Một vài ứng dụng của véc tơ

NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ .... ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ N

MỤC LỤC

PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU 1

PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN 1

1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 1

2 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN 1

PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 1

PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ 1

PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 1

A CƠ SỞ LÝ LUẬN 1

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

C MỤC ĐÍCH 2

D NỘI DUNG 2

I LÝ THUYẾT 2

1 Các kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng 2

2.Các kiến thức về véc tơ trong không gian 6

3.Bổ sung 7

II.CÁC ỨNG DỤNG 8

1)CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI 8

2)CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH,GÓC,CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG 10

3)CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC 12

4)CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ 15

PHẦN 6.THÔNG TIN BẢO MẬT 17

PHẦN VII.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 18

PHẦN VIII ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ (NẾU CÓ) 18

PHẦN IX ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ 18

PHẦN X ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN 18

PHẦN XI DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU 18

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

GD&ĐT Giáo dục và đào tạo

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU

Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ

vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinh rất ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm mới này.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy môn toán, và với sự tìm tòi của bản thân,tôi lại thấy đây là một nội dung khá hay mà có thể giải quyết được nhiều bài toán mà việc giải quyết bằng phương pháp khác còn vất vả hơn nhiều.Vì vậy tôi viết chuyên đề này với mong muốn các bạn học sinh có cái nhìn thiện cảm hơn đối với khái niệm véc tơ, thấy được cái hay cái đẹp của nó đối với môn toán.Đây cũng coi

như là một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học

PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN

“ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ”

1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Đường Thị Yến

- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0985568523

- Email: yen0985568@gmail.com

2 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học véc tơ lớp 10 THPT

PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC

DÙNG THỬ

Ngày 10 tháng 10 năm 2019

PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nội dung của chương trình toán THPT

- Một số tài liệu tham khảo

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU

- Phương phỏp nghiờn cứu lý thuyết và thực tiễn

- Phương phỏp tổng kết kinh nghiệm

- Phương phỏp thực nghiệm sư phạm

C MỤC ĐÍCH :

- Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo

- Phỏt triển cỏc hướng tư duy : phõn tớch, tổng hợp, sỏng tạo,…cho học sinh

- Thấy được mối liờn hệ mật thiết giữa đại số- giải tớch với hỡnh học

D NỘI DUNG

I Lý thuyết:

1) Cỏc kiến thức về vộctơ trong mặt phẳng Oxy (SGK HH – 10)

1 1 các định nghĩa

1.1.1 kiến thức cần nhớ

a)vectơ là gì ?

Véctơ là một đoạn thẳng có định hướng:

 Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

 Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ

 Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ

b)Vectơ không

Định nghĩa: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Như vậy, véctơ không, kí hiệu 0 

là vectơ có:

 Điểm gốc và ngọn trùng nhau

 Độ dài bằng 0

c)Hai vectơ cùng phương

Hai vectơ AB 

, CD 

gọi là cùng phương, ký hiệu:

AB



// CD 

 AB// CD A,B,C,D th ng h ng ẳ à







d)Hai vectơ cùng hướng, ngược hướng

a Hai véctơ AB



, CD 

gọi là cùng hướng , ký hiệu:

AB



 CD 

 AB // CD hai tia AB, CD c ng h ù ướ ng







b Hai véctơ AB 

, CD 

gọi là ngược hướng, ký hiệu:

AB



 CD 

 AB // CD hai tia AB, CD ng ượ c h ướ ng





e)Hai vectơ bằng nhau

Hai véctơ AB 

, CD 

gọi là bằng nhau, ký hiệu:

AB



= CD 

 AB CD











  1.1.2 tổng của hai vectơ

a)Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a 

và b 

là một véctơ được xác định như sau:

 Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB 

= a 

 Từ điểm B dựng vectơ BC 

= b 

 Khi đó véctơ AC 

gọi là vectơ tổng của hai vectơ a 

và b 

, ta viết

AC



= a 

+ b 

Từ định nghĩa trên ta được quy tắc ba điểm:

AB 

+ BC 

= AC 

, với ba điểm A, B, C bất kì

b)Tính chất của phép cộng véctơ

Với mọi véctơ a 

, b 

và c  , ta có:

Tính chất 1: (Tính chất giao hoán): a 

+ b  = b  + a 

Tính chất 2: (Tính chất kết hợp): (a 

+ b  ) + c  = a  + (b  + c  )

Tính chất 3: (Tính chất của vectơ không): a 

+ 0  = 0  + a  = a 

c)Quy tắc hình bình hành:

AB



+ AD 

= AC 

, với ABCD là hình bình hành

Ta có "Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA 

+ MB 

= 0 

"

Ta có "Gọi G là trọng tâm ABC thì:

GA 

+ GB 

+ GC 

= 0  ,

MA     MB  MC  3MG,   M.

+ GB 

+ GC 

= 0 

"

1.1.3 hiệu của hai vectơ

a)Hai vectơ đối nhau

Hai véctơ AB



, CD 

gọi là đối nhau, ký hiệu:

AB



=-CD 

 AB CD











 

C

A

B b

a 

b)Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a 

và b 

, kí hiệu a 

- b 

, là tổng của vectơ a 

và vectơ đối của vectơ b 

, nghĩa là:

a



-b 

= a 

+ (-b 

)

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

Để dựng vectơ a 

-b  khi biết các vectơ a 

và b 

ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó dựng vectơ AB



= a 

và AC 

= b  , khi đó CB 

= a 

-b 

Từ cách dựng trên ta được quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:

AB



-AC 

= CB 

, với ba điểm A, B, C bất kì

c)Tính chất của phép trừ véctơ

a 

-b  = c   a  = b  + c  1.1.4 tích của một vectơ với một số

a)Định nghĩa: Tích của vectơ a 

với một số thực k là một vectơ, kí hiệu ka 

được xác định như sau:

a Vectơ ka 

cùng phương với vectơ a 

và sẽ :

 Cùng hướng với vectơ a 

nếu k  0

 Ngược hướng với vectơ a 

nếu k 0

b Có độ dài bằng k.a 



Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ)

Từ định nghĩa trên ta có ngay các kết quả:

1.a 

= a 

, (-1).a 

= -a  b)Tính chất của phép nhân vectơ với số

Với mọi véctơ a 

, b 

và các số thực m, n, ta có:

Tính chất 1: m(n.a 

) = (mn).a 

Tính chất 2: (m + n).a 

= m.a 

+ n.a 

Tính chất 3: m(a 

+ b  ) = m.a 

+ n.b 

Tính chất 4: ma 

= 0   a  = 0  hoặc m = 0

c)điều kiện để hai vectơ cùng phương

Định lí 1 (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phương): Vectơ b 

cùng phương với vectơ a 

 0 

khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho b 

= ka 

C

A

B

b

a  a

b

a b

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là tồn tại số k sao cho

AB



= kAC 

d)Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Định lí 2 (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác 0 

không cùng phương): Cho hai vectơ a 

và b 

khác 0 

và không cùng phương Với mọi vectơ c 

bao giờ cũng tìm được một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:

c 

= ma 

+ nb 

1.1.5 Hệ toạ độ

a)Vectơ

Cho 2 điểm M1(x1; y1), M1(x2; y2) thì M M 1 2

= (x2-x1; y2-y1) b)Các phép toán Vectơ

Nếu có hai vectơ v 1

(x1; y1) và v 2

(x2; y2) thì:

(i): v 1

= v  2

 1 2

1 2

x x

y y









(ii): v 1

//v  2

 1 1

2 2

x y

x y (iii): v 1

+ v  2

= (x1 + x2; y1 + y2)

(iv): v 1

-v  2

= (x1-x2; y1-y2)

(v): kv 1

(x1; y1) = (kx1; ky1) , k  

(vi): v 1

+ v 2

= (x1 + x2; y1 + y2)

c)Khoảng cách

Khoảng cách d giữa hai điểm M1(x1; y1) và M1(x2; y2) là độ dài của vectơ M M  1 2

,

được cho bởi:

d = |M M 1 2

1 2 1 2

(x  x )  (y  y ) d)Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước

Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM  1

= kMM  2

) được xác định bởi các công thức:

1 2

1 2

x kx x

1 k

y ky y

1 k











 



Đặc biệt nếu k = -1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2 , khi đó toạ độ của M được xác định bởi:

1 2

1 2

x x x

2

y y y

2













 



e)Ba ®iÓm th¼ng hµng

Ba ®iÓm A(x1; y1) , B(x2; y2) vµ C(x3; y3) th¼ng hµng khi vµ chØ khi:

AC



//AB



 3 1

2 1

x x

x x



 = 3 1

2 1

y y

y y



 2) Các kiến thức về véctơ trong không gian Oxyz.(SGK HH – 12)

2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho:

A x ; y ; z , B x ; y ; z và aa ;a ;a , b1 2 3 b ; b ; b1 2 3

Khi đó:

1 AB  x x ; y y ; z z

 B A2  B A2  B A2

2 AB  x x  y y  z z

3) ab a b ;a b ;a b

 

4 k.a  ka ; ka ; ka

5 a  a a a

6 a  b a b ; a b ;a b

7 a  .b a b a b a b

3

a

a a

8 / /b a k.b a, b 0

 

9 a  b a.b  0a b a b a b 0

a a a a a a

b b b b b b

a     

 

11) a, b,c  

đồng phẳng  m, n : ambnc

 hay a, b c 0

  

12) a, b,c  

không đồng phẳng  m, n : ambnc

 hay a, b c 0

 

  

x kx y ky z kz

 

Đặc biệt: M là trung điểm AB: x A x B y A y B z A z B

14 G là trọng tâm tam giác ABC: x A x B x C y A y B y C z A z B z C

16 Véctơ đơn vị: i(1;0;0); j(0;1;0); k(0;0;1)

17 Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0)Ox; N(0; y;0)Oy;K(0;0;z)Oz

M(x; y;0) Oxy ; N(0; y; z) Oyz ; K(x;0; z) Oxz

19 Diện tích tam giác ABC: S ABC 1 AB, AC

2

 

20 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  AB, AC

 

21 Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD 1 AB, AC AD

6  

   

22 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ': VABCD.A ' B ' C ' D ' AB, AD AA '

  

3) Bổ sung một số kiến thức:

3.1)Trọng tâm,tâm tỉ cự

a) Định nghĩa 1: Cho hệ điểm  A ,A , ,An 1 2 

Điểm G thỏa mãn : n

GA 0 i

i 1







 

được gọi là trọng tâm của hệ điểm trên

Định lí :

(1) Trọng tâm của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất

(2) Nếu G là trọng tâm của hệ điểm A ,A , ,An

1 2

thì OG 1 n OA

ni 1 i O



 

b) Định nghĩa 2: Cho hệ điểm A ,A , ,An

1 2

và bộ số x ,x , ,xn1 2 

có tổng

khác 0.Điểm G thỏa mãn : n x GA = 0

i i i=1

  được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm

A ,A , ,An 1 2

ứng với bộ số x ,x , ,xn 1 2 

Định lí :

(1) Tâm tỉ cự của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất

(2) Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm A ,A , ,An 1 2 

ứng với bộ số

x ,x , ,xn1 2

thì

n

OA i

i 1

OG

x i O n

x i

i 1













3.2) Định lí 1: Với hai vectơ bất kì u,v  ta luôn có

a ) u v u v

b ) u.v u v

  



   

   

3.3) Định lí 2:

a) Ba điểm M,A,B thẳng hàng  O, luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (x,y) thỏa mãn :

x + y = 1 và OM = xOA + yOB  

b) Bốn điểm M,A,B,C đồng phẳng  O, luôn tồn tại duy nhất bộ số thực (x,y,z) thỏa

mãn : x +y +z =1 và OM = xOA + yOB+ zOC   

II.CÁC ỨNG DỤNG:

1) CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI :

Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương , ( điều kiện 3 điểm thẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk 4 điểm đồng phẳng),…

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC sao cho

BC = 3BM, điểm N trên cạnh AM sao cho AM = 4AN

Gọi P là giao điểm của AC và BN

Tính các tỉ số AP:AC và BI:BP

A

M

N

P

Lời giải :

Đặt BA a; BM b  và AP xAC 

Dễ thấy u 4BN 3a b ;v BP (1 x)a 3xb      

Hai vectơ đó cùng phương nên 1.(1-x)=3.3x hay x = 1/10

Tức là AP:AC=1:10 Từ đó BI:BP = 5:6

Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một điểm I bất kì chạy trên đoạn AM( khác với A), đường thẳng bất kì qua I cắt các đoạn thẳng AB,AC lần

lượt tại N,P( khác A) Chứng minh rằng : BA CA 2 AM

Lời giải :

Đặt x = BA/BN; y = CA/CN; z = AM/AI (x,y,z > 0)

Ta có

AB AC 2AM x.AN y.AP 2z.AI

y x

AI AN AP

y

x 1 x y 2z( đpcm)

2z 2z

     

Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Mặt phẳng (P) bất kì cắt các đoạn SA,SB,SC,SD,SO lần lượt tại A’,B’, C’, D’, O’(khác S) Chứng minh rằng : SA SC SB SD

SA' SC' SB' SD'   Lời giải :

Ta đặt x = SA/SA’; y = SB/SB’; z = SC/SC’; t = SD/SD’

Dễ thấy :

SA +SC = SB+SD (= 2SO)

xSA'+ zSC' = ySB'+ tSD'

SA' = SB'- SC'+ SD'

y z - + =1 (1) hay x + z = y + t (ðpcm) t







    

   

  

(Vì A’,,B’,C’,D’ đồng phẳng nên ta có (1))

Nhận xét : Dễ thấy SA SC SB SD 4SO

Có thể c/m bằng phương pháp hình học thông thường

BÀI TẬP :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, mp(P) cắt các đoạn SA,SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’.Chứng minh rằng :

a) SA SB SC 3 SG

b) SO 3OG  với O là trọng tâm của tứ diện SABC

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Điểm C’ là trung điểm của SC Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’

a) Chứng minh : SB SD 3

SB'  SD' 

S.AB'C' D' V

S.ABCD

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’; M,N,P lần lượt nằm trên cạnh A’B’, AB,

CC’ sao cho MA' NB PC' 1

Gọi Q = (MNP)B’C’ Tính QC'

B' C'

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G1,G2 của hai tam giác A’BD và CB’D’ đông thời AG1=G1G2=G2C’

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C.Tính BD’/BG

c) Gọi P,Q,R lần lượt là điểm đối xứng của D’ qua A,B’,C.Chứng minh B

là trọng tâm của tứ diện PQRD’

d) Dựng I,J lần lượt trên DB’,AC sao cho IJ//BC’ Tính ID/IB’

2) CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GÓC, CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG

Thường áp dụng để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hay một mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Với dạng bài này , học

sinh lớp 11 có thể giải bằng cách sử dụng các tính chất và dựng hình, học sinh lớp 12 có thể dùng phương pháp tọa độ để giải Ở đây tôi chỉ giới thiệu một ví

dụ minh họa khá đơn giản để các thầy cô và các em học sinh tham khảo

Phương pháp chung thường dùng :

(1) Chọn 2 vectơ (không cùng phương trong mp) hoặc 3 vectơ (không đồng phẳng trong KG) có mối quan hệ đặc biệt với nhau làm cơ sở để biểu diễn các vectơ khác qua chúng

(2) Biểu diễn các vectơ khác qua các vectơ cơ sở Dùng đk thẳng hàng, đồng phẳng hay vuông góc để đưa ra kết quả

Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M trên A’C sao cho MA’=3MC

và N là trung điểm của C’D

a) Chứng minh : MN//B’D

b) Khi hình hộp là hình lập phương cạnh a Tính các khoảng cách d(A,D’M) , d(A, (CMN)) và d(BD,CD’)

Lời giải và hướng dẫn:

Đặt AB a;AD b;AA' c  

a)Từ đó dễ thấy :

BD'    a b c ;4MN        a b c    MN / /BD' (đpcm)

b) Ta có các véctơ trên đôi một vuông góc và độ dài các vec tơ trên đều bằng a Dựng AH vuông góc với D’M tại H và đặt D' H x.DM

Ta tính được

u 4.DM 3a b 3c; 4.D'H 3xa xb 3xc ;

v 4.AH 3xa (4 x)b (4 3x)c.

16

19

a 48 15 7 AH

19

d( A,D' M )







   

Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vuông góc với (AMN) tại I

Ta có :

CI xCM yCM; AI AC CI Cho AI     CM; AI CN  x, y  AI