III của chương trình Đại Số lớp 10 và chương I của chương trình GiảiTích 12

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận.

Phân tích chương trình môn toán THPT Nghiên cứu kỹ các dạng phương trình

cơ bản và các phương pháp: “Giải hệ phương trình Đại số” trong các tài liệu lý luận,

sách tham khảo

4.2 Thực hành và rút kinh nghiệm.

Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp

và khảo sát học sinh thông qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và

hiệu quả của việc phân dạng bài tập Qua đó đánh giá được hiệu quả của đề tài

5 Điểm mới của đề tài

- Hệ thống lại một số dạng hệ phương trình cơ bản, thường gặp và cách giải của chúng

- Đưa ra được một số phương pháp giải chung đối với một số hệ phương trình thườnggặp cùng với các ví dụ có lời giải

- Hệ thống được một số bài tập thường gặp trong các đề thi HSG trong các năm gầnđây

6 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm được chia làm hai phần:

- Các hệ phương trình cơ bản

- Một số phương pháp giải hệ phương trình

Phần II: NỘI DUNG

1 CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1.1 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Bước 1: Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (1) là đường thẳng d: Ax + By + C

= 0 Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (2) là đường cong (S) có phương trình:

Bước 2: Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng d và đường cong (S)

Chú ý: Phương pháp này thường sử dụng cho bài toán chứa tham số và khi a = c, b =

b)Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt ( ; );x y1 1 x y thỏa măn: 2; 2 2 2 2 2

b) Từ phương trình (1): y x m thay vào (2) ta được:

 

x m  x m m (3)

+) Dễ thấy phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do vậy hệ luôn

có hai cặp nghiệm phân biệt là: x y,   m 3, 3 ,  m1,1 

b) Gọi ( ; );x y1 1 x y là các nghiệm của hệ CMR: 2; 2 2  2

Phương trình (2) là phương trình đường tròn (C ) tâm

1

;02

I 

  , bán kính R=

1

2 a)Hệ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đường tròn

(C ) tại hai điểm phân biệt  d(I; d) < R 2

Nhận xét: So sánh hai phương pháp ta thấy khi bài toán chứa tham số mà sử dụng

được bằng phương pháp đồ thị thì bài toán có lời giải ngắn gọn hơn Tuy nhiên với dạng hệ phương trình này sử dụng phương pháp đồ thị có hiệu quả nếu a = c, b = 0.

Chú ý: Phương pháp thế còn mở rộng cho hệ phương trình gồm một phương trình

bậc nhất và một phương trình bậc lớn hơn 2, hoặc dùng để giải phương trình vô tỷ không đồng bậc có dạng: a3a1xbb1a2xbc20

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 33 x 2 3 6 5  x 8 0 (1) ( Khối A – 2009)

Lời giải

+) Điều kiện:

65

1.2.2 Phương pháp giải chung:

Bước 1: Biến đổi về tổng x y và tích xy rồi đặt

Bước 2: Đưa hệ phương trình về hệ gồm hai ẩn S, P Giải hệ tìm S, P, thay vào (*) khi

đó x, y là nghiệm của phương trình: t2 St P 0 (**)

* Chú ý:

+) Nếu x y là nghiệm của hệ thì 0, 0 y x cũng là nghiệm của hệ Từ đó để hệ có0, 0

nghiệm duy nhất điều kiện cần là x0 y0.

+) Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S, P:

214

Với m 3 hệ có 3 nghiệm nên m 3 không thỏa mãn

+) Với m 21 thay vào hệ ta được:

1.2.4 Phương pháp giải một số hệ phương trình đối xứng loại I

1.2.4.1 Hệ phương tŕnh đối xứng có chứa x4 y4.

x y xy

t t

1.2.4.2 Hệ phương trình đối xứng chứa xy

S y x

S y x

S S

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: (I)

 u v, là nghiệm của phương trình: X2 4X  5 m0(1)

a) Với m = 1 thay vào (1) được: X2 4X   4 0 X  2 u v 2

+) Với u = v = 2 

312

y y

b) Hệ (I) có nghiệm  PT (1) có nghiệm không âm

*) Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

KL: Vậy với m 1 hệ có nghiệm

1.2.4.5 Hệ đối xứng chứa biến nghịch đảo

1

x x



và

1

y y



Phương pháp: Khi đó đặt:

11

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I)

y y

Bài 3: (NT – 97D) Cho hệ:

2 2 8( 1)( 1)

f xy gxy

   

3, 0

1.3.3 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 

 

3 3

23

23

y y x x x y

+) Với x y 3xy  (vô nghiệm do 0 x0,y ).0

KL: Hệ có nghiệm: 11;11

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:

2 2

(1)(2)

*) Trường hợp 1: Nếu xy thay vào (2) ta được: x2 – 2x + m = 0 (3)

*) Trường hợp 2: Nếu x y thay vào (2) ta được: x2 + m = 0 (4)

a) Với m = 0 ta có: (3)  x2 – 2x = 0

02

x x

y y





  

(4)  x2 = 0  x = 0 y0KL: Vậy m = 0 hệ có nghiệm: (0 ; 0), (2 ; 2)

b) Hệ có nghiệm khi phương trình (3) hoặc phương trình (4) có nghiệm

1(6)1(7)

+) Trường hợp 1: Nếu xy thay vào (2) được: x2 2x  1 0 x1

+) Trường hợp 2: Nếu x ythay vào (2) được: x  2 1 0 (Vô nghiệm)

KL: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2: Lấy (6) cộng (7) được: (x 1)2(y 1)2  0

11

x y

Phân tích: Xét về bậc mỗi ẩn của hai phương trình: bằng nhau Các hệ số: có cùng hệ

số, vậy có thể đưa về hệ đối xứng loại II bằng cách đặt ẩn phụ như sau:

x

y x

1 32

+) Với

1 3

1 32

3 2 8( 2) 6

y x yx

3

3 2 8( 2) 6

y x yx

22

x  ) thay vào hệ ta được:

*) Giải (3) thay vào (1) tìm x từ đó suy ra y rồi kết luận

*) Dễ thấy x 0 không thỏa mãn hệ

*) Xét x 0 Đặt y=tx t,( Î ¡ Thay vào hệ ta được:)

Ta có:

  2

13

2 54 417 145 0

14518

152x31mx m 48 3400

Đặt t x2,t 0 ta có: f t  105t2 2 31 m408t3m402  (4)0

Để hệ có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất một nghiệm không âm

Do ac > 0 nên phương trình (4) có nghiệm âm

a a





 

KL: Vậy với a 3 hoặc a 1 hệ có nghiệm

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

2

3 6 03

Nhận xét: Hệ phương trình trên không phải là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 cơ

bản mà ta xét ban đầu Tuy nhiên với phương pháp thế hoặc biến đổi hai phương trình của hệ về dạng có bậc: 3 1,2 0  sau đó nhân chéo vế ta thu được phương trình đẳng cấp bậc 3 theo x,y Hệ phương trình dạng này còn được gọi là hệ giả đẳng cấp Ta xét tiếp một ví dụ sau:

+) Với x4y thay vào (2) ta được:

+) Với t  1 x thay vào hệ: y

3 4

đó đòi hỏi cần nắm chắc các dạng cơ bản trên và một số phương pháp giải sau đây.

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ.

2.1.1.Nhận dạng

Thế là một kĩ năng quan trọng hàng đầu trong vấn đề giải hệ phương trình Là kĩ năng được sử dụng trong hầu hết các hệ phương trình Dấu hiệu để nhận ra phương pháp rút – thế là hai phương trình của hệ có một bộ phận giống nhau hoặc hệ có một phương trình bậc nhất theo một biến nào đó.

3 2( 1x)2 2 4x x x)0

120

x x x

4

KL: Hệ có một nghiệm:

174;

ta sẽ nghĩ đến việc rút x y từ (1) thế vào (2) là xong

2 2

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

4 2

545(12)

u u

Phân tích: Kinh nghiệm khi giải hệ phương trình là nếu trong hệ có chứa x4x y2 2

thì ta sẽ đặt ẩn phụ theo x2xy Từ đó ta có hướng phân tích bài toán như sau:

Ta được hệ phương trình:

2 2

3254

*) Chú ý: Nếu phương trình của hệ có chứa một biến độc thân, thông thường ta chia

hai vế của phương trình cho biến đó rồi mới đặt ẩn phụ.

u u





 



*) Với

155

3

x y

x y

3 3 14 0

3 1776

-ê =ê

2 2 5 5

   

      

   

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

+) Với y2x thay vào (1): 1

2

1 5

52

trình bậc 2 với ẩn x (hoặc ẩn y) với y là tham số Giải phương trình bậc 2 với ẩn x

tham số y để tìm mối quan hệ giữa x và y rồi thế vào phương trình còn lại là xong.

Cũng cần lưu ý rằng bài toán chỉ có thể giải quyết được theo cách này khi phương

*) Với x  thay vào (2) ta được: y 1  y 12  0 y 1 x0

*) Với x2y 2 thay vào (2) ta được: 5y2 9y 6 0 vn

+) Từ phương trình (1): y2 3x2 y2x23x  (3) Coi (3) là phương trình 1 0

ẩn y tham số x Giải phương trình ta được : y x 1;y2x thay vào (2).1

+) Với y x  thay vào (2) ta được: 1

Chú ý 2: Nếu hệ gồm 2 phương trình bậc 2 theo x và y nhưng không thỏa mãn chú ý 1

thì ta nhân thêm vào mỗi phương trình với một số nào đó rồi cộng chúng lại với nhau

để được 1 phương trình có tính chất như ở chú ý 1

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:

 

 

2 2

*) Thay vào (1) hoặc (2) ta có nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 3    

Chú ý 3: Nếu hệ có 1 ẩn là bậc 2 và 1 ẩn là bậc 3 thì nhân cả hai vế của 1 phương

trình nào đó với một số k rồi cộng hai phương trình của hệ đưa về phương trình với ẩn

là bậc 2 rồi tìm k sao cho phương trình biến đổi được thành tích.

3

31

- Thông thường phương trình của hệ có chứa 2 hay nhiều căn

- Biểu thức sau khi nhân liên hợp có nhân tử chung với biểu thức còn lại trongphương trình đó

2.4.2 Ví dụ minh họa

x y

*) Xét xy x2 230y3 thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn

*) Xét xy x2 230y3 Khi đó nhân cả hai vế của (1) cho

x 

hoặc

34

1 0

1 52

*) Vậy hệ phương trình có nghiệm

y y

*) Cơ sở của phương pháp: Ta sử dụng các định lí sau đây:

Định lí 1: Nếu hàm số yf x  là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịchbiến) trên tập D thì phương trình f x   có nhiều nhất một nghiệm vàk

Định lí 3: Cho hàm số yf x  có đạo hàm đến cấp n và phương trình f ( )k ( ) 0x 

có m nghiệm, khi đó phương trình f (k1)( ) 0x  có nhiều nhất là m+1 nghiệm

Thay (3) vào (2) ta được phương trình: x x x x xx13 71   0 621 4Phương trình  4  x 1  x  3 3x 7  x 10 4  x2  x 30

KL :Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x y ;  6; 7 

Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

( )3 ) 2( ) (3 ) 6

a 

.Xét hàm số

2

6 1() ;

x 

+) Với y  thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn.0

+) Với y  từ đó chia hai vế của phương trình (1) cho y0 5 ta được:

*) Biến đổi phương trình (2): x 22x 2 y3y(*)

Do đó phương trình (3) tương đương với: y u  xy4 1

+) Thay xy4 vào phương trình (2) ta được:1

+) Với g y  y72y4 y 4 0 ta có: g y/  7y66y3    Nên 1 0 y 0

phương trình g y  có nhiều nhất một nghiệm mà 1  0 y  là nghiệm Vậy là nghiệm

duy nhất của phương trình g y  Với 1  0 y  x 2

+) Ta có: f t'  3t2  với 01 0 t  suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng

x

x y

Xét hàm số fx x x()1624433 , với 834x

30;

f    

1

22

KL : Vậy hệ có nghiệm:

1

;22

Vậy để hệ có nghiệm thực khi và chỉ khi (3) có nghiệm thực

Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

Hệ phương trình đại số là phần kiến thức quan trọng và khó đối với nhiều họcsinh trong khi đó thời lượng chương trình quá ít Do vậy trong phân phối chương trìnhđại số lớp 10 cần tăng số tiết về chuyên đề hệ phương trình giúp các em học sinh cóthêm thời gian nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về phần kiến thức quan trọng này

Nên đưa thêm dạng toán ứng dụng đạo hàm vào giải toán phương trình và hệphương trình vào các tiết tự chọn hoặc các tiết ôn thi đại học của học sinh lớp 12 đểgiáo viên có thời lượng truyền đạt kiến thức cho học sinh

Việc hệ thống các hệ phương trình cơ bản và phương pháp giải các hệ phươngtrình không mẫu mực hy vọng sẽ giúp các em học sinh làm tốt bài toán giải hệ phươngtrình trong các đề thi tuyển sinh HSG và đề thi THPT Quốc gia Tôi cũng mong rằngđây cũng là một tài liệu để đồng nghiệp trong tổ tham khảo

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán – Tin – CN cùng các emhọc sinh lớp 12A1, 12A3 Trường THPT Trần Hưng Đạo đã giúp đỡ tôi hoàn thànhsáng kiến kinh nghiệm này Cuối cùng, cho dù đã cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏinhững thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, tôi rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các em học sinh để sáng kiến kinhnghiệm này được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp dạy học môm toán – Tác giả Nguyễn Bá Kim

[2] Sách Đại số 10.

[3] Sách Bài tập đại số 10 ( Nâng cao và cơ bản)

[4] Sáng tạo và giải phương trình – hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Tài Chung [5].Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số - Tác giả Nguyễn Phú Khánh [6] Toán nâng cao Đại số THPT (Tập 1) – Tác giả Phan Huy Khải.

[7] Đại số sơ cấp _ tác giả Nguyễn Tất Thu

7 2 Khả năng áp dụng của sáng kiến

- Qua nghiên cứu về lí luận và thực hiện dạy thực tế ở trường phổ thông, tôi nhận

thấy việc thực hiện dạy học giải hệ phương trình với cách trình bày ở trên mang lại kếtquả cao, giúp học sinh hứng thú, sáng tạo trong quá trình học tập

- Để phát huy hơn nữa khả năng sáng tạo của học sinh khi thực hiện dạy giải hệphương trình đại số giáo viên nên kết hợp thêm với việc giao bài tập nhóm và báo cáokết quả trước lớp

- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh THPT khi học toàn bộchương 1- Giải Tích 12 nói riêng cũng toàn cấp học nói chung

- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 12A3trường THPT Trần Hưng Đạo, khi học chương 1 – Giải Tích 12

Thực tế cho thấy các em học sinh dễ tiếp thu bài giảng, dễ làm quen với các bài tập

về tương giao hai đồ thị hơn

8 Những thông tin cần được bảo mật: không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Giáo viên cần đưa ra các phương pháp dạy học phù hợp với năng lực và trình

độ nhận thức của học sinh

- Việc thực hiện dạy kiến thức cần đảm bảo tính vừa sức, khoa học nhằm pháthuy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong học tập; tránh việc dạy quánhiêu, quá khó lan man; khiên cưỡng

- Việc kiểm tra đánh giá trong dạy học tích hợp cần hướng tới việc đánh giá theođịnh hướng phát triển năng lực học sinh

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến.

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

10.1.1 So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy theo hướng phân dạng

a Phương pháp dạy khi chưa phân dạng

Khi chưa phân dạng mà ra bài tập cho học sinh làm ta thấy như sau:

- Học sinh không có phương hướng làm bài dẫn đến mất nhiều thời gian suy nghĩ.

- Trình bày: Vắt tắt, lủng củng, không logic, không chặt chẽ.

- Nhiều khi biến đổi không hiểu bản chất dẫn đến mắc sai lầm trong toán học.

- Bị mất điểm trình bày.

Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp các em phải kiên trì tư duy, tự phát hiện vấn đề để giải nhưng lại không khắc sâu tổng quan về chuyên đề.

b Phương pháp dạy khi phân dạng

Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin vào nội dung chương trình ôn thi THPT Quốc Gia hay ôn thi học sinh giỏi Nhờ vào việc tận dụng những từ khóa và phương pháp sáng tạo, một chuyên đề như thế được ghi bài hết sức cô động trong một trang giấy, mà không bỏ lỡ bất kỳ một thông tin quan trọng nào Tất cả những thông tin cần thiết để đạt điểm cao trong

kỳ thi vẫn được lưu giữ nguyên vẹn từ những chi tiết nhỏ nhặt nhất

Hệ phương trình đại số là một trong những bài toán cơ bản, quan trọng Trong khuôn khổ của sáng kiến tôi chỉ đề cập đến lớp các bài toán thường xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây

Sáng kiến đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau.

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

Sáng kiến kinh nghiệm có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao trong giờ học toán ở trường phổ thông.

Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với môn học đồng thời khắc sâu được kiến thức