Mô tả mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển và suy rộng dưới dạng bài toán tối ưu véc tơ và đưa ra phương pháp giả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ĐINH THỊ THU PHƯƠNG TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐINH THỊ THU PHƯƠNG

TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH THỊ THU PHƯƠNG

TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS.NGUYỄN VĂN QUÝ

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Tác giả

Đinh Thị Thu Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Quý, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Tác giả

Đinh Thị Thu Phương

Mục lục

1.1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Rn 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Nón lồi 5

1.1.3 Hàm lồi 9

1.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi 15

1.1.5 Hàm lồi khả vi 19

1.1.6 Cực trị của hàm lồi 22

1.2 Bài toán cân bằng và bài toán liên quan 26

1.2.1 Bài toán cân bằng 26

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 27

1.2.3 Bài toán tối ưu 28

1.2.4 Bài toán tựa cân bằng 30

1.3 Bài toán tối ưu véc tơ 31

1.3.1 Quan hệ thứ tự theo nón 31

1.3.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Rn 32

1.3.3 Điểm Pareto (Điểm hữu hiệu) trong không gian

Rn 331.3.4 Bài toán tối ưu véc tơ 351.3.5 Bài toán vô hướng hóa 36

2 Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy

2.1 Phát biểu Mô hình Nash-Cournot 412.1.1 Mô hình Nash-Cournot cổ điển 412.1.2 Mô hình Nash-Cournot suy rộng 422.2 Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy

rộng 452.2.1 Các giả thiết cơ bản 452.2.2 Tiếp cận tối ưu véc tơ 472.3 Sử dụng kỹ thuật vô hướng hóa cho bài toán tối ưu véc

tơ 502.4 Phương pháp nhánh cận giải bài toán vô hướng hóa ứng

với Mô hình Nash-Cournot suy rộng 522.4.1 Kỹ thuật tính cận để giải bài toán vô hướng hóa

(SQVP) 542.4.2 Quy tắc chia nhánh 62

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mô hình cân bằng thị trường độc quyền Nash-Cournot do A.Cournotđưa ra vào năm 1838 và đã được rất nhiều các tác giả trên thế giớitập trung nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot là một Mô hình cơ bảntrong kinh tế học

Ngày nay, Mô hình Nash-Cournot đã được phát triển và mở rộngthêm nhiều bởi tính ứng dụng của nó không chỉ trong lĩnh vực kinh

tế mà còn trong nhiều lĩnh vực khác Nghiên cứu các tính chất vàphương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot cổ điển và suy rộng làmột chủ đề đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm

Hiện nay, các cách tiếp cận trong nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot

là tiếp cận bất đẳng thức biến phân, tiếp cận cân bằng và tiếp cậntối ưu véc tơ Với mỗi cách tiếp cận đều có những ưu điểm nhất địnhtrong việc đưa ra các phương pháp giải mô tả các ứng dụng của Môhình

Đề tài chọn cách tiếp cận tối ưu véc tơ để nghiên cứu và đưa raphương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot suy rộng là một đề tài

có tính khoa học, tính thời sự và tính thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournotsuy rộng và đưa ra phương pháp giải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Mô tả Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển và suy rộng dướidạng bài toán tối ưu véc tơ và trình bày phương pháp giải bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn sử dụng các kiến thức bổ trợ chủ yếu là Giải tíchlồi và Lý thuyết tối ưu véc tơ Đối tượng áp dụng chính là Mô hìnhkinh tế Nash-Cournot cổ điển và Mô hình kinh tế Nash-Cournot suyrộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu từ giáo viên hướng dẫn Tìm tòi thu thậpthêm tư liệu từ các bài giảng, sách, báo, internet, từ đó sắp xếp, biênsoạn lại hình thành nội dung đề tài

(ii) Tích Đề-Các của một họ hữu hạn các tập lồi là một tập lồi.(iii) Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Rn Khi đó, tổngđại số của A và B được định nghĩa và ký hiệu bởi:

Mệnh đề 1.2 [2]

Cho A là một tập khác rỗng trong không gian Rn.(i) CoA là một tập lồi

(ii) CoA là một tập lồi nhỏ nhất chứa A

(iii) A lồi khi và chỉ khi A = CoA

Định nghĩa 1.5 [1]

Một tập hợp S ⊂ Rn được gọi là một đơn hình có thứ nguyên bằng

k (hoặc nói ngắn gọn là k−đơn hình), nếu S là tổ hợp lồi của k + 1véc tơ độc lập a-phin Các véc tơ này được gọi là đỉnh của đơn hình.Định nghĩa 1.6 [1]

Điểm x∗ được gọi là điểm cực biên của tập lồi D nếu không tồn tạihai điểm khác nhau x1, x2 ∈ D sao cho:

x∗ = 1

2x1 +

1

2x2.Điều này tương đương với nếu x1, x2 ∈ D thỏa mãn:

x∗ = 1

2x1 +

1

2x2,thì x∗ = x1 = x2

Tập các điểm cực biên của tập lồi ký hiệu là Ext(D)

1.1.2 Nón lồi

Định nghĩa 1.7 [2]

Cho K là một tập khác rỗng trong Rn.(a) K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với mọi x ∈ K và với mọi

λ > 0 ta đều có:

λx ∈ K

(b) K được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K − x0 là nón có đỉnhtại 0

(c) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0) được gọi là nón lồi nếu K là mộttập lồi.

(d) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0) được gọi là nón lồi đóng nếu K

Ví dụ 1.1.1 Các tập trong Rn sau đây:

Rn+ := {(ξ1, , ξn) ∈ Rn : ξi ≥ 0, ∀i = 1, , n} (orthan không âm)

Rn++ := {(ξ1, , ξn) ∈ Rn : ξi > 0, ∀i = 1, , n} (orthan dương).Đều là các nón lồi có đỉnh tại 0 Đây là các nón lồi quan trọngtrong Rn

Định nghĩa 1.8 [1]

Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và điểm x0 ∈ C

(a) Điểm x∗ ∈ Rn được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài (hay pháptuyến ngoài) của C tại x0 nếu:

hλu + µv, x − x0i = λhu, x − x0i + µhv, x − x0i ≤ 0 với mọi x ∈ C

Từ đó suy ra λu + µv ∈ NC(x0) và theo Mệnh đề (1.3) thì NC(x0)

là một nón lồi có đỉnh tại 0

Để chứng tỏ NC(x0) là một tập đóng ta giả sử {un} là một dãy

nằm trong NC(x0) và un → u khi và chỉ khi n → ∞.

Ta phải chứng minh u ∈ NC(x0) Thực vậy, với mỗi x ∈ C cố địnhthì:

fx(u) = hu, x − x0i ≤ 0 với mọi u ∈ NC(x0),

và là một hàm liên tục trên NC(x0) Từ đó, và theo tính chất của giớihạn suy ra:

lim

n→∞fx(un) = hu, x − x0i ≤ 0

Điều này đúng với mọi x ∈ C

Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra, nếu tập các phương lùi xa củatập A mà khác rỗng thì nó là một nón có đỉnh tại 0

được gọi là trên đồ thị của hàm f

Một hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞với mọi x

Bằng cách cho f (x) = +∞ nếu x /∈ D, ta có thể coi f được xácđịnh trên toàn không gian và hiển nhiên là:

domf = {x ∈ Rn | f (x) < +∞}

và

epif = {(x, µ) ∈ Rn × R | f(x) ≤ µ}

Khi làm việc với hàm số nhận cả giá trị −∞ và +∞, như thường

lệ, ta quy ước: Nếu λ = 0 thì λf (x) = 0 với mọi x

Định nghĩa 1.11 [1]

Cho D ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và f : D → ¯R Ta nói f làhàm lồi trên D, nếu epif là một tập lồi trong Rn+1

Mệnh đề 1.6 [1]

Cho D ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và f : D → R ∪ {+∞} Khi

đó, f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi:

Bây giờ ta xét với x, y ∈ domf Do:

(x, f (x)) ∈ epif ; (y, f (y)) ∈ epif,

mà epif lồi nên:

(λx + (1 − λ)y, λf (x) + (1 − λ)f (y)) ∈ epif

Theo định nghĩa của epif suy ra (1.2)

Ngược lại, giả sử (1.2) đúng, ta cần chứng minh epif là lồi Thựcvậy, với mọi (x, µ), (y, ν) ∈ epif ta phải chứng minh:

λ(x, µ) + (1 − λ)(y, ν) = (λx + (1 − λ)y, λµ + (1 − λ)ν) ∈ epif

Điều này đúng vì theo định nghĩa của epif và λ > 0, (1 − λ) > 0

nên :

λf (x) ≤ λµ ; (1 − λ)f (y) ≤ (1 − λ)ν,kết hợp với (1.2) suy ra:

với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ (0, 1)

(b) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh trên D với hệ

số η > 0, nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) có:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − 1

2ηλ(1 − λ)kx − yk

2

(c) Hàm f được gọi là một hàm lõm trên D, nếu −f là hàm lồitrên D.

(d) Hàm f được gọi là tựa lồi trên D nếu ∀λ ∈ R tập mức dưới:

Một hàm f : D → ¯R là lồi trên D khi và chỉ khi:

∀x, y ∈ D, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1]

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β

Chứng minh

Chứng minh điều kiện cần:

Giả sử f lồi Chọn x, y, α, β như đã nêu trong mệnh đề

Chọn α0 ∈ (f (x), α) và β0 ∈ (f (y), β)

Vậy (x, α0) và (y, β0) thuộc epif

Do epif lồi , nên:

((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α0 + λβ0) ∈ epif

Do đó:

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α0 + λβ0 < (1 − λ)α + λβ

Chứng minh điều kiện đủ:

Chọn (x, µ) và (y, ν) thuộc epif và λ ∈ (0, 1)

C được định nghĩa trên toàn Rn theo công thức:

Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n × n

(a) Ma trận A được gọi là xác định dương nếu:

Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n × n

(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trịriêng của A đều dương

(ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giátrị riêng của A đều không âm và có tồn tại ít nhất một giá trị riêngbằng không

Mệnh đề 1.11 [3]

Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n × n, và véc tơ c ∈ Rn

(i) Nếu A là ma trận xác định dương thì hàm toàn phương:

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này

có nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số Tuynhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồntại duy nhất

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x) Nóichung, đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn

Khi ∂f (x) 6= ∅, thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x

Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thỏa mãnmột hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy ∂f (x) là giaocủa các nửa không gian đóng

Vậy ∂f (x) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng) Như trong lýthuyết toán tử đa trị, ta sẽ ký hiệu:

Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường Khi đó:

(i) Nếu x∗ ∈ domf , thì ∂f (0) = ∅./(i) Nếu x ∈ int(domf ), thì ∂f (0) = ∅ và com-pắc Ngược lại, nếu

∂f (0) = ∅ và com-pắc thì x ∈ ri(domf )

Chứng minh

(i) Cho z ∈ domf thì f (z) < +∞

Vậy nếu x /∈ domf , thì f (x) = +∞ và do đó không thể tồn tại x∗thỏa mãn:

hx∗, z − xi + f (x) ≤ f (z) < +∞

Vậy ∂f (0) = ∅

(ii) Trước hết ta giả sử x ∈ int(domf ) Ta có điểm (x, f (x)) nằmtrên biên của epif

Do f lồi, chính thường nên tồn tại siêu phẳng tựa của bao đóngcủa epif đi qua (x, f (x)), tức là tồn tại p ∈ Rn, t ∈ R không đồng thờibằng 0 thỏa mãn:

hp, xi + tf (x) ≤ hp, yi + tµ, ∀(y, µ) ∈ epif (1.4)

Ta có t 6= 0, vì nếu t = 0 thì:

hp, xi ≤ hp, yi, ∀y ∈ domf

Nhưng do x ∈ int(domf ), nên điều này kéo theo p = 0 Vậy t 6= 0.Hơn nữa t > 0, vì nếu t < 0 thì trong bất đẳng thức (1.4), khi cho

µ → ∞ ta suy ra mâu thuẫn vì vế trái cố định

Chia hai vế của (1.4) cho t > 0, đồng thời thay µ = f (y) và đặt

Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính

là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epif tại(x, f (x)) Thực ra f khả dưới vi phân tại mọi điểm x ∈ ri(domf ).Điều này có thể chứng minh ngắn gọn như sau:

Do ri(domf ), nên theo Mệnh đề (1.12) có:

Áp dụng (1.5) lần lượt với d = ei với i = 1, , n, ta có x∗i ≤ f0(x, ei)

Tương tự, áp dụng với d = −ei với i = 1, , k, ta có:

Ngược lại, giả sử rằng ∂f (x) khác rỗng và com-pắc.

Ta chỉ ra rằng x ∈ ri(domf ) Do ∂f (x) 6= ∅, nên x ∈ domf Nếu trái lại x /∈ ri(domf ), thì x ở trên biên tương đối của domf Dodomf lồi, theo mệnh đề về siêu phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳng tựacủa bao đóng của domf tại x, tức là tồn tại một véc tơ p ∈ Rn, p 6= 0sao cho:

pTx ≥ pTz, ∀z ∈ domf

Lấy x∗ ∈ ∂f (x) Từ đây và theo định nghĩa dưới vi phân ta có:

f (z) − f (x) ≥ hx∗, z − xi ≥ hx∗ + λp, z − xi, ∀λ ≥ 0, ∀z

Chứng tỏ x∗ + λp ∈ ∂f (x), ∀λ ≥ 0 Điều này mâu thuẫn với tính

Giả sử f : Rn → R ∪ {+∞} chính thường và x ∈ domf Nếu f khả

vi tại x, thì với mọi y 6= 0, ta có:

Giả sử f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường và x ∈ domf Khi đó

f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x∗ ∈ Rn sao cho f0(x, y) = hx∗, yivới mọi y Ngoài ra x ∈ int(domf ) và 5f (x) = x∗

Chứng minh

Nếu f khả vi tại x thì, như ở trên, ta đã chỉ ra rằng:

f0(x, y) = h5f (x), yi với mọi y

Vậy f0(x, y) hữu hạn trên toàn Rn, nên x ∈ int(domf )

Giả sử ngược lại f0(x, y) = hx∗, yi với mọi y

Trước hết ta có x ∈ int(domf ) vì f0(x, ) hữu hạn trên toàn Rn Đểchứng minh tính khả vi của f tại x, ta lấy:

Trước hết để ý là từ f0(x, y) = hx∗, yi, theo định nghĩa của f0(x, y),

ta có g(y) ≥ 0 với mọi y và g(0) = 0 Nếu y 6= 0 thì véc tơ y

kyk thuộcsiêu hộp H := [−1, 1]n

Vậy theo định lý Kerein-Milman điểm y

kyk biểu diễn được bởi một

tổ hợp lồi các đỉnh của H, tức là tồn tại các số thực βi (phụ thuộc y)sao cho βi ≥ 0,P

i∈I

βi = 1 và

ykyk =

Chia hai vế cho kyk ≥ 0, có:

0 ≤ g(y)kyk ≤

Vậy g(y)kyk −→ 0.

Chứng minh.

(i) Giả sử x∗ là điểm cực tiểu địa phương của f trên D

Theo định nghĩa, tồn tại lân cận U của x∗ sao cho:

f (x∗) ≤ f (xλ) ≤ λf (x∗) + (1 − λ)f (y)

Cho λ → 0 ta thu được f (x∗) ≤ f (y)

Vậy chứng tỏ x∗ là điểm cực tiểu toàn cục trên D

(ii) Giả sử x∗, y∗ ∈ D là các điểm cực tiểu của f trên D

Vậy f (x∗) = f (y∗) ≤ f (x) với mọi x ∈ D

Lấy z∗ := λx∗ + (1 − λ)y∗, với 0 < λ < 1.

Do D lồi, nên z∗ ∈ D và do f lồi nên:

f (z∗) ≤ λf (x∗) + (1 − λ)f (y∗) = f (x∗) ≤ f (x)

Suy ra z∗ cũng là điểm cực tiểu của f trên D Chứng tỏ tập cácđiểm cực tiểu của f trên D là lồi

Đặc biệt, giả sử f lồi chặt

Theo định nghĩa, nếu x∗ 6= y∗ và 0 < λ < 1 thì suy ra:

nên điểm xλ := (1 − λ)x∗ + λx ∈ D ∩ U khi λ đủ nhỏ.

Do f (x∗) ≤ f (xλ) và f lồi, ta có:

f (x∗) ≤ f (xλ) ≤ (1 − λ)f (x∗) + λf (x)

Từ đây suy ra f (x∗) ≤ f (x) Chứng tỏ x∗ là cực tiểu toàn cục của

f trên D

Giả sử x∗, y∗ ∈ D là các điểm cực tiểu của f trên D

Vậy f (x∗) = f (y∗) ≤ f (x) với mọi x ∈ D

Lấy z∗ := λx∗ + (1 − λ)y∗, với 0 < λ < 1

Do D lồi, nên z∗ ∈ D và do f lồi, nên:

f (z∗) ≤ λf (x∗) + (1 − λ)f (y∗) ≤ f (x)

Suy ra z∗ cũng là điểm cực tiểu của f trên D Chứng tỏ tập cácđiểm cực tiểu của f trên D là lồi Đặc biệt, giả sử f lồi chặt Theođịnh nghĩa, nếu x∗ 6= y∗ và 0 < λ < 1 thì suy ra:

Từ đây ta có: f (x∗) = f (x) với mọi x ∈ [a, b] 2

Đơn giản cho việc trình bày, trong mục này ta thống nhất sử dụng

ký hiệu U là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Rn.1.2.1 Bài toán cân bằng

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ f : U × U → R được gọi là một song hàmcân bằng xác định trên U nếu:

f (x, x) = 0 với mọi x ∈ U

Định nghĩa 1.17 Cho f là một song hàm cân bằng xác định trên

U Bài toán cân bằng tương ứng với tập U và song hàm f được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ U sao cho:

f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ U (EP(U,f))

Ví dụ 1.2.1 Xét tập U = [0, 1] và song hàm cân bằng:

f (x, y) = x − y

Khi đó, dễ thấy x∗ = 1 là nghiệm của bài toán (EP) vì:

1 − y ≥ 0, ∀0 ≤ y ≤ 1

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.18 Cho ánh xạ F : U → Rn Bài toán bất đẳng thứcbiến phân tương ứng với tập U và ánh xạ F được phát biểu như sau:Tìm x∗ ∈ U sao cho:

hF (x∗), y − x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ U (VIP(U,F))

Hiển nhiên, nếu đặt:

f (x, y) := hF (x), y − xi; x, y ∈ U,

thì f là một song hàm cân bằng xác định trên U và khi đó thì Bàitoán bất đẳng thức biến phân (VIP(U,F)) trở thành Bài toán cânbằng (EP(U,f))

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân chỉ là một trường hợp riêngcủa bài toán cân bằng

1.2.3 Bài toán tối ưu

Cho hàm C là một tập khác rỗng trong Rn và g là hàm số xác địnhtrên C Bài toán tối ưu tổng quát có dạng:

Định nghĩa 1.19 Xét bài toán tối ưu dạng (1.6) Khi đó:

(a) C được gọi là tập ràng buộc, còn g được gọi là hàm mục tiêu.(b) Mỗi điểm x ∈ C được gọi là một nghiệm chấp nhận được củabài toán

(c) Điểm x∗ ∈ C là nghiệm tối ưu địa phương của Bài toán (1.6)nếu tồn tại lân cận V của điểm x∗ sao cho:

Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ tính chất cực trị của hàmlồi:

Hệ quả 1.5 Nếu (1.6) là một bài toán tối ưu thì mọi nghiệm tối ưuđịa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục

Mệnh đề 1.16 Giả sử (1.6) là bài toán tối ưu lồi và g khả dưới viphân trên C Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm tối ưu của Bài toán (1.6) khi

và chỉ khi:

0 ∈ ∂g(x∗) + NC(x∗)

Mệnh đề 1.17 Xét Bài toán tối ưu (1.6) Giả sử g là hàm lồi khả viliên tục trên tập mở W chứa U Khi đó, Bài toán tối ưu (1.6) tươngđương với Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với:

−∇g(x∗) ∈ NU(x∗)

Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài suy ra:

h−∇g(x∗), x − x∗i = h−F (x∗), x − x∗i ≤ 0,

tương đương với:

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ U,

Hệ quả 1.6 Xét Bài toán cân bằng (EP) Giả sử với mỗi x ∈ U cốđịnh, f (x, ) là hàm lồi khả vi liên tục trên tập mở W chứa U Khi đó,Bài toán cân bằng (EP) tương đương với Bài toán bất đẳng thức biếnphân (VIP), với:

F (x) := ∂2f (x, x)

1.2.4 Bài toán tựa cân bằng

Cho U là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn K là một ánh xạ

đa trị từ U → 2U và f là song hàm cân bằng xác định trên U

Bài toán tựa cân bằng tương ứng với ánh xạ đa trị K và song hàmcân bằng f được phát biểu như sau:

Vậy bài toán cân bằng chỉ là trường hợp riêng của bài toán tựa cânbằng.

1.3.1 Quan hệ thứ tự theo nón

Định nghĩa 1.20 Cho E là một không gian véc tơ tuyến tính thực,

C là một nón lồi, đóng, có đỉnh tại 0 và x, y là hai phần tử bất kỳtrong E

(a) Ta nói x lớn hơn hoặc bằng y (hay y nhỏ hơn hoặc bằng x)theo nón C và ký hiệu là x ≥C y nếu x − y ∈ C

(b) Ta nói x lớn y theo nón C và ký hiệu là x >C y nếu x ≥C y

và không có y ≥C x

(c) Khi intC là tập khác rỗng Ta nói x thực sự lớn hơn y theonón C và ký hiệu là x C y nếu x >K y, trong đó K = {0} ∪ intC.Mệnh đề 1.18 Quan hệ thứ tự nêu trong định nghĩa (1.20) có cáctính chất:

(i) Tính phản xạ Nghĩa là ta có x ≥C x với mọi phần tử x ∈ X.(ii) Tính chất bắc cầu Nghĩa là: nếu x ≥C y và y ≥C z thì suy ra

1.3.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Rn

Trong không gian Rn ta xét nón C = Rn+ Hiển nhiên đây là mộtnón lồi, đóng và có đỉnh tại 0 và intC = Rn++ Như thường lệ, với haiphần tử bất kỳ x, y, để đơn giản, thay cho các ký hiệu x ≥Rn

+ y và

x =Rn

+ y ta sử dụng các ký hiệu truyền thống là x ≥ y và x = y tươngứng Theo Định nghĩa (1.20), trong trường hợp này ta có các quan hệ

thứ tự như sau:

Định nghĩa 1.21 Với x = (x1, x2, , xn)T và y = (y1, y2, , yn)Tthuộc Rn Ta nói:

(a) x = y nếu xi = yi, ∀i = 1, 2, , n

(b) x ≥ y (hay y ≤ x) nếu xi ≥ yi, ∀i = 1, 2, , n và tồn tại chỉ số

1 ≤ i0 ≤ n sao cho xi0 > yi0 (hay đơn giản x 6= y)

(c) x  y (hay y  x) nếu xi > yi, ∀i = 1, 2, , n

Lưu ý rằng, quan hệ thứ tự trong Rn được nêu trong định nghĩa(1.21) chỉ là quan hệ từng phần (hay bộ phận) Nói một cách khác,hai phần tử bất kỳ trong Rn cũng có thể so sánh được với nhau hoặckhông so sánh được với nhau

Ví dụ như, trong R3 cho x = (0, 3, 3)T, y = (2, 3, 4)T và z = (1, 2, 2)Tthì ta có: x ≤ y; y > z, còn x và z không so sánh được với nhau.Ngoài ra ta có các suy diễn: x  y ⇒ x > y ⇒ x ≥ y

Hơn nữa, nếu x ≥ y và y ≥ x thì suy ra x = y

1.3.3 Điểm Pareto (Điểm hữu hiệu) trong không gian RnĐịnh nghĩa 1.22 [5]

Cho A là tập khác rỗng trong Rn, và ta xét quan hệ thứ tự trong

Rn tương ứng với nón Rn+

(a) Ta nói x ∈ A là điểm hữu hiệu (hay điểm cực tiểu Pareto) của

A nếu không tồn tại y ∈ A mà x > y, hay nói một cách khác, nếu tồntại y ∈ A mà x ≥ y thì suy ra y = x

Một cách khác tương đương: x ∈ A là điểm hữu hiệu của A nếu

A ∩ (x − Rn+) = {x}

Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu của A là M in(A | Rn+).(b) Ta nói x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (hay Pareto yếu) của Anếu không tồn tại y ∈ A sao cho y  x

Một cách khác tương đương: x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của Anếu A ∩ (x − ({0} ∪ Rn++)) = {x} Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữuhiệu yếu của A là W M in(A | Rn+)

Hiển nhiên, nếu x ∈ M in(A | Rn+) thì x ∈ W M in(A | Rn+) Điềungược lại chưa chắc đúng

Ví dụ 1.3.1 (Hình 1.1)

Hình 1.1