Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ Thầy giáo : Hà Tiến Khởi Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức Rút gọn các biểu thức sau 13x +.. Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phư[r]
Trang 1Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ Thầy giáo : Hà Tiến Khởi A/ Kiến thức
1) Giới thiệu bẩy hằng đẳng trong sgk
2) Bổ sung thêm các hằng đẳng thức
a) (a + b+ c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ca
b)( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
c)An – Bn = (A – B)(An-1+ A.Bn-2 + … + A.Bn-2 + Bn-1) ( n N, n > 1) 3) Khai thác phát thêm các ! " #$ " % khác ' () ! " #$ " % trong sgk
4) Giới thiệu tam giác Pascal
B/Bài tập
Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức
Rút gọn các biểu thức sau
1)(3x + )2 2) 3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)
6
5a
5
4 10
7 10
7 5
4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - )3
2
y
7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1)
9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 11)( 3)( 12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 )
2
x
2
3 4
2
x x
13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)
15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2
16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac
17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2
18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1)
19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3
24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a)
Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.
Bài1: 5 6 7 % sau #8) 9: 9; " bình := " > # %
1)4x2 – 2x + 2)25a2 +
4
1
9
1 3
10
a
Trang 23)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)
Bài245 9: 9; " ? " các @7A ' B (x -1) # % sau:
A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1
Bài34E% " minh ! " 7 % sau C5 #:F 9: 9; " ? " các bình
:= " B hai 7 %4
x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2
Bài44E% " minh ! " tích B H +H I nhiên liên 5 > " thêm 1 luôn là > +H chính := "
Bài545 các # % sau 9: 9; " @K := " B > ? " *L @K
:= " B > M7
a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1
c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6
Bài6:Hãy C5 7 % sau 9: 9; " ? " B ba bình := "
a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)
Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm giá R S T B các 7 % sau
1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4
3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4
5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2
7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028
10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Bài2:Tìm giá R S T B các 7 % sau:
a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999
c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15
d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59
e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Bài3:Tìm giá R @ T B các 7 % sau:
a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5
d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)
Bài4:So sánh hai +H sau:
a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)
b)a = 2004.2006 và b = 20052
Bài5:
a) _ x, y % " minh ! " : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y
b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 C _ x
c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 C _ x, y
d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 _ x, y
Trang 3e) 2- 4x + > 0 C _ x
9
4
x
2 9
g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 C _ x
Bài6: So sánh hai +H A và B
a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1
b)A = 12(52 + 1)(54 +1)……(5128 + 1) và B = 5256 – 1
Bài7:Cho a, b, c là ba ; B tam giác E% " minh ! "4
A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2
Bài84E% " minh các aQ sau:
1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z
2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0
3)x2 +9y2 + z2 + > 2x + 12y + 4z
2 19
4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1
5)(a2 + b2)(x2+y2) (ax+ by) 2
6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2) (ax+ by +cz) 2
Bài94 giá R nào B x thì 7 % sau #; giá R S nhât?
S = 1 - 1 3x + (3x – 1)2
Dạng4: Tính giá trị của biểu thức
Bài1: Tính giá R B các 7 % sau :
1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732
4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + …+ 22 – 12
Bài2:
a) Rút "_ 7 % : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2
b)Cho x + y = 1 Tính giá R B B = x3 +y3 + 3xy
Bài3:Tính giá R B các 7 % sau:
a) A = x2 – y2 – 4x C x + y = 2
b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 C x + y = 4
c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) C x + y = 1
d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) C x + y = 1
e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3C x3 + y3 = 1
g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10 Tính a4 + b4 + c4
Bài5:Cho ba +H a, b, c *( mãn các #e7 &M sau :
a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính ab + bc + ca
Bài6:Cho ba +H x, y, z *( mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Tính giá R B 7 % sau :
P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005
Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4 Tính
1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5
Trang 4Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước
Bài1:Tìm ,54
1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49
2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42
3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56
4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3
5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30
6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42
Bài2:Tìm x, y, z *( mãn :
a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + xyz +26=0
c)x2 + y2 + x – xy + 0
2
1
d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0
e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0
Bài3:Tìm giá R nguyên x, y *( mãn M % sau:
a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0
Bài4:Tìm +H I nhiên n # 4
a)n2 – 4n + 7 là +H chính := " b) n2 – 3n – 1 là +H chính := "
Dạng6:Chứng minh đẳng thức
Bài1:Cho a + b + c = 0 E% " minh ! "4 a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài24E% " minh #$ " % sau:
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a)
Bài34E% " minh các M % sau:
a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2) c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca)
Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2 E% " minh ! "4
(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2
Bài5:Cho a, b, c *( mãn a + b + c = 0 E% " minh ! " :
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
Bài6:Cho a + b – c = 0 E% " minh ! " : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 )
Bài74E% " minh ! " 574 1 11 2và a+ b + c = abc thì
c b a
2 1
1
1
2
2
c
b
a
Bài8:Cho a + b + c = 2p E% " minh ! " :
(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2
Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab
a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz
Trang 5b)Cmr: x + y + z 0 #e7 &M nào B a, b, c thì x + y + z = 0.
Bài10: Cmr 57 : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2C x, y khác 0 thì:
y
b x
a
Bài114E% " minh ! " 574 ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 Cf
y, z khác 0 thì
z
c y
b x
a
Bài124E% " minh các #$ " % sau:
a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2
Bài13:E% " minh ! "4 a = b = c 57 có > trong các #e7 &M sau : a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)
c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca)
Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học
Bài14E% " minh ! " các +H 9; "4 1331; 1030301; 1003003001; ….;
0
0
100
ncs
0 0
01
00 3
00
3
cn ncs
#e7 là @K := " B > +H I nhiên
Bài24 a, b Z; % " minh ! "4
a)(a + b) 2 (a2 + b2) 2 b)(a + b) 6 (a3 + b3) 6
Bài34 x = và y = E% " minh ! " x + y + 1 bao "j
1 2
1
11
ncn
4
4
44
ncs
k " là > +H chính := "
Bài44E% " minh ! " :
a) Y57 p và p2 +8 là các +H nguyên H thì P2 + 3 k " là +H nguyên H
Y57 p và 8p2 + 1 là các +H nguyên H thì 2p + 1 k " là +H nguyên H
Bài54E% " minh ! " C _ +H I nhiên a, l ; +H I nhiên b sao cho
ab + 4 là +H chính := "
Trang 6Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ Thầy giáo : Hà Tiến Khởi Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức
Rút gọn các biểu thức sau
1)(3x + )2 2) 3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)
6
5a
5
4 10
7 10
7 5
4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - )3
2
y
7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1)
9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 11)( 3)( 12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 )
2
x
2
3 4
2
x x
13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)
15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2
16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac
17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2
18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1)
19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3
24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a)
Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.
Bài1: 5 6 7 % sau #8) 9: 9; " bình := " > # %
1)4x2 – 2x + 2)25a2 +
4
1
9
1 3
10
a
3)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)
Bài245 9: 9; " ? " các @7A ' B (x -1) # % sau:
A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1
Bài34E% " minh ! " 7 % sau C5 #:F 9: 9; " ? " các bình
:= " B hai 7 %4
x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2
Bài44E% " minh ! " tích B H +H I nhiên liên 5 > " thêm 1 luôn là > +H chính := "
Bài545 các # % sau 9: 9; " @K := " B > ? " *L @K
:= " B > M7
Trang 7a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1
c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6
Bài6:Hãy C5 7 % sau 9: 9; " ? " B ba bình := "
a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)
Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm giá R S T B các 7 % sau
1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4
3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4
5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2
7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028
10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Bài2:Tìm giá R S T B các 7 % sau:
a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999
c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15
d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59
e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Bài3:Tìm giá R @ T B các 7 % sau:
a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5
d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)
Bài4:So sánh hai +H sau:
a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)
b)a = 2004.2006 và b = 20052
Bài5:
a) _ x, y % " minh ! " : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y
b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 C _ x
c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 C _ x, y
d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 _ x, y
e) 2- 4x + > 0 C _ x
9
4
x
2 9
g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 C _ x
Bài6: So sánh hai +H A và B
a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1
b)A = 12(52 + 1)(54 +1)……(5128 + 1) và B = 5256 – 1
Bài7:Cho a, b, c là ba ; B tam giác E% " minh ! "4
A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2
Bài84E% " minh các aQ sau:
1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z
Trang 82)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0
3)x2 +9y2 + z2 + > 2x + 12y + 4z
2 19
4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1
5)(a2 + b2)(x2+y2) (ax+ by) 2
6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2) (ax+ by +cz) 2
Bài94 giá R nào B x thì 7 % sau #; giá R S nhât?
S = 1 - 1 3x + (3x – 1)2
Dạng4: Tính giá trị của biểu thức
Bài1: Tính giá R B các 7 % sau :
1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732
4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + …+ 22 – 12
Bài2:
a) Rút "_ 7 % : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2
b)Cho x + y = 1 Tính giá R B B = x3 +y3 + 3xy
Bài3:Tính giá R B các 7 % sau:
a) A = x2 – y2 – 4x C x + y = 2
b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 C x + y = 4
c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) C x + y = 1
d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) C x + y = 1
e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3C x3 + y3 = 1
g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10 Tính a4 + b4 + c4
Bài5:Cho ba +H a, b, c *( mãn các #e7 &M sau :
a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính ab + bc + ca
Bài6:Cho ba +H x, y, z *( mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá R B 7 % sau :
P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005
Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4 Tính
1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5
Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước Bài1:Tìm ,54
1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49
2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42
3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56
4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3
5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30
6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42
Bài2:Tìm x, y, z *( mãn :
a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
Trang 9b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + xyz +26=0
c)x2 + y2 + x – xy + 0
2
1
d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0
e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0
Bài3:Tìm giá R nguyên x, y *( mãn M % sau:
a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0
Bài4:Tìm +H I nhiên n # 4
a)n2 – 4n + 7 là +H chính := " b) n2 – 3n – 1 là +H chính := "
Dạng6:Chứng minh đẳng thức
Bài1:Cho a + b + c = 0 E% " minh ! "4 a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài24E% " minh #$ " % sau:
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a)
Bài34E% " minh các M % sau:
a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2)
c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca)
Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2 E% " minh ! "4
(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2
Bài5:Cho a, b, c *( mãn a + b + c = 0 E% " minh ! " :
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
Bài6:Cho a + b – c = 0 E% " minh ! " : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 )
Bài74E% " minh ! " 574 1 11 2và a+ b + c = abc thì
c b a
2 1
1
1
2
2
c
b
a
Bài8:Cho a + b + c = 2p E% " minh ! " :
(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2
Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab
a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz
b)Cmr: x + y + z 0 #e7 &M nào B a, b, c thì x + y + z = 0
Bài10: Cmr 57 : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2C x, y khác 0 thì:
y
b x
a
Bài114E% " minh ! " 574 ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 Cf
y, z khác 0 thì
z
c y
b x
a
Bài124E% " minh các #$ " % sau:
a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2
Bài13:E% " minh ! "4 a = b = c 57 có > trong các #e7 &M sau :
Trang 10a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)
c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca)
Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học
Bài14E% " minh ! " các +H 9; "4 1331; 1030301; 1003003001; ….;
0
0
100
ncs
0 0
01
00 3
00
3
cn ncs
#e7 là @K := " B > +H I nhiên
Bài24 a, b Z; % " minh ! "4
a)(a + b) 2 (a2 + b2) 2 b)(a + b) 6 (a3 + b3) 6
Bài34 x = và y = E% " minh ! " x + y + 1 bao "j
1 2
1
11
ncn
4
4
44
ncs
k " là > +H chính := "
Bài44E% " minh ! " :
a) Y57 p và p2 +8 là các +H nguyên H thì P2 + 3 k " là +H nguyên H
Y57 p và 8p2 + 1 là các +H nguyên H thì 2p + 1 k " là +H nguyên H
Bài54E% " minh ! " C _ +H I nhiên a, l ; +H I nhiên b sao cho
ab + 4 là +H chính := "
... a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)Dạng3:Sử dụng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm... = - x2 + 10x – c)C = - 3x2+ 2x –
d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y +
g)G = ( 1-. .. 1)3 = (2x- 1)3
5)(3x- 5)( 5-3 x) + 9(x +1)2 = 30
6)x(x +5)(x-5 )- (x+2)(x2-2 x+4) = 42
Bài2:Tìm x, y, z *(