Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh TuấnGIÁO ÁN DẠY THÊM CHỦ ĐỀ : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN, PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ
Trang 1Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh Tuấn
GIÁO ÁN DẠY THÊM CHỦ ĐỀ : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN, PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
(TIẾT DẠY : 12 - > 23 ; TUẦN DẠY : 20, 22, 24,27, 30, 31)
(NGÀY SOẠN : 4/1/2010) Dạng 1 : Tìm tọa độ của một điểm, của vectơ
I Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1 M x ( M; y zM; M) ⇔ OM uuuur = x i y j z kMr + Mr + Mr
2 Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có: uuur AB = ( xB − x yA; B− y zA; B − zA) ;
AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2+(z B−z A)2
2
; 2
; 2
B A B A B
A x y y z z x
II Tọa độ của véctơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1 ar=( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ a a i a j a kr= 1r+ 2r+ 3r
2 Cho a r = ( ; ; ) a a a1 2 3 và b r = ( ; ; ) b b b1 2 3 ta có
1 1
2 2
3 3
=
= ⇔ =
=
r r
a br r± =(a1±b a1; 2±b a2; 3±b3)
k a r = ( ka ka ka1; 2; 3)
a br r = a b cr r os(a; )r rb =a b1 1+a b2 2+a b3 3
1 2 3
ar = a + +a a
s( , )
.
a b a b a b
co a b
=
r r
(với ar r r r≠0 ,b≠0)
Trang 2 a r
và b r vuơng gĩc ⇔ a b r r = ⇔ 0 a b1 1 + a b2. 2+ a b3. 3 = 0
a r
vàb r cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
=
⇔ ∃ ∈ = ⇔ =
=
Qui ước với mọi m, n
Bài tập 1 : Trong khơng gian Oxyz cho ba vectơ ar=(1; 2; 1),− br=(2;0;1),cr= −( 1;1;0)
a Tìm tọa độ x r = 2 a b r r − + 3 c r
b Tìm tọa độ u r
sao cho u r ⊥ b u r r , ⊥ c u r r , = a r
Bài 2 : Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(2; - 3; 1), B(1; 0; 2), C(3; 1; 2).
a Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
b Tìm tọa độ điểm M sao cho MA uuur + 2 MB MC uuur uuuur r − = 0
Bài 3 : Trong khơng gian Oxyz cho
a Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho M, A, B thẳng hàng.
b Tìm điểm N trên trục Ox sao cho AN ⊥ BC
Bài 4 : Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 0; -1), C(0; - 1; 2)
a Tìm trên trục Ox những điểm cách đều hai điểm A, B.
b Tìm những điểm trên mặt phẳng (Oxz) những điểm cách đều ba điểm A, B và C.
Bài tập tự giải
1 Cho các vectơ
a Tính tọa độ vectơ
b Tìm biết 2
c Tìm biết , và
2 Cho ba điểm A(1; 4; 2), B(4; 1; 0), C(5;– 1; 1)
a CMR A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
Trang 3Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh Tuấn
c Tìm tọa độ điểm M sao cho
d Gọi G là trọng tâm tam giác ABC CMR A, G, M thẳng hàng.
a CMR tam giác ABC vuông cân tại A.
b Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
4 Cho ba điểm A(2; 2; 2), B(0; 2; 1), C(4; 2; 0) Tìm điểm M trên (Oxz) cách đều 3 điểm A, B, C.
5 Cho 2 điểm A(1; 2; - 1), B(-1; 3; 1) Tìm M trên trục tung sao cho tam giác MAB là tam giác vuông.
Dạng 2 : Lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và tính bán kính mặt cầu.
1 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r cĩ phưong trình là :(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
2 Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 với A2+B2+C2-D>0 là phương trình mặt cầu tâm I(- A; - B; - C) , bán kính r = A2+ B2+ C2− D .
Bài 1 : Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(1; 3; -2), B(3; - 1; 0)
Bài 2 : Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 2; 4), B(1; - 3; -1), C(2; 0; 3) và cĩ tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
Bài 3 : Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1; 2; 1), B(2; 2; 0), C(- 1; 3; - 2), D(- 1; - 1; -3)
Bài 4 : Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 3; - 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).
Bài 5 : Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu ? Nếu phải, hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đĩ.
a x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 2z – 19 = 0
b x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4 = 0
c 2x2 + 2y2 + 2z2 + 6x – 2y + 10z – 7 = 0
Bài tập tự giải
1 Tìm tâm và bán kính của mỗi mặt cầu có phương trình sau :
a x2 + y2 + z2 + 8x – 2y – 4z – 4 = 0 b 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x + 6z – 3 = 0
2 Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau
a Có tâm I(1 ; -3; 4) và tiếp xúc với trục Ox.
b Đường kính PQ với P(2; - 1; 1), Q(6; 3; 3)
Trang 4c Có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm A(0; 1; 2), B(1; 0; -1).
d Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(2; 4; 0) và đi qua điểm B(3; 6; -1)
e Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)
d Đi qua ba điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
e Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; - 2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) Tìm tâm và bán kính.
Dạng 3 : Ứng dụng tích cĩ hướng
Tích cĩ hướng của a r = ( ; ; ) a a a1 2 3 và b r = ( ; ; ) b b b1 2 3 là :
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
r r
a br r, ⊥ ar ,a br r, ⊥ br
a r
,b r
,c r
đồng phẳng ⇔ a b c r r r , = 0
a r
,b r
,c r
khơng đồng phẳng ⇔
Diện tích tam giác : 1
2
ABC
S = uuur uuurAB AC
Thể tích tứ diệnV ABCD=
1
uuur uuur uuur
Thể tích khối hộp V ABCD.A’B’C’D’ =[ uuur uuur uuur AB AD AA , ] '
Bài 1 : Hãy cho biết bộ ba vectơ nào sau đây đồng phẳng
a
b
Bài 2 : Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(2; - 1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1), D(4; 1; 3) CMR 4 điểm này khơng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Bài 3 : Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 0; - 1), C(0; - 1; 2) Tính diện tam giác ABC, từ đĩ suy ra khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Bài 4 : Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(-2; 2; 4), B(- 2; 2; 0), C(- 5; 2; 0), D(- 2; 1; 1).
a CMR A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b Tính thể tích tứ diện ABCD.
c Tính diện tích tam giác BCD, từ đĩ tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài tập tự giải
1 Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; - 2).
Trang 5Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh Tuấn
a CMR A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức :
A = (2; 4.; -1) , OBuuur r= +i 4r rj k− , C = ( 2; 4; 3), OD 2uuur= +ri 2r rj k−
a Chứng minh rằng AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh B của tứ diện
Dạng 4 :Lập phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 cĩ véctơ pháp tuyến là nr =( ; ; )A B C
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận nr=( ; ; )A B C làm vectơ pháp tuyến cĩ phương
trình dạng: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0.
Nếu (P) cĩ cặp vectơ a r = ( ; ; ), b ( ; ; ) a a a1 2 3 r = b b b1 2 3 khơng cùng phương và cĩ giá song song hoặc
nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n r = a b r r ,
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) cĩ phương trình là :
1
a b+ + =c
Bài 1 : Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; - 2; 3), B(3; 4; 1)
ĐS : x + 2y – z – 3 = 0 Bài 2 : Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1; 0; 2), B(2; -1; 1), C(-1 ; 1; 2)
ĐS : x + 2y – z + 1 = 0 Bài 3 : Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A (-1 ; 0; 1), B(1; 2; 2) và song song với trục Oy
ĐS : x – 2z + 3 =0 Bài 4 : Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) Gọi I1, I2, I3 lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của I lên cac trục
Ox, Oy, Oz Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm I1, I2, I3.
ĐS : 6x + 3y + 2z – 6 = 0 Bài 5 : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (1 ; 0; 1), B(0; -1; 2) và vuơng gĩc với mặt phẳng
(Q) : x – 2y + z + 1 = 0
ĐS : x + 2y + 3z – 4 = 0 Bài 6 : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 3) cắt ba tia Ox, Oy, Oz của hệ trục tọa độ tại ba điểm cĩ khoảng cách từ đĩ đến ba gĩc tọa độ bằng nhau
ĐS : x + y + z 6 = 0
Trang 6Bài 7 : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua G(3; -1; 2) cắt ba trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC
x+ y + =z
−
Bài 8 : Viết phương trình mặt phẳng qua A(5; 2; -3 ) và song song với mặt phẳng (P) : 2x – y + 4z – 1 = 0
ĐS : 2x – y + 4z + 4 = 0
Bài tập tự giải
1 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3; - 2; - 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2)
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC
c Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song CD
d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
2 Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a Mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; - 3; 0), B(1; - 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
b Mặt phẳng đi qua hai điểm M(1; 2; 3), B(5; - 2; 1) và song song với trục Oy
c Mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0 ; 3)
d Vuông góc với AB với A(2; -2; 0), B(4; 2; - 2) và cách M(1; -1; 0) một khoảng bằng 3
e Mặt phẳng qua A(1; - 5; 3) , song song trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + 3z – 4 = 0
Dạng 5 : Các bài tốn liên quan đến khoảng cách
Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi cơng thức
0 0 0 0
2 2 2
Ax
d M
Bài 1 : Tìm điểm M trên Oz cách đều hai mặt phẳng :
(
ĐS : M(0; 0; -2) Bài 2 : Tìm các điểm trên trục Ox cách đều điểm A(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 1 = 0
Trang 7Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh Tuấn
ĐS : M(2; 0; 0) Bài 3 : Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : (P) : 3x – 4y + 5z – 1 = 0 và (Q) : 3x – 4y + 5z + 9 = 0
Bài 4 : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y – 2z + 1 = 0 và cách A(1; 0; 2) một khoảng là 6
ĐS : x + y – 2z + 9 = 0 và x + y – 2z – 3 = 0 Bài 5 : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : 2x + y – 2z + 3 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 6z – 2 = 0
ĐS : 2x + y – 2z – 21 = 0 Bài 6 : Cho 4 điểm A(-5; - 4; -8), B(2; 3; 4), C(6; 3; 7), D(4; 1; 2)
a Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Từ đĩ CMR ABCD là một tứ diện
b Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tứ diện
ĐS : 3x + 7y – 4z – 11 = 0 ; 22
74
Bài tập tự giải
1 Cho mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z – 17 = 0 và điểm A(2; 3; 4) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm A và mặt phẳng (α)
2 Cho mặt phẳng (α) : x - y + z +1 = 0 và (β) : x + y – z + 5 = 0 Tìm điểm M trên trục Oy cách đều điểm hai mặt phẳng (α) và (β)
3 Lập phương trình mMặt phẳng song song với Oz, vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
4 Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0
a Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp diện với (S) biết (P) song song mặt phẳng x + y – z + 2009 = 0
b Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp diện với (S) tại gốc tọa độ
Dạng 6 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
• (P) cắt (Q) ⇔
• (P) // (Q) ⇔
Trang 8• (P) ≡ (Q) ⇔
• Quy ước Đặc biệt
(α) ⊥ (α ’) ⇔ n n ur uur1. 2 = ⇔ 0 A A B B C C ' + ' + ' 0 =
Bài 1 : Định m và n để hai mặt phẳng sau song song : (P) : 2x + my + 3z + 1 = 0 ; (Q) : nx – 6y – 6z + 3 = 0
ĐS : m = 3, n = - 4 Bài 2 : Cho (α) : 4x + ay + 6z – 10 = 0 ; (β) : bx – 12y – 12z + 4 = 0 Xác định a, b để (α) // (β) rồi tính khoảng cách từ (α) đến (β)
ĐS : a = 6 , b = -8
Dạng 7 : Lập phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và cĩ vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )
a r = a a a :
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
Nếu a 1 , a 2 , a 3 đều khác khơng Phương trình đường thẳng∆ viết dưới dạng chính tắc như sau:
− = − = −
Bài 1 : Lập phương trình đường thẳng AB với A(1; - 2; 3), B(3; 4; 1)
Bài 2 : Lập phương trình đường thẳng qua A(3; 4; 1) và song song với đường thẳng
Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng qua A(3; 0; - 1) và vuơng gĩc với mặt phẳng (α) : x – y + 2z – 2 = 0
Bài 4 : Cho hai mặt phẳng (α) : x – y + 2z – 2 = 0 và (β) : x + y – z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng qua A(1; - 1; 3) và song song với cả hai mặt phẳng (α) và (β)
Trang 9Trường THPT Mỹ Hiệp Phan Thanh Tuấn
Bài 5 : Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 0; - 1) và vuơng gĩc với hai đường thẳng :
1
:
− và 2
1
z t
= −
=
=
x− = y− = z−
Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt d
và vuơng gĩc với d
Bài 7 : Cho điểm A(1; 0; 1), đường thẳng d :
2
1 2 2
z t
= −
= +
=
và mặt phẳng (P) : x – y + z – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt d và song song với (P)
2
x t y
=
=
= −
và mặt phửng (P) : 2x – y + z – 2 = 0
a Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
b Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt d và vuơng gĩc với d
Bài tập tự giải
1 Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau
a Qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 1)
b Qua A(3; 4; 1) và song song với đường thẳng
c Qua A(3; 0; -1) và vuông góc mặt phẳng (α) : x – y + 2z – 2 = 0
d Qua A(1; -1; 3) và song song với cả hai mặt phẳng (α) : x – y + 2z – 2 = 0, (β) : x + y – z + 2 = 0
e Qua A(2; 0; -1) và vuông góc với cả hai đường thẳng
f Qua A(1; 1; 2), cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d :