MỘT vài ỨNG DỤNG của véc tơ

LỜI GIỚI THIỆU Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinhrất ngại học phần

MỤC LỤC PHẦN

PHẦN

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

GD&ĐT Giáo dục và đào tạo

SGK Sách giáo khoa

THPT Trung học phổ thông

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU

Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ

vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinhrất ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm mới này.Tuy nhiên trong quátrình giảng dạy môn toán, và với sự tìm tòi của bản thân,tôi lại thấy đây là mộtnội dung khá hay mà có thể giải quyết được nhiều bài toán mà việc giải quyếtbằng phương pháp khác còn vất vả hơn nhiều.Vì vậy tôi viết chuyên đề này vớimong muốn các bạn học sinh có cái nhìn thiện cảm hơn đối với khái niệm véc

tơ, thấy được cái hay cái đẹp của nó đối với môn toán.Đây cũng coi như là mộttài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học

PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN

“ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ”

1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Đường Thị Yến

- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0985568523

- Email: yen0985568@gmail.com

2 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học véc tơ lớp 10 THPT

PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC

DÙNG THỬ

Ngày 10 tháng 10 năm 2019

PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nội dung của chương trình toán THPT.

- Một số tài liệu tham khảo

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

C MỤC ĐÍCH :

- Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo

- Phát triển các hướng tư duy : phân tích, tổng hợp, sáng tạo,…cho học sinh

- Thấy được mối liên hệ mật thiết giữa đại số- giải tích với hình học

uuur gäi lµ cïng ph¬ng, ký hiÖu:

AB uuur // CD

uuur

⇔

AB// CD A,B,C, D th ng h ng ¼ µ

uuur gọi là ngợc hớng, ký hiệu:

uuur gọi là bằng nhau, ký hiệu:

AB uuur = CD

1.1.2 tổng của hai vectơ

a)Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a

r

và b

r

là một véctơ đợc xác định nh sau:

 Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB

uuur = AC

uuur, với ba điểm A, B, C bất kì

b)Tính chất của phép cộng véctơ

Với mọi véctơ a

r, b

r

và c

r, ta có:

Tính chất 1: (Tính chất giao hoán): a

r + b

r = b

r + ar

Tính chất 2: (Tính chất kết hợp): (a

r + b

r) + c

r = a

r + (b

r + c

r)

Tính chất 3: (Tính chất của vectơ không): a

r + 0

r = 0

r + a

r = a

r

c)Quy tắc hình bình hành:

AB uuur + AD

uuur = AC

uuur, với ABCD là hình bình hành

Ta có "Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA

uuuur + MB

uuur = 0r

"

Ta có "Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì:

GA uuur + GB

uuur + GC

uuur = 0

r,

MA MB MC 3MG, M + + = ∀

uuuur uuur uuuur uuuur

+ GB

uuur + GC

uuur = 0

r

"

1.1.3 hiệu của hai vectơ

a)Hai vectơ đối nhau

Hai véctơ AB

uuur, CD

uuur gọi là đối nhau, ký hiệu:

AB uuur =-CD

b)Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a

r

và vectơ đối của vectơ b

r

, nghĩa là:

r

và AC

uuur = b

r, khi đó CB

uuur = a

r

-br

Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:

AB uuur

-AC

uuur = CB

uuur, với ba điểm A, B, C bất kì

c)Tính chất của phép trừ véctơ

a r

-b

r = c

r

r = b

r + c

r

1.1.4 tích của một vectơ với một số

a)Định nghĩa: Tích của vectơ a

r = -a

r

b)Tính chất của phép nhân vectơ với số

Với mọi véctơ a

r, b

r

và các số thực m, n, ta có:

Tính chất 1: m(n.a

r) = (mn).a

r

Tính chất 2: (m + n).a

r = m.a

r + n.a

r

Tính chất 3: m(a

r + b

r) = m.a

r + n.b

r

Tính chất 4: ma

r = 0

r

r = 0

r hoặc m = 0

c)điều kiện để hai vectơ cùng phơng

Định lí 1 (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng): Vectơ b

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng

hàng là tồn tại số k sao cho

AB uuur

= kAC

uuur

.

d)Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lí 2 (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác 0

r

bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:

b)Các phép toán Vectơ

Nếu có hai vectơ v1

r(x1; y1) và v2

r(x2; y2) thì:

c)Khoảng cách

Khoảng cách d giữa hai điểm M1(x1; y1) và M1(x2; y2) là độ dài của vectơ M M1 2

uuuuuur, đợc cho bởi:

d)Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trớc

Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM1

1 k

y ky y

Đặc biệt nếu k = -1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng

M1M2 , khi đó toạ độ của M đợc xác định bởi:

1 2

1 2

x x x

2

y y y

2) Cỏc kiến thức về vộctơ trong khụng gian Oxyz.(SGK HH – 12)

2.1 TểM TẮT Lí THUYẾT: Trong khụng gian Oxyz cho:

18 Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:

(1) Trọng tâm của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất

(2) Nếu G là trọng tâm của hệ điểm A ,A , ,An1 2 

thì

n 1

b) Định nghĩa 2: Cho hệ điểm A ,A , ,An1 2 

được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm

(1) Tâm tỉ cự của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất.

(2) Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm

3.2) Định lí 1: Với hai vectơ bất kì u,vur ur

M

NP

Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương , ( điều kiện 3 điểmthẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk 4 điểm đồng phẳng),…

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC sao cho

BC = 3BM, điểm N trên cạnh AM sao cho AM = 4AN

Gọi P là giao điểm của AC và BN

Tính các tỉ số AP:AC và BI:BP

Lời giải :

Đặt

BA a;BM buuuuur=ur uuuuuur=ur

và AP xACuuuur= uuuur

Dễ thấy u 4BN 3a b ;v BP (1 x)a 3xbur= uuuur= +ur ur ur=uuuuur= − ur+ ur

Hai vectơ đó cùng phương nên 1.(1-x)=3.3x hay x = 1/10

Tức là AP:AC=1:10 Từ đó BI:BP = 5:6

Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một điểm I bất kì chạy trên

đoạn AM( khác với A), đường thẳng bất kì qua I cắt các đoạn thẳng AB,AC lần

lượt tại N,P( khác A) Chứng minh rằng :

Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Mặt phẳng

(P) bất kì cắt các đoạn SA,SB,SC,SD,SO lần lượt tại A’,B’, C’, D’, O’(khác S) Chứng minh rằng :

SA SC SB SDSA' SC' SB' SD'+ = +

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur

uuuuur uuuuur uuuuur

(Vì A’,,B’,C’,D’ đồng phẳng nên ta có (1))

Nhận xét : Dễ thấy

SA SC SB SD 4SOSA' SC' SB' SD' SO'+ + + =

Có thể c/m bằng phương pháp hình học thông thường

BÀI TẬP :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, mp(P) cắt các

đoạn SA,SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’.Chứng minh rằng :

a)

SA SB' SC'+ + = SG'

b) SO 3OGuuuur= uuuuur

với O là trọng tâm của tứ diện SABC

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Điểm C’ là trung điểm

của SC Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’

a) Chứng minh :

SB' SD' + =

b) Chứng minh :

V

1 S.AB'C'D' 3 V

3 ≤ S.ABCD ≤ 8

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’; M,N,P lần lượt nằm trên cạnh A’B’, AB,

CC’ sao cho

MA' NB PC' 1 MB' NA PC 2= = =

Gọi Q = (MNP)∩B’C’ Tính

QC' B'C'

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G1,G2 của hai tam giác A’BD và CB’D’ đôngthời AG1=G1G2=G2C’

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C.Tính BD’/BG

c) Gọi P,Q,R lần lượt là điểm đối xứng của D’ qua A,B’,C.Chứng minh B là trọngtâm của tứ diện PQRD’

d) Dựng I,J lần lượt trên DB’,AC sao cho IJ//BC’ Tính ID/IB’

2) CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GÓC, CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG

Thường áp dụng để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hay mộtmặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Với dạng bài này , học sinh lớp 11 có thể giải bằng cách sử dụng các tính chất và dựng hình, học sinh lớp 12 có thể dùng phương pháp tọa độ để giải Ở đây tôi chỉ giới thiệu một ví

dụ minh họa khá đơn giản để các thầy cô và các em học sinh tham khảo

Phương pháp chung thường dùng :

(1) Chọn 2 vectơ (không cùng phương trong mp) hoặc 3 vectơ (không đồng phẳngtrong KG) có mối quan hệ đặc biệt với nhau làm cơ sở để biểu diễn các vectơkhác qua chúng

(2) Biểu diễn các vectơ khác qua các vectơ cơ sở Dùng đk thẳng hàng,đồng phẳng hay vuông góc để đưa ra kết quả

Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M trên A’C sao cho MA’=3MC và

N là trung điểm của C’D

a) Chứng minh : MN//B’D

b) Khi hình hộp là hình lập phương cạnh a Tính các khoảng cáchd(A,D’M) , d(A, (CMN)) và d(BD,CD’)

Lời giải và hướng dẫn:

Đặt AB a;AD b;AA' cuuuur=ur uuuuur=ur uuuuur=ur

.a)Từ đó dễ thấy :

BD'uuuuur= − + + a b c ;4MNur ur ur uuuuur= − + + ⇒ a b c MN / /BD'ur ur ur

(đpcm)b) Ta có các véctơ trên đôi một vuông góc và độ dài các vec tơ trên đều bằng aDựng AH vuông góc với D’M tại H và đặt D' H x.DMuuuuuuur= uuuuuur

Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vuông góc với (AMN) tại I

Ta có :

uuur uuuuur uuuuur uuur uuuur uuur uuur uuuuur uuur uuuur

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của BD và CD’: BP z.BD; CQ t.CD'uuuur= uuuuur uuuuur= uuuuur

Cho PQ vuông góc với BD và CD’ ta tìm được z,t Từ đó tính PQ

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có G,G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam

giác ABC và A’B’C’ Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B

b) Cho biết tam giác ABC đều cạnh a,AA’ = a 3 và hình chiếu của A’ trên (ABC)

là trung điểm của BC

b1) Tính góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC)

b2) Tính d(A’B,C’G)

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M và N lần lượt là các điểm chia hai

đoạn thẳng AD’ và DB theo cùng tỉ số k khác 0, 1 Chứng minh : MN // (A’BC)

3) CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và M trên cạnh BC Chứng minh : OA.BC ≤

OB.AC + OC.AB

Lời giải :

Đặt BO x.BC ( 0 x 1).Ta có OC (1-x)BCuuuuur= uuuuuur ≤ ≤ uuuuur= uuuuur

⇒uuuur= uuuuur+ − uuuuur⇒ uuuur ≤ uuuuur + − uuuuur

uuuuur uuuur uuuur

uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur

Nhận xét : Với mọi điểm O trong tam giác ABC ta luôn có :

cosAOB + cosBOC + cosCOA ≥ -3/2

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tìm vị trí của điểm M trên AC sao cho biểu thức

P = 2MA2 + MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm vị trí điểm M sao cho Q= 2

MA + MB + MC nhỏ nhất

Lời giải:

a)Gọi G là trung điểm của BC và I là trung điểm của AG Suy ra :

2.IA IB IC 0uuur+ + =uuur uuur ur

Khi đó : P = 4.IM2 giá trị này nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu của

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng A

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc Tìm M để

Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC có SA=a, SB=b, SC=c; Mặt phẳng (P) thay đổi luôn

đi qua trọng tâm G của tứ diện lần lượt cắt SA, SB, SC tại D, E, F Tìm giá trị nhỏ nhất của :

uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uur

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

Vì G,D,E,F đồng phẳng nên SA/SD + SB/SE + SC/SF = 4

Áp BĐT Bunhiacopxki ta có :

42 = (SA/SD + SB/SE + SC/SF)2 ≤ (SA2 + SB2 + SC2)(1/SD2 + 1/SE2 + 1/SF2)

Do đó : Q ≥ 16/(a2 + b2 + c2)

Đẳng thức xảy ra khi (P)//(ABC)

Ví dụ 6: Cho tứ diện A1A2A3A4 có trọng tâm G Các đường thẳng GAi (1=1,

…,4) căt các mặt đối diện tại Bi Chứng minh rằng :

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta tính được :

c) MA+MB+MC ≥ 3R (với mọi điểm M và tam giác ABC đều.)

Bài 2: Cho tứ diện A1B1C1D1, M là điểm tùy ý trong tứ diện Chứng minh :

Bài 4: Tìm tam giác ABC để tỉ số

P R

là lớn nhất

Bài 5: Cho điểm A thuộc mặt cầu (O;R) Xét tứ diện ABCD nội tiếp (O;R) và

gọi G là trong tâm của tứ diện đó Tìm vị trí của G sao cho AB2 + AC2+AD2-BC2– CD2 – DB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6: Trong tất cả các tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R = 1 , hãy tìm tứ diện

có diện tích toàn phần lớn nhất

4) CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ

Dấu hiệu có thể dùng phương pháp vectơ: Chứa căn của các biểu thức có dạng

độ dài của vectơ hoặc là tích vô hướng của hai vectơ

Dễ thấy : 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x+y+z).

Từ đó (x+y+z) 2 + (1/x +1/y +1/z) 2 ≥ (x+y+z) 2 + 81/(x+y+z) 2

Ta xét các điểm sau trong mặt phẳng Oxy : A(a;b), B(c;d), C(a+1;b-1), 1)

D(c+1;d-1) Nếu có 1 trong 4 điểm trùng gốc O thì hiển nhiên bài toán được chứng minh

2) Nếu cả 4 điểm không trùng gốc O thì trong 4 vectơ

OA(a;b);OB(c;d);OC(a 1;b 1);OD(c 1;d 1)uuuuur uuuur uuuur + − uuuuur + −

có ít nhất 2 vectơ tạo với nhau góc không tù α

, tích vô hướng của hai vectơ này không âm

Mà tích vô hướng của hai vectơ bất kì trong 4 vectơ trên có giá trị là mộttrong sáu giá trị nêu trên Do đó bài toán được chứng minh

Bài 3: Chứng minh rằng :

4cos xcos y sin (x y)+ − + 4sin xsin y sin (x y) 2 x,y R+ − ≥ ∀ ∈

KIẾN KINH NGHIỆM VÀO GIẢNG DẠY

vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến:

Kết quả sát hạch lớp 10C,10H trước khi áp dụng sáng kiến

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành kiểm tra, sáthạch lại, kết quả đạt được rất khả quan Cụ thể như sau:

PHẦN IV: THÔNG TIN BẢO MẬT: Không có thông tin bảo mật

PHẦN VII:CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến đã được áp dụng giảng dạy tại các lớp 10c,10h,10l,tại trường THPT YÊN LẠC.Ngoài ra sáng kiến còn có thể áp dụng được cho tất cả các trường THPT trong cả nước

PHẦN VIII: ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

Sáng kiến đem lại hứng thú cho học sinh đối với phần toán véc tơ,đem lại niềm yêu thích đối với phần hình học khó này.Do đó đem lại hiệu quả cao trong giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG

PHẦN IX:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ

Qua chuyên đề này,tôi đã giúp cho học sinh tìm hiểu sâu hơn ,chi tiết hơn về ứngdụng của véc tơ trong giải toán,đồng thời tôi cũng phân loại chi tiết các ứng dụng của véc tơ trong giải các loại toán cụ thể,học sinh rất hứng thú với các

Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS kém

phân loại như thế này.Sáng kiến đem lại sự tích cực trong việc học toán và dễ dàng tiếp thu phần kiến thức về véc tơ.

PHẦN X:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC

CÁ NHÂN

+Nhà trường nhất trí và ủng hộ cho việc triển khai đề tài

+Tổ chuyên môn đánh giá cao và áp dụng làm tư liệu dạy học

PHẦN XI:DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP

DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

Số TT Tên tổ

chức/cá nhân

YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020

Tác giả sáng kiến (kí ,ghi rõ họ tên)

Đường Thị Yến