Nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ toàn phương Điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hoá bài toán tối ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn ătơng lồi

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản về không gian Euclide Rn, tập lồi, nón lồi và hàm lồi làm cơ sở để nghiêncứu bài toán tối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH NGỌC KHẮC

BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH NGỌC KHẮC

BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ vàhướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiệnluận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếpcận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Phòng sau Đại học, Khoa toán, các thầy cô giáo trong nhàtrường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo, chuyên viên Phòng Giáo dục

và Đào tạo thành phố Lào Cai đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện

để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2016

Tác giả

Đinh Ngọc Khắc

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2016

Tác giả

Đinh Ngọc Khắc

DANH MỤC KÝ HIỆU

Rn Không gian Euclide n-chiều;

}.} Chuẩn Euclide trong Rn;

Bpx0, εq “ tx P Rn : }x ´ x0} ă 0u Hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0

bán kính ;

A P Rnˆn Ma trận đối xứng;

reC Nón lùi xa của C;

intS Miền trong của tập hợp S;

Mục lục

DANH MỤC KÝ HIỆU iii

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian Rn 3

1.2 Ma trận 4

1.2.1 Phép nhân ma trận 4

1.2.2 Ma trận đối xứng 5

1.2.3 Ma trận xác định dương 5

1.3 Tập lồi, tập affine 6

1.3.1 Tập lồi 6

1.3.2 Tập affine 7

1.4 Nón lồi 8

1.5 Hàm lồi và hàm toàn phương 11

1.5.1 Hàm lồi 11

1.5.2 Hàm toàn phương 15

2 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MỘT MỤC TIÊU 16 2.1 Bài toán tối ưu véc tơ 16

2.1.1 Quan hệ thứ tự theo nón 16

2.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Rn 17 2.1.3 Điểm Pareto (điểm hữu hiệu) trong không gian Rn 17

2.1.4 Bài toán tối ưu 18

2.1.5 Bài toán tối ưu véc tơ 19

2.1.6 Bài toán vô hướng hóa 20

2.2 Bài toán tối ưu toàn phương một mục tiêu 22

2.2.1 Phát biểu bài toán 22

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm 23

3 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG 25 3.1 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương 25

3.1.1 Định nghĩa 25

3.1.2 Các điều kiện tính lồi Joint-Range 26

3.1.3 Điều kiện tối ưu 29

3.1.4 Vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ toàn phương 34

3.2 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi 35

3.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 35

3.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine đơn điệu 36

3.2.3 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong cácbài toán thực tiễn Lý thuyết tối ưu được sử dụng nhiều trong quy hoạchtài nguyên, quản lý kinh tế, chế tạo máy, điều khiển tự động, công nghệthông tin, giao thông vận tải và nhiều ngành khoa học khác

Tối ưu toàn phương là một trong những lĩnh vực của tối ưu hóa Đã cónhiều kết quả nghiên cứu về bài toán tối ưu toàn phương, xem [5] và [8]

và những tài liệu trích dẫn trong đó

Hiện nay bài toán tối ưu véc tơ toàn phương đang là lĩnh vực thu hút

sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Do đó trong các nămgần đây đã có nhiều bài báo công bố kết quả nghiên cứu về bài toán tối

ưu vec tơ toàn phương, xem [7] và [10]

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tối ưu và bài toán tối ưuvéc tơ toàn phương tôi xin chọn đề tài nghiên cứu:“Bài toán tối ưu véc tơtoàn phương”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về bài toán tối ưu véc tơ toàn phương: Điều kiện tối ưu,điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ toàn phương

và bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóabài toán tối ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn phươnglồi

4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

Điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóa bài toán tối

ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là bài tổng quan về bài toán tối ưu véc tơ toàn phương

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản

về không gian Euclide Rn, tập lồi, nón lồi và hàm lồi làm cơ sở để nghiêncứu bài toán tối ưu ở các chương sau

Nội dung chương này chủ yếu được trích dẫn từ các tài liệu [1] và [9]

lập thành không gian véc tơ thực n-chiều

Nếu x “ px1, x2, , xnqT P Rn thì xi gọi là tọa độ thứ i của x.Véc tơ không của không gian gọi là gốc của Rn, ký hiệu là 0,

0 “ p0, 0, , 0qT

Đặt

e1 “ p1, 0, 0, , 0qT; e2 “ p0, 1, 0, , 0qT; ;

ei “ p0, , 0, 1, 0, , 0qT; ; en “ p0, , 0, 1qT.

Hệ các véc tơ pe1, , enq như trên là một cơ sở của Rn ta gọi là cơ sởchính tắc của Rn

Trong Rn, x “ px1, x2, , xnqT, y “ py1, y2, , ynqT P Rn ta địnhnghĩa:

pxiq2 là chuẩn Euclide của x

‹ Tính chất của tích vô hướng

ma trận A bằng số hàng của ma trận B

1.2.2 Ma trận đối xứng

Định nghĩa 1.2 Ma trận vuông A “ paijqnˆn bằng với ma trận chuyển

vị của nó thì ma trận A được gọi là ma trận đối xứng, tức là:A “ AT (với

A “ paijqmˆn thì ma trận chuyển vị của A là AT “ pajiqnˆm)

1.2.3 Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n ˆ n.(a) Ma trận A được gọi là xác định dương nếu

xx, Axy ą 0 với mọi x P Rn, x ‰ 0

(b) Ma trận A được gọi là nửa xác định dương nếu

xx, Axy ě 0 với mọi x P Rn

Ma trận A được gọi là xác định âm (hay nửa xác định âm) nếu ´A

là xác định dương (hay nửa xác định dương)

Một số tính chất của ma trận xác định dương, nửa xác địnhdương

• Các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận xác định dương(nửa xác định dương) là dương (không âm)

• Nếu C nửa xác định dương và xx, Cxy “ 0 thì Cx “ 0

• Nếu C là ma trận xác định dương thì ma trận nghịch đảo C´1 tồntại và xác định dương

Mệnh đề 1.1 ([9]) Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n ˆ n.(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêngcủa A đều dương

(ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trịriêng của A đều không âm và tồn tại ít nhất một giá trị riêng bằngkhông

(iii) Ma trận đối xứng, lũy đẳng là ma trận nửa xác định dương

(iv) Nếu C là một ma trận tùy ý (vuông hay chữ nhật) thì CCT và CTC

là các ma trận nửa xác định dương (với CT là ma trận chuyển vị của

ma trận C)

1.3 Tập lồi, tập affine

1.3.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.4 ([1]) Một tập C Ă Rn được gọi là một tập lồi, nếu C

chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi vàchỉ khi

λx ` p1 ´ λqx P C, @x, y P C, @λ P r0, 1s

Một số tính chất cơ bản của các tập lồi:

• Giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là một tập lồi

• Một tập hợp lồi có thể giới nội hoặc không giới nội Nếu tập lồi

C Ă Rn không giới nội thì có véc tơ t P Rn pt ‰ 0q sao cho với mọi

x P C tia x ` λt, λ ě 0 nằm trọn trong C Một véc tơ t như thế gọi

là một phương vô hạn của tập lồi C

Cho một tập bất kỳ E ĂRn Giao của tất cả các tập lồi chứa E đượcgọi là bao lồi của E, ký hiệu convpEq Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E Cóthể thấy:

• convpEq trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộcE

• Bao đóng của một tập lồi cũng là tập lồi

Cho C P Rn là một tập lồi Điểm x P C được gọi là điểm cực biên của

C nếu x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của hai điểm phân biệtbất kỳ khác của C, nghĩa là không tồn tại hai điểm y, z P C, y ‰ z saocho x “ λy “ p1 ´ λqz với 0 ă λ ă 1

Tập hợp các điểm cực biên của tập lồi được ký hiệu là ExtpCq

Định nghĩa 1.5 ([1]) Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửakhông gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệcác bất đẳng thức tuyến tính có dạng:

xai, xy ď bi, i “ 1, 2, , m, trong đó ai P Rn, bi P R

Một tập lồi đa diện bị chặn thì được gọi là đa điện lồi

Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữuhạn đoạn thẳng

Một đa diện lồi là bao lồi của một số hữu hạn điểm

Cho một tập lồi đa diện M, tập con F Ă M được gọi là diện nếu:

x P F ; a, b P M, 0 ă λ ă 1, x “ λa ` p1 ´ λqb P F ñ a, b P F

Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặcđiểm tương đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cảđoạn thẳng đó Một diện có thứ nguyên là 0 được gọi là một đỉnh hayđiểm cực biên, cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1

Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm x0 P C được gọi là điểm cựcbiên (hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C

nhận x0 làm điểm trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại hai điểmphân biệt a, b P C sao cho x0 “ λa ` p1 ´ λqb, 0 ă λ ă 1

Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó.Một tập hữu hạn pn ` 1q điểm u0, u1, , un P Rn được gọi là độc lậpaffine khi và chỉ khi pu1 ´ u0q, pu2 ´ u1q, , pun ´ u0q là độc lập tuyếntính

Nếu pn ` 1q điểm u0, u1, , un P Rn là độc lập affine thì bao lồi của

nó được gọi là một n-đơn hình với các đỉnh u0, u1, , un

1.3.2 Tập affine

Định nghĩa 1.6 ([1]) Một tậpAđược gọi là tập affine nếu nó chứa đườngthẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là,

λx ` p1 ´ λqy P A, @x, y P A, @λ P R

Dễ thấy mọi tập affine đều là tập lồi

Định nghĩa 1.7 ([1]) Đường thẳng đi qua hai điểm a, b P Rn là tập hợptất cả các điểm x trong Rn có dạng x “ λa ` p1 ´ λqb, @λ P R

Đoạn thẳng đi qua hai điểm a, b PRn ký hiệu là ra, bs là tập

Định nghĩa 1.9 ([1]) Cho một tập S bất kỳ của Rn Giao của tất cả cáctập affine trong Rn chứa S là một tập affine Ta gọi giao đó là bao affinecủa S, ký hiệu là aff S Dễ thấy aff S là tập affine nhỏ nhất chứa S

Định nghĩa 1.10 ([1]) Cho a P Rn, a ‰ 0 và α P R Ta gọi tập H “

tx P Rn : xa, xy “ αu là một siêu phẳng (xác định bởi a và α)

Siêu phẳng là một tập affine có số chiều bằng pn ´ 1q và có thể chứngminh được mọi tập affine có số chiều bằng pn ´ 1q đều là siêu phẳng xácđịnh bởi a và α nào đó

Ví dụ 1.3.1 Trong R2, mọi đường thẳng đều là một siêu phẳng Trong

R3, mọi mặt phẳng đều là siêu phẳng

Định nghĩa 1.11 ([1]) Cho a P Rnzt0u, α P R

Tập hợp X “ tpx1, x2, , xnq P Rn : xa, xy ď αu được gọi là nửakhông gian đóng

Tập hợp X “ tpx1, x2, , xnq P Rn : xa, xy ă αu được gọi là nửakhông gian mở

1.4 Nón lồi

Trong lý thuyết tối ưu, nón có vai trò quan trọng

Định nghĩa 1.12 [1] Một tậpC được gọi là nón nếuλx P C, @λ ą 0, @x PC

Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc khôngthuộc nón Dĩ nhiên một nón không nhất thiết là một tập lồi Ví dụ: Rz0

là một nón nhưng không lồi

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Khi đó

ta nói điểm 0 là đỉnh của nón Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diệnthì ta nói nó là nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện,thường được sử dụng, là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyếntính đồng nhất:

tx | Ax ě 0u

với A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn).Mệnh đề 1.2 ([1]) Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tínhchất sau:

(i) λC Ď C @λ ą 0

(ii) C ` C Ď C

Một số nón điển hình: Dưới đây ta sẽ xét một số nón lồi điển hìnhthường được sử dụng trong giải tích lồi

Tập lồi có một số đặc trưng là: một tia xuất phát từ một điểm thuộc

nó, thì hoặc nằm hẳn trong tập này hoặc một khi đã “ra khỏi” tập này thì

sẽ không “trở lại”

Định nghĩa 1.13 ([1]) Cho C là một tập lồi trong Rn Một véc tơ y ‰ 0

được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳcủa C theo hướng y đều nằm trọn trong C, tức là y là hướng lùi xa khi vàchỉ khi

x ` λy P C, @x P C, @λ ě 0

Một hướng lùi xa còn được gọi là hướng vô hạn Ta ký hiệu tập hợp củatất cả các hướng lùi xa củaC cùng với điểm gốc là re C Tập hợp này đượcgọi là nón lùi xa của C Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn, thì re C

chỉ gồm duy nhất là điểm gốc Chú ý rằng, nếu C là một tập lồi đóng, thìtrong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x P C, chỉ cần đòi hỏi chomột điểm x P C Cụ thể ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 ([1]) Giả sử C là một tập lồi đóng Khi đó y là một hướnglùi xa của C khi và chỉ khi

x ` λy P C @λ ě 0

với một điểm x nào đó thuộc C

Chú ý 1.1 Trong trường hợp C không đóng, bổ đề trên không đúng Ví

dụ, trong R2 lấy

C :“ tx “ px1, x2q | x1 ą 0, x2 ą 0u Y t0u.

Hiển nhiên véc tơ y “ p0, 1q có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm

0 ‰ x P C theo hướng này đều nằm trọn trong C, nhưng nếu xuất phát

từ x “ 0 thì điều này không đúng

Cho C Ď Rn là một tập lồi và x P C Ký hiệu

NCpxq :“ tω | xω, y ´ xy ď 0, @y P Cu.

Hiển nhiên 0 P NCpxq Dùng định nghĩa, dễ dàng kiểm tra được rằng

NCpxq là một nón lồi đóng Nón này được gọi là nón pháp ngoài củaC tại

x Tập ´NCpxq được gọi là nón pháp trong của C tại x Hiển nhiên

´NCpxq :“ tω | xω, y ´ xy ě 0, @y P Cu

Một nón quan trọng khác là nón đối cực được định nghĩa như sau:

C˚ “ tω | xω, xy ď 0, @x P Cu.

Hiển nhiên đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc

Cho C là một tập lồi khác rỗng và x P C Ta nói d P Rn là một hướngchấp nhận được của C nếu tồn tại t0 ą 0 sao cho x ` td P C với mọi

0 ď t ď t0 Dễ kiểm tra thấy tập tất các hướng chấp nhận được là mộtnón lồi chứa gốc Ta ký hiệu nón này là FCpxq và gọi là nón các hướngchấp nhận được, hoặc gắn gọn là nón chấp nhận được Nón này có thểkhông đóng Tuy nhiên, nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón khác gọi lànón tiếp của C tại x Ký hiệu nón này là TCpxq, thì FCpxq “ TCpxq Từđây suy ra

TCpxq “ td P Rn | Ddk Ñ d, Dtk Ó 0 : x ` tkdk P C, @ku

Mệnh đề sau đây dễ dàng được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa

Mệnh đề 1.4 ([1]) Nón pháp và nón tiếp là đối cực của nhau

Ví dụ 1.4.1 Giả sử tập lồi C được cho bởi

C :“ tx P Rn | xaj, xy ď bj, j “ 1, , mu

Với x P C, đặt

J pxq :“ tj | xajxy “ bju

và gọi J pxq là tập chỉ số tích cực tại x Khi đó

1.5 Hàm lồi và hàm toàn phương

m

ÿ

j“1

λjf pxjq (Bất đẳng thức Jensen).

Định nghĩa 1.15 ([1]) Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn

(a) Hàm f được gọi là lồi chặt trên D nếu

f pλx ` p1 ´ λqyq ă λf pxq ` p1 ´ λqf pyq (1.1)với mọi x, y P D và với mọi λ P p0, 1q

(b) Hàm f : Rn Ñ R Y t`8u được gọi là lồi mạnh trên D với hệ số

(d) Hàm f được gọi là tựa lồi trên D nếu @λ P R tập mức dưới:

Lλf :“ tx P D : f pxq ď λu

là tập lồi

(e) Hàm f được gọi là tựa lõm trên D nếu ´f là hàm tựa lồi trên D

Mệnh đề 1.6 ([1]) Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn Hàm f lồimạnh trên D với hệ số η ą 0 khi và chỉ khi hàm

(a) Nếu A là ma trận xác định dương thì hàm toàn phương

qpxq “ xx, Axy ` xc, xy là một hàm lồi mạnh trên Rn

(b) Nếu A là ma trận nửa xác định dương thì hàm toàn phương

qpxq “ xx, Axy ` xc, xy là một hàm lồi trên Rn.1.5.1.2 Dưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.16 ([1]) Cho f :Rn Ñ RY t`8u Ta nói x˚

P Rn là dướiđạo hàm của f tại x nếu

xx˚, z ´ xy ` f pxq ď f pzq @z

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này cónghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số Tuy nhiênkhác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duynhất.

Kí hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là Bf pxq Nói chúng,đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn

Nếu Bf pxq ‰ H, thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x

Theo định nghĩa, một điểm x˚

P Bf pxq khi và chỉ khi nó thỏa mãn một

hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy Bf pxq là giao của cácnửa không gian đóng

Vậy Bf pxq luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng) Như trong lý thuyếttoán tử đa trị, ta sẽ kí hiệu

Có thể kiểm tra được một điểm x˚ như thế này, nếu tồn tại sẽ duy nhất

và được gọi là đạo hàm của f tại x Thông thường đạo hàm này được kýhiệu là ∇f pxq hoặc f1

pxq

Giả sử f : Rn Ñ RY t`8u chính thường và x P dom f Nếu f khả vitại x, thì với mọi y ‰ 0, ta có

px, yq “ x∇f pxq, yy với mọi y Lấy y “ ei pi “ 1, , nq là véc

tơ đơn vị thứ i của Rn, ta có:

Mệnh đề 1.11 ([1]) Giả sử f : Rn Ñ R Y t`8u lồi, chính thường và

x P dom f Khi đó f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x˚

Mệnh đề 1.12 ([1]) Cho f là một hàm lồi trên tập lồi D khác rỗng trong

Hệ quả 1.1 ([1]) Nếu một hàm lồi đạt cực đại trên một tập lồi có điểmcực biên, thì cực đại sẽ đạt tại một điểm cực biên của tập lồi đó

1.5.2 Hàm toàn phương

Hàm f : Rn Ñ R được gọi là hàm toàn phương nếu tồn tại ma trận

D P Rnˆn tồn tại véc tơ c P Rn và số thực α sao cho:

Kết luận Chương 1

Chương 1 của luận văn trình bày những kiến thức cốt lõi về không gian

Rn, tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương Đây là những khái niệm quantrọng, nền tảng cho việc nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ toàn phươngtrong các chương sau

(c) Khi int C là tập khác rỗng Ta nói x thực sự lớn hơn y theo nón C

và ký hiệu là x "C y nếu x ąK y, trong đó K “ t0u Y int C

Mệnh đề 2.1 Quan hệ thứ tự nêu trong định nghĩa 2.1 có một số tínhchất sau:

(i) Tính phản xạ: Nghĩa là ta có x ěC x với mọi phần tử x P X

(ii) Tính bắc cầu: Nghĩa là nếu x ěC y, y ěC z thì suy ra x ěC z.

(iii) Tính tuyến tính: Nghĩa là nếu x ěC y thì suy ra

tx ` z ěC ty ` z,

với mọi số thực t ą 0 và mọi phần tử x P X

2.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Rn

Trong không gian Rn ta xét nón C “ Rn` Hiển nhiên đây là một nónlồi đóng và có đỉnh tại 0 và int C “ Rn`` Như thường lệ, với hai phần tửbất kỳ x, y, để đơn giản, thay cho các ký hiệu x ěRn

1 ď i0 ď n sao cho xi0 ą yi0 (hay đơn giản x ‰ y)

(c) x " y (hay y ! x) nếu xi ą yi, @i “ 1, 2, , n.Lưu ý rằng quan hệ thứ tự trong Rn được nêu trong Định nghĩa 2.2 chỉ

là quan hệ từng phần (hay bộ phận) Nói một cách khác, hai phần tử bất

kỳ trong Rn cũng có thể so sánh được với nhau hoặc không so sánh đượcvới nhau

Ví dụ, trong R3 cho x “ p0, 3, 3qT, y “ p2, 3, 4qT và z “ p1, 2, 2qT thì

ta có x ď y, y ą z còn x và z không thể so sánh được với nhau

Ngoài ra ta còn có các suy diễn: x " y ñ x ą y ñ x ě y.Hơn nữa nếu x ě y và y ě x thì suy ra x “ y

2.1.3 Điểm Pareto (điểm hữu hiệu) trong không gian Rn

Định nghĩa 2.3 ([3]) Cho A là tập khác rỗng trong Rn, và ta xét quan

hệ thứ tự trong Rn tương ứng với nón Rn`

(a) Ta nói x P A là điểm hữu hiệu (hay điểm cực tiểu Pareto) của A nếukhông tồn tại y P A mà x ą y, hay nói một cách khác, nếu tồn tại

y P A mà x ě y thì suy ra x “ y

Một cách khác tương đương: x P A là điểm hữu hiệu của A nếu

A X px ´Rn`q “ txu Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu của A

là MinpA | Rn`q.

(b) Ta nóix P A là điểm hữu hiệu yếu (hay Pareto yếu) củaA nếu khôngtồn tại y P A sao cho y " x

Một cách khác tương đương: x P A là điểm hữu hiệu yếu của A nếu

A X px ´ pt0u YRn``qq “ txu Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữu

hiệu yếu của A là WMinpA | Rn`q.Hiển nhiên, nếu x P MinpA | Rn`q thì x P WMinpA | Rn`q Điều ngượclại chưa chắc đúng

Ví dụ 2.1.1 (Hình 2.1) Trong không gian R2 cho

2.1.4 Bài toán tối ưu

Cho C là một tập khác rỗng trong Rn và g là hàm số xác định trên C.Bài toán tối ưu tổng quát có dạng:

Hiển nhiên, nếu đặt hpxq :“ ´gpxq thì bài toán ở dạng (2.2) được viết lạidưới dạng (2.1) Vì vậy, ta chỉ cần xét bài toán ở dạng (2.1) là đủ

Định nghĩa 2.4 Xét bài toán tối ưu dạng (2.1) Khi đó

(a) C được gọi là tập ràng buộc, còn g được gọi là hàm mục tiêu

(b) Mỗi điểm x P C được gọi là một nghiệm chấp nhận được của bàitoán

(c) Điểm x˚

P C là nghiệm tối ưu địa phương của Bài toán (2.1) nếu tồn

tại lân cận V của điểm x˚ sao cho

Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ tính chất cực trị của hàm lồi

Hệ quả 2.1 Nếu (2.1) là một bài toán tối ưu lồi thì mọi nghiệm tối ưuđịa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục

Mệnh đề 2.2 Giả sử (2.1) là bài toán tối ưu lồi và g khả dưới vi phântrên C Khi đó, x˚

P C là nghiệm tối ưu của Bài toán (2.1) khi và chỉ khi:

0 P Bgpx˚q ` NCpx˚q

2.1.5 Bài toán tối ưu véc tơ

Trong các bài toán kinh tế, khoa học, công nghệ, nảy sinh từ thực

tế, chúng ta phải xem xét tối ưu hóa đồng thời nhiều mục tiêu Việc làmtốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác(nghĩa là không có lời giải tối ưu nào cho mọi mục tiêu)

Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hóa không phải chỉ một mục tiêunào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu tương thích với nhau