Chuyen de hang dang thuc dang nho dai so 8 chuong 1 FULL co phan dang va giai

*Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một... a B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.b Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể

A 2 + B 2 = (A + B) 2 – 2AB = (A - B) 2 + 2AB

3) A2 – B2 = (A + B)(A – B)4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B35) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B36) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

*Chú ý:

Các công thức 4) và 5) còn được viết dưới dạng:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)(A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B)

- Từ công thức 1) và 2) ta suy ra các công thức:

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC Chứng minh: ((A + B) + C)2 = (A+B)2 + 2(A+B)C + C2

= A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2

= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC

*) Hướng dẫn học sinh học thuộc n hằng đẳng thức mà không cần nhớ nhiều

+) Xây dụng tam giác đẹp bộ số 1 1 1

Với n = 2 thì: (a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2( Lũy thừa của cơ số a giảm dần bắt đầu từ số mũ ban đầu, VD: a2 a1 + a0 và với cơ số b ngược lại)

( Đối với dấu trừ (vd +1=1”đúng”, -1=1” sai” Vậy dấu đan xen nhau, qua 1 hạng tự đổi dấu)

Với n = 3 thì: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6

(a + b)n = anb0 + nan - 1 b1 + …+ a0bn

( Chú ý kiểm tra lại tổng số mũ của các hạng tử chính bằng số mũ của hằng đẳng thức vừa khai triển, Nhìn vào tam giác pascan ta thấy hệ số đối nhau)

+) Xây dụng hẳng đẳng thức hiệu 2 lập phương và n hằng đẳng thức

= x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy

Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy

b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2

=(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

*Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một

= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3

= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3

*Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau:

a) (a + b)2 = (a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab

Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được :

 ab =

(a  b)2  (a  b)2

4

= p 2  q24b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p p 2  q 2

=4

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO

TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

D.BÀI TẬP NÂNG CAO:

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

* Phương pháp tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) của f(x):

Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là hằng số)

Nhận xét f(x): (x + b)2 > 0 với  x

a(x + b)2 > 0 với  x

a(x + b)2 + m > m với  x

Dấu "=" xảy ra ⬄ (x + b)2 = 0

⇨ x= ∓ b

Từ đó kết luận giá trị nhỏ nhất của f(x)

* Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) của f(x) thì biến đổi :

Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a < 0, b và m là hằng số)Nhận xét f(x): (x + b)2 ≥ 0 với  x

a) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.

b) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h.

* Có hai loại sai lầm thường gặp của HS:

1) Khi chứng minh được a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b)

2) Đã hoàn tất được a) và b), tuy nhiên, bài toán đòi hỏi xét trên một tập số nào đó thôi, tức là thêm các yếu tố ràng buộc, mà HS không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước b) lại nằm ngoài tập cho trước đó.

Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 1), tức là quên kiểm tra điều kiện b) Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có (x2 + 1)2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra được với mọi giá trị của biến x.

*Ví dụ 2: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y Tìm GTNN của biểu thức

Mặt khác khi thay x = y = 1, B nhận giá trị 2

Vậy GTNN của biểu thức B là 2

ở đây, kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 2), tức là quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y

*Bài tập 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0

Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2

(x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0

*Bài tập 7 : Cho a + b = 1 Tính a3 + 3ab + b3

Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab

Hay A > 0 , với mọi giá trị của biến.

b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 = x2 – 4x – 2x + 8 + 3 = x2 – 6x + 9 + 2

= (x – 3)2 + 2

Vì (x – 3)2 ≥ 0 nên (x – 3)2 + 2 > 0, với mọi giá trị của biến

Hay B > 0, với mọi giá trị của biến

Ta biến đổi vế trái:

VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab)

= (a + b)2(a – b)2 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2

Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b)

= (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2

d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)

VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3

= - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2

VP = 3(a – b)(b – c)(c – a)

= 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a)

= 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc)

= - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2

Vậy VT = VP Do đó đẳng thức được chứng minh

*Bài tập 10 : Giải các phương trình sau:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 Khi đó ta có:

Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

Suy ra a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 +2a2c2

Suy ra 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2

= x4Suy ra (a4 + b4 + c4 ) = x4

a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + 1 ; c) 2xy2 + x2y4 + 1

4Bài 3 Rút gọn biểu thức:

c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2)

Bài 6 Tính giá trị biểu thức:

a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13;

b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Với x = 101;

c) x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 97;

Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:

a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3;

b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4

Bài 8 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);

a2b2]

Các bài toán nâng cao

Bài 12 Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2

Bài 13 Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh rằng a = b.

Bài 14 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b =c.

Bài 15 Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) Chứng minh rằng a = b = c

Bài 16 cho a + b + c = 0 Chứng minh đẳng thức:

a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);

b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;

c) a4 + b4 + c4 = a2  b2  c2 2 ;

2Bài 17 Cho a + b + c = 0 (1)

Bài 24 a) cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy

b) cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy

Bài 25 Cho a + b = 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)

Bài 26 Rút gọn các biểu thức sau: