HẰNG ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG

Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị của biểu thức.. Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức.. Tính giá trị của

1 HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG

* Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau:

1) A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + 3ABC

= (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC)

= (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) Suy ra đpcm

Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta có: (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A)

= (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (3A + 3B)(BC + AB + C2 + AC)

=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 + 3A2C + 6ABC + 3B2C + C3 - 3ABC - 3A2B -

- 3AC2 - 3A2C – 3B2C – 3AB2 – 3BC2 – 3ABC

Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử

Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z

= (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z]

= (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) x3 - y3 - z3 - 3xyz 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc

Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị

của biểu thức Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 2: Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:

A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x)

Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0.

Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng:

Ví dụ 6: Biết a3 + b3 = 3ab - 1, tính giá trị của biểu thức: A = a + b.

Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết về dạng:

Vậy một trong ba số a, b, c bằng 0 Từ đó suy ra: a2011 + b2011 + c2011 = 0.

Bài 6: Cho a + b + c = 0 (a, b, c ≠ 0) Tính giá trị của biểu thức:

ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab)

= a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc

3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + 1

2xyz(x2 + y2 + z2) ⇔ 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2), đpcm

Bài 1: Cho a - b - c = 0 Chứng minh rằng a3 - b3 - c3 = 3abc.

Bài 2: Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng:

a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd)

Bài 3: Cho 2a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b)

Bài 4: Cho a + b - c = 0 Chứng minh rằng 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2)

Bài 5: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: (4x – 3y + 2z)2 = 16x2 + 9y2 + 4z2

2xyz(x2 + y2 + z2) (**)Thay (**) vào đẳng thức (*) ta được đpcm.

Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với (a2 +

= ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

Từ đó, ta có thể giải được các phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 3ABC hoặc A3 + B3 + C3

= (A + B + C)3 hoặc có dạng A3 + B3 + C3 = 0 (với A + B + C = 0) và nhiều phươngtrình có thể đưa được về một trong các dạng đó để giải

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a b

 + =

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 2

a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0

Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:

- Với x + y = 0, hệ có dạng:

1

0 0

1 0

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi x = y = z = 0 (không thoả mãn hệ phương trình đã cho) suy ra 2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx > 0.

a) Với 3z - 2 = 1, thay vào hệ (II) được hệ:  −((x x− +1) (21)(2y− =y3) 6− = −3) 1

Vậy (x - 1); (2y - 3) là nghiệm của phương trình t2 + t + 6 = 0

Phương trình này vô nghiệm

b) Với 3z - 2 = -2, thay vào hệ (II) được hệ: ( 1) (2 3) 2

Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3

Kết hợp với phương trình 3z - 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y;z) là (0; 3; 0); (4; 1; 0)

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6

Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0

Hướng dẫn: Ta có x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0

⇔ (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 0

Do đó nó chỉ có nghiệm nếu a = b, nghiệm ấy là x = a (nghiệm kép).

2.6 Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh rằng: a + b + c ≥3 abc3

(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm)

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥a2 bc b+ 2 ca c+ 2 ab

Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)

≥ 2 a abc3 + 2 b abc3 + 2 c abc3 = 2(a2 bc b+ 2 ca c+ 2 ab) (1)

Mà a3 + b3 + c3 ≥ 3abc (2)

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

ở đây a = 37, b = - 28, c = - 1, suy ra A chia hết cho 37 – 28 – 1 = 1930

Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a).

Chứng minh rằng (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: 0

Khi đó: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = x3 + y3 + z3

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz

= 3(a - b)(b - c)(c - a) = 3(a + b + c)

Từ đó, ta thấy ngay (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Nhận xét: Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các bài toán

tổng quát hơn như sau:

1 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc

2 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a)

⇔ x3 + y3 + z3 + mxyz = (x + y + z).q với mọi x (1)

Chọn các giá trị riêng của x, y, z sao cho: x + y + z = 0, chẳng hạn x = 1, y = 1, z = - 2 Tađược:

- Với x = 1, y = 1, z = - 2 thì: (1) ⇔ 1 + 1 - 8 - 2m = 0 ⇔ m = - 3.

- Thử lại, với m = - 3, ta được:

x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)

Vậy với m = - 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)

Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81

Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 nên ta có:

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

Xét ba số dư của phép chia x, y, z cho 3

a) Nếu cả ba số dư là khác nhau (là 0, 1, 2) thì (x + y + z) chia hết cho 3 Khi đó (x y)(y z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết.

b) Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3, trong khi đó một trong bahiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết

c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3

Lúc đó 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81

Bài 3: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 - yz = a, y2 - zx =

3 2 2 2 3

1 1

Do abc ≠ 0 nên nếu a - b = 0 thì (1) ⇒ = =a b c (không xảy ra vì x + y + z = 0).

nó là lập phương của một số nguyên

Vậy trong mọi trường hợp, abc đều là lập phương của một số nguyên (đpcm)

Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1, 2, 3, chứng minh rằng nó đúng vớimọi số tự nhiên n

Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức đúng với n = 1, 2, 3, ta lần lượt có:

x + y + z = a + b + c (1)

x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + z2 (2)

x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + z3 (3)Khi đó: (1) ⇔ (x + y + z)2 = (a + b + c)2

⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

⇔ xy + yz + zx = ab + bc + ca (4)

(3) ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc

⇔ xyz = abc (5)

Từ (1), (4), (5) suy ra x, y, z là nghiệm của phương trình:

t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0

xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với mọi số tự nhiên n

Mâu thuẫn với 1 1 1 0

của bài toán là phi lí

Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm A(x; y) sao

cho x3 - y3 = 3xy + 1 (1)

Hướng dẫn: (1) ⇔ x3 - y3 - 1 = 3xy ⇔  = − = −x y x− − =y1 01

Vậy tập hợp A là đường thẳng x - y - 1 = 0 và điểm A0(-1; 1)

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC

Nếu không thêm giả thiết như vậy thì bài toán ra ban đầu là sai (đã có phần thí dụ khi x = y =

z = 3 và a = 1; b = 2; c = 3)

Cả hai lời giải sẽ đúng nếu đề bài cho thêm giả thiết

Bài 4: Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k: