Khái niệm số mũ Lyapunov và một vài ứng dụng đối với hệ động lực

6 1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra trong không gian Banach.. 12 1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach.. 15 2 Các phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-LƯỜNG THỊ DỈU

KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-LƯỜNG THỊ DỈU

KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2016

Mục lục

1.1 Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co 5

1.1.1 Không gian Banach 5

1.1.2 Toán tử tuyến tính 6

1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra trong không gian Banach 7

1.2.1 Phương trình Volterra tuyến tính 8

1.2.2 Phương trình Volterra phi tuyến 10

1.2.3 Chuẩn Bielecki và sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra phi tuyến 12

1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach 15

2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của Lyapunov 19 2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm các phương trình vi phân 19

2.1.1 Hệ rút gọn 19

2.1.2 Các khái niệm về ổn định theo Lyapunov 20

2.1.3 Các hàm xác định dấu 21

2.2 Các định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov trong Rn 22 2.2.1 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định 23

2.2.2 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận 24

2.2.3 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định 24

2.3 Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov và các tính chất cơ bản của chúng 24

2.4 Số mũ đặc trưng của ma trận, hệ phương trình vi phân tuyến tính và phép biến đổi Lyapunov 30

2.4.1 Số mũ đặc trưng của ma trận 30

2.4.2 Khái niệm về phổ Lyapunov của hệ phương trình vi phân tuyến tính 32

2.4.3 Bất đẳng thức Lyapunov 34

1

2.4.4 Phép biến đổi Lyapunov 35

3 Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu và ứng dụng của phương pháp

3.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh của chúng 37 3.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 37 3.1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ 41 3.1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm 44 3.2 Bài toán Cauchy đặt chỉnh 46 3.2.1 Khái niệm về bài toán Cauchy đặt chỉnh 46 3.2.2 Tính ổn định nghiệm của bài toán Cauchy đặt chỉnh 52 3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach 56 3.4 Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach 57 3.5 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz 59 3.6 Đánh giá nghiệm của phương trình Volterra 62

Lời nói đầu

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân đã được hình thành và phát triển từ đầu thế kỷ XIX (xem [2], [3], [5]) Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng lý thuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ (xem [4], [6], [7], [11], [13])

Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, dựa vào phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov

Toàn bộ nội dung của luận văn bao gồm hai phần chính:

• Phần thứ nhất dành cho việc trình bày lại một số kiến thức cơ bản đã biết,

cụ thể là không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính, phương pháp thứ nhất và phương pháp thứ hai của Lyapunov (xem [1], [4], [9], [10], [13], [14], [15])

• Phần thứ hai dành cho việc đi sâu tìm hiểu phương pháp số mũ của Lya-punov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Eucilid hữu hạn chiều Rn Sau đó tiếp tục phát triển và mở rộng việc nghiên cứu tính ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach và ứng dụng phương pháp này cho phương trình tiến hóa trừu tượng dạng tuyến tính có nhiễu và ứng dụng ví dụ minh họa

Bố cục của luận văn gồm ba chương:

• Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2 : Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định cuả Lyapunov

• Chương 2 : Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu và ứng dụng của phương pháp

số mũ Lyapunov

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

-người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô giáo trong Khoa Toán

-Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức

và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập

Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng còn có sự hạn chế về thời gian và lượng kiến thức bổ trợ nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Lường Thị Dỉu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương mở đầu, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày lại một số kiến thức cơ bản nhất: Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co được tham khảo ở tài liệu [8] Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra trong không gian Banach [13], sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach Cần thiết cho việc nghiên cứu ở chương sau

1.1 Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co

1.1.1 Không gian Banach

Các kiến thức sau đây được tham khảo ở tài liệu [8], p.58

Định nghĩa 1.1 (Không gian tuyến tính định chuẩn)

Giả sửX là không gian vectơ trên trường vô hướng K ( K là trường các số thực

R hay trường các số phức C), X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một số không âm kxk (gọi là chuẩn của x) thỏa mãn các điều kiện sau:

• kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = 0;

• kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈K và với mọi x ∈ X ;

• kx + yk ≤ kxk + kyk, với mọi x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.2 (a) Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều

là dãy hội tụ, tức là {xn}∞n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà

x n → x 0 (n → ∞).

(b) Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) là không gian đầy đủ thì

(X, k.k) được gọi là không gian Banach

5

1.1.2 Toán tử tuyến tính

Các kiến thức sau đây được tham khảo ở tài liệu [8], p.82

Định nghĩa 1.3 (Toán tử tuyến tính)

Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử

A : X → Y được gọi là tuyến tính nếu: A(αx + βy) = αAx + βAy với mọi x, y ∈

X và với mọi α, β ∈K.

Định nghĩa 1.4 Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy x n hội tụ đến x 0, ta đều có Ax n → Ax 0 (n → ∞).

Định lý 1.1 Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.5 Giả sử X, Y là các không gian Banach Chuẩn kAk của toán

tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng :

kAk = sup

kxk≤1

kAxk = sup

x6=0

kAxk kxk .

Định nghĩa 1.6 A : X → X là toán tử tuyến tính bị chặn nếu tồn tại một hằng số dương c > 0 sao cho kAxk < ckxk, ∀x ∈ X.

Ta có:

Mệnh đề 1.1 a) A : X → X bị chặn khi và chỉ khi nó liên tục

b) Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào X tạo thành một không gian Banach được ký hiệu là L(X), tức là:

L(X) = {A|A : X → X, kAk < +∞}

Chúng ta xin nhắc lại rằng, giả sử T ∈ L(X), khi đó nếu

kT (x)k ≤ kxk với mọi x ∈ X,

thì T được gọi là phép co

Nếu kT xk = kxk, với mọi x ∈ X thì T được gọi là một phép đẳng cự Trong

L(X) ta có thể xác định các tô pô khác nhau như tô pô đều, tô pô mạnh, tô pô yếu

Xét một họ (Tα)α∈J ⊂ L(X) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn Tα ∈ L(X) Khi

đó ta nói

(i) (Tα)α∈J hội tụ đến T, T ∈ L(X) theo tô pô đều nếu

kTα− T k → 0

(ii) (Tα)α∈J hội tụ đến T, T ∈ L(X) theo tô pô mạnh nếu

kTαx − T xk → 0, ∀x ∈ X

(iii) (Tα)α∈J hội tụ đến T, T ∈ L(X) theo tô pô yếu nếu

| < T α x − T x , x0 > | → 0, ∀x ∈ X, x0∈ X0

Với các khái niệm đó, nguyên lý của bị chặn đều có thể phát biểu theo mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 (xem [8], p.511) Cho một tập K ⊂ L(X), khi đó các tính chất dưới đây là tương đương

(a) K bị chặn theo tô pô yếu

(b) K bị chặn theo tô pô mạnh

(c) K bị chặn theo tô pô đều tức là kT xk ≤ c, với mọi T ∈ K.

Mệnh đề 1.3 (xem [8], p.512) Trên các tập bị chặn của L(X) thì sự hội tụ theo các tô pô sau đây là như nhau

(a) Tô pô mạnh

(b) Tô pô đối với tập gồm các điểm hội tụ mà tập này là trù mật trong X (c) Tô pô trên tập các điểm hội tụ đều mà tập này là compact tương đối của

X

Định nghĩa 1.7 (Toán tử đóng)

Giả sử X, Y là các không gian Banach Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y

gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {xn}∞n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y thì

x ∈ D(A) và Ax = y

1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra

trong không gian Banach

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [13]

Giả sử X là không gian Banach,J ⊂ R là khoảng vô hạn hay hữu hạn của trục

thực R, ta kí hiệu

∆J = {(t, s)|(t, s) ∈ J, t ≥ s} (1.1) Sau dây ta sẽ kí hiệu K ∈ C[∆J × X, X] là các toán tử liên tục từ ∆J× X → X

được xác định bởi:

K : (t, s, x) 7→ K(t, s, x), (1.2)

7

trong đó (t, s) ∈ J, x ∈ X.

Trong định lý tiếp theo ta sẽ xét các trường hợp cụ thể với giả thiết K là tuyến tính hoặc phi tuyến, thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x, đều đối với

t, tức là:

kK(t, s, x) − K(t, s, y)k ≤ L(s)kx − yk, (1.3)

L(s) là hàm khả tích địa phương của s

1.2.1 Phương trình Volterra tuyến tính

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [7], p.26

Lấy J = [0, T ], giả sử x : J → X, A : J → L(X) là liên tục mạnh theo x và

K = A(t)x(t), t ∈ J và x0 ∈ X Xét phương trình Volterra

x(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(τ )x(τ )dτ, với t 0 , t ∈ Jvà t ≥ t 0 , (1.4)

trong đó t0, t ∈ J (t ≥ t0 ), g ∈ C(J, X) ở đây g : J → X là hàm liên tục Định lý sau đây sẽ xác lập cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân ( 1.4)

Định lý 1.2 Giả sử các hàm g : J → X là liên tục và A : J → L(X) là liên tục mạnh Khi đó phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên đoạn [a, b] ⊂ J bất kỳ Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng:

x(t) = g(t) +

∞ X k=1

gk(t),

trong đó:

g1(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(t1)g(t1)dt1,

gk(t) =

Z t

t 0

A(τ )gk−1(τ )dτ,

Chứng minh Giả sử [a, b] ⊂ J bất kỳ, ta ký hiệu B = C([a, b], X), trong đó

C([a, b], X) là tập các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong X, với chuẩn:

|||x||| = max

t∈[a,b] kx(t)k,

Với t0 ∈ [a, b] bất kỳ ta xét toán tử S :B→B được xác định bởi:

(Sx)(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(τ )x(τ )dτ. (1.5)

Từ giả thiết g : [a, b] → X là liên tục và A : [a, b] → L(X) là liên tục mạnh ta

có thể suy ra vế phải của (1.5) là liên tục theot và S là một toán tử đi từ không gian C([a, b]; X) vào chính nó Bây giờ ta xét dãy (Snx)(t) được xác định bởi:

(Sx)(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(t 1 )g(t 1 )dt 1

(S2x)(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(t1)(Sx)(t1)dt1 .

(Snx)(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(t 1 )(Sn−1x)(t 1 )dt 1

.

Bằng phương pháp truy hồi ta được:

(Snx)(t) = g(t) +

Z t

t 0

A(t1)g(t1)dt1+

Z t

t 0

Z t 2

t 0

A(t2)A(t1)g(t1)dt1dt2+

+

Z t

t 0

Z t n−1

t 0

.

Z t 2

t 0

A(tn−1)A(tn−2) A(t1)g(t1)dt1 dtn−1)

+

Z t

t 0

Z t n

t 0

.

Z t 2

t 0

A(tn)A(tn−1) A(t1)g(t1)dt1 dtn−1dtn. (1.6)

Với mỗi x 1 , x 2 ∈ X ta có:

(Snx2)(t) − (Snx1)(t)

=

Z t

t 0

Z t n

t 0

.

Z t 2

t 0

A(t n )A(t n−1 ) A(t 1 )[x 2 (t 1 ) − x 1 (t 1 )]dt 1 dt n−1 dt n ,

và

k(Snx2)(t) − (Snx1)(t)k

≤ |||x2− x1|||Rt

t 0

Rt

t n Rtt2

0 kA(tn)kkA(t1)k kA(t1)kdt1 dtn−1dtn.

Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1, t2, , tn

nên ta có:

Z t

t 0

Z t

t n

.

Z t 2

t 0

kA(tn)kkA(t1)k kA(t1)kdt1 dtn−1dtn = 1

n!

hZ t

t 0

kA(τ )kdτi

n

.

(1.7) Hay ta có:

|||Snx 2 − Snx 1 ||| ≤ 1

n!

hZ b a

kA(τ )kdτi

n

|||x 2 − x 1 |||.

Điều đó chứng tỏ rằng toán tử Sn co trong C([a, b]; X) khi n đủ lớn Sử dụng nguyên lý ánh xạ co ( suy rộng) ta suy ra phương trình (1.6) có nghiệm duy

9

nhất đồng thời ta có:

x(t) = lim

n→∞ Sng(t),

với g(t) ∈ C([a, b]; X) bất kỳ

Bổ đề được chứng minh

Hệ quả 1.1 Giả sử các hàm g : J → X là liên tục và A : J → L là liên tục mạnh Khi đó nghiệm x = x(t) của phương trình (1.4) có dạng:

x(t) =

∞ X n=1

Z t

t 0

Z t n

t 0

.

Z t 2

t 0

A(tn)A(tn−1) A(t1)g(t1)dt1 dtn−1dtn.

Đồng thời ta có đánh giá sau:

|||x||| ≤ |||g|||eRabkA(τ )kdτ (1.8) Chứng minh Xét chuỗi x(t) = g(t) +P∞k=1gk(t), với t ∈ [a, b], ta có

kx(t)k ≤ kg(t)k +

∞ X k=1

kgk(t)k, với t ∈ [a, b]. (1.9)

Bằng lý luận tương tự như trong chứng minh bất đẳng thức (1.7) của Đinh lý (1.1) ta có:

|||x(t)||| ≤ |||g|||

(

1 +

∞ X n=1

1 n!

hZ t

t 0

kA(τ )kdτi

n)

,

Với mọi α ≤ t 0 ≤ t ≤ b, từ đó ta suy ra

|||x||| ≤ |||g|||eRabkA(τ )kdτ

Hệ quả được chứng minh

1.2.2 Phương trình Volterra phi tuyến

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [7], p.91

Cho X là một không gian Banach thực, J = [t0, t0+ a](a > 0), g ∈ C[J, X], kí hiệu ∆J = {(t, s) ∈ J × J : t ≥ s} Giả sử K ∈ C[∆J × X, X] thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho:

kK(t, s, x) − K(t, s, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, s) ∈ ∆J, x, y ∈ X.

Xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến

x(t) = g(t) +

Z t

t 0

K(t, s, x(s))ds, (1.10)

và toán tử tích phân liên kết

(F x)(t) = g(t) +

Z t

t 0

K(t, s, x(s))ds. (1.11)

Để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (1.10) ta có định lý sau đây:

Định lý 1.3 Giả sử K ∈ C[∆J × X, X] và g ∈ C[J, X], K(t, s, x) thỏa mãn điều kiện Lipshitz đối với x, tức là tồn tại hằng số L > 0 sao cho

||K(t, s, x) − K(t, s, y)|| ≤ L||x − y||, ∀(t, s) ∈ ∆J, x, y ∈ X. (1.12) Khi đó phương trình (1.10) có một nghiệm duy nhất x∗ ∈ C[J, X] và với mọi

xn ∈ C[J, X]sao cho ||xn− x∗||C → 0 khi n → ∞, ta có

x 1 (t) = g(t) +

Z t

t 0

K(t, s, x 0 (s))ds,

xn+1(t) = g(t) +

Z t

t 0

K(t, s, xn(s)) ds, ∀t ∈ J (n = 1, 2, 3, ). (1.13)

.

Chứng minh

Lấy x ∈ C[J, X] và t, t0∈ J, t0> t, từ phương trình (1.11) ta có

||(F x)(t0) − (F x)(t)|| ≤ ||g(t0) − g(t)||+

+

Z t

t 0

||K(t0, s, x(s)) − K(t, s, x(s))|| ds +

Z t0 t

||K(t0, s, x(s))|| ds.

(1.14)

Do (1.12) ta được

||K(t, s, x(s))|| ≤ ||K(t, s, x(s)) − K(t, s, θ)|| + ||K(t, s, θ)||

≤ L||x(s)|| + M ≤ L||x||C + M, ∀(t, s) ∈ ∆J,

(1.15)

trong đóM = max {||K(t, s, θ)|| : (t, s) ∈ ∆J} < ∞ Từ giả thiếtK ∈ C[∆J× X, X]

ta suy ra với (t, s), (t0, s) ∈ ∆J ta có:

lim

t 0 →t ||K(t0, s, x(s)) − K(t, s, x(s))|| = 0. (1.16)

Dog, x ∈ C[J, X]và K ∈ C[∆J× X, X]ta có thể suy ra||(F x)(t0) − (F x)(t)|| → 0

với t0→ t, vì vậy F x ∈ C[J, X], và do đó ánh xạ F đi từ C[J, X] vào C[J, X] Mặt khác, từ (1.11) ta có:

||(F x)(t) − (F y)(t)|| ≤

Z t

t 0

||K(t, s, x(s)) − K(t, s, y(s))|| ds

≤ L

Z t

t 0

||x(s) − y(s)|| ds, ∀x, y ∈ C[J, X], t ∈ J.

(1.17)

11

Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chỉ ra rằng

||(Fmx)(t) − (Fmy)(t)|| ≤ L

m (t − t0)m m! ||x − y||C, ∀t ∈ J, x, y ∈ C[J, X],

(m = 1, 2, 3, )

(1.18)

Thật vậy, bất phương trình (1.17) chính là bất phương trình (1.18) khi m = 1 Giả sử bất phương trình (1.18) đúng vớim Khi đó, với bất phương trình (1.17)

và (1.18), ta có

||(Fm+1x)(t) − (Fm+1y)(t)|| ≤ L

Z t

t 0

||(Fmx)(s) − (Fmy)(s)|| ds

≤ L

Z t

t 0

Lm(s − t0)m m! ||x − y||C ds = L

m+1 (t − t0)m+1 (m + 1)! ||x − y||C,

bất phương trình (1.18) đúng với m + 1 Do đó, bằng phép quy nạp, phương trình (1.18) đúng với mọi số nguyên dương m Ta chọn một số nguyên dương m

đủ lớn sao cho q = L

m am m! < 1, ta có

||Fmx − Fmy||C ≤ q||x − y||C với mọi x, y ∈ C[J, X]

Do đó, theo định lý điểm bất động Banach, toán tử Fm có duy nhất một điểm bất động x∗ trong C[J, X] và Fmny → x∗ khi n → ∞ với mọi y ∈ C[J, X]

Như vậy ta có F x∗= F (Fmx∗) = Fm+1x∗ = Fm(F x∗)nênF x∗ ∈ C[J, X]là một điểm bất động của Fm, và do đó ta có F x∗ = x∗ ,sử dụng tính duy nhất của nguyên lý điểm bất động ta suy ra x∗ là điểm bất động của F

Bây giờ nếu lấy y = Fkx1(k = 0, 1, , m − 1), lý luận tương tự như trên ta có thể chỉ ra Fmn+kx1 → x∗ khi n → ∞(k = 0, 1, , m − 1) Như vậy xn → x∗ khi

n → ∞, trong đóxn được định nghĩa bởi (1.13) Cuối cùng, do tính duy nhất của điểm bất động củaFm, ta đi đến kết luận điểm bất động củaF là duy nhất

1.2.3 Chuẩn Bielecki và sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình

Volterra phi tuyến

Các kiến thức của phần này được tham khảo ở tài liệu [7]

Cho (X, k.k) là một không gian Banach,J = [a, b], a, b ∈R Giả sửK : J ×J ×X →

X là một toán tử bị chặn thỏa mãn điều kiện Lipschitz (không ô tô nôm) tức là tồn tại L ∈ C([a, b],R) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:

kK(t, s, x) − K(t, s, y)k ≤ L(s)kx − yk, (1.2.3) Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng toán tử V : C([a, b],R) được xác định bởi:

V (x) =

Z t a

K(t, s, x(s))ds, (1.19)