Tóm tắt dạng toán HHKG 11 HKII theo từng dạng rất hay

Như vậy, mọi đt đi qua A và vuông góc với a đều nằm trong mp này  Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với một mp cho trước  Mặt phẳng trung trực của đoạn t

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

Bài 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Vectơ trong không gian

Trong không gian, các khái niệm vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mp; Chúng cũng có các tính chất như trong mp Ngoài ra còn có quy tắc hình hộp

Với hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bất kì ta luôn có     

AB AD AA' AC'

Quy tắc hình hộp giúp ta tìm nhanh tổng của ba vectơ không đồng phẳng

2 Sự đồng phẳng của các vectơ

Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp

Lưu ý:

     

OA a OB b OC c với O bất kì thì , , a b c đồng phẳng khi bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng  

 Nếu một trong ba vectơ , ,  a b c là 0 thì , ,   a b c đồng phẳng

 Nếu hai trong ba vectơ , ,  a b c cùng phương thì , , a b c đồng phẳng  

3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Cho hai vectơ a, b  không cùng phương a, b,c   đồng phẳng  !m, n R : c ma nb   

Lưu ý:

 Nếu có ma+ nb+ pc 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ , ,   a b c đồng phẳng  

 Nếu , , a b c là ba vectơ không đồng phẳng và    ma+ nb+ pc 0 thì m = n = p = 0  

4 Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

Nếu ba vectơ a, b,c   không đồng phẳng thì mọi d bất kì luôn tồn tại duy nhất các số m, n, p sao cho

d = ma+ nb+ pc

II KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 I là trung điểm AB IA IB 0 OI 1OA OB , O

2

        

2 M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 MA kMB OM OA kOB, O

1 k





3 G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 OG 1OA OB OC , O

3

4 G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 OG 1OA OB OC OD , O

3

5 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng   !k R : AC kAB

6 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng  !x, y, z R; x y z 1: OD xOA yOB zOC, O       

7 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC, AD

  

đồng phẳng

8 Hai đường thẳng AB // CD   !k R : CD kAB

và A không thuộc CD

9 Đt AB // mp ( )  AB,a, b  

đồng phẳng với a, b  là hai vectơ không cùng phương nào đó của ( ) và A không nằm trên ( )

***********************************

Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O nào đó và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

Lưu ý:

 Ta thường lấy O thuộc một trong hai đường thẳng a và b

 Góc giữa hai đường thẳng nằm từ 0 0 đến 90 0

 Kí hiệu góc giữa hai đường thẳng là (a,b)

2 Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 Kí hiệu ab

Trang 1

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

Lưu ý:

 Nếu ab mà b // c thì ac

 Hình hộp thoi là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau

II KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 Tính góc giữa hai đường thẳng

Ta có thể tính góc giữa hai đường thẳng a và b bằng các cách sau

 Sử dụng định nghĩa: Lấy hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm, lần lượt song song (hoặc

trùng) với a và b Góc giữa a và b bằng góc giữa a’ và b’ Ta tính góc giữa a’ và b’ bằng cách sử dụng hệ

thức lượng trong tam giác (học ở lớp 10) …

 Sử dụng vectơ chỉ phương: Lần lượt chọn hai vectơ chỉ phương u , u 1 2 của a và b rồi tính góc

u , u1 2

 

 

Nếu  900 thì góc giữa a và b là  Nếu  900 thì góc giữa a và b là 180  0

 Lưu ý rằng với mọi , ta luôn có cos (a, b) cos

2 Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

 Chứng minh u u1 2 0

 

với u , u 1 2 lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b

 Ta lấy hai đường thẳng a’ và b’ cùng nằm trong một mp mà a // a’ hoặc a a ' và b // b’ hoặc b b ' Sau đó chứng minh a ' b ' bằng cách dùng định lí pytago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đường chéo hình thoi, hình vuông, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn …

*******************************************

Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Đường thẳng d gọi là vuông góc mp ( ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( ) Kí hiệu d ( )

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc mp

Nếu một đt vuông góc với hai đt cắt nhau cùng nằm trong một mp thì nó vuông góc với mp đó

Lưu ý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba

3 Các tính chất

 Có duy nhất một mp đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một đt a cho trước Như vậy, mọi đt đi qua A và vuông góc với a đều nằm trong mp này

 Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với một mp cho trước

 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một mp trung trực, đó là mp vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng

 Trục của tam giác là tập hợp tất cả các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác Mỗi tam giác có duy nhất một trục, đó là đường thẳng vuông góc với mp chứa tam giác và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

 MP nào vuông góc với một trong hai đt song

song thì cũng vuông góc với đt còn lại

a // b

(P) b (P) a





 

 Hai đt phân biệt cùng vuông góc với một mp

thì song song với nhau

a b

a // b (P) a,(P) b





 Đt nào vuông góc với một trong hai mp song

song thì cũng vuông góc mp còn lại

(P) //(Q)

a (Q)

a (P)





 Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (P) a,(Q) a

(P) //(Q) (P) (Q)





 Cho đt a và mp (P) song song với nhau Đt nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a

a //(P)

b a

b (P)





 Nếu đt a và mp(P) (không chứa a) cùng vuông góc với một đt thì chúng song song với nhau

a (P)

a //(P)

a b,(P) b





5 Định lí ba đường vuông góc (Quan trọng)

Cho mp(P), một đt a không vuông góc với (P) và đt b nằm trong (P) Khi đó b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

Trang 2

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

Lưu ý: Hình (H’) gọi là hình chiếu (vuông góc) của hình (H) trên mp(P) nếu (H’) là ảnh của (H) qua phép chiếu vuông góc lên (P), tức là phép chiếu song song lên (P) thep phương vuông góc với (P)

6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Nếu đt a vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) bằng 900

 Nếu đt a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) là góc giữa a và hình chiếu của nó trên (P)

Lưu ý: Góc giữa đt và mp không vượt quá 90 0

II KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P)

 Chứng minh đt a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c nằm trong (P)

 Chứng minh đt a song song với đt b mà đt b vuông góc với mp(P)

 Chứng minh a vuông góc với mp(Q) mà (Q) lại song song với (P)

 Chứng minh (P) chứa ba điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều hai điểm M, N, trong đó M, N thuộc a Khi

đó (P) là mp trung trực của đoạn MN nên (P)a

 Chứng minh a chứa hai điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều ba điểm A, B, C thuộc (P) Khi đó a là trục của tam giác ABC nên a(P)

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Ngoài các cách trong bài 2 ta còn có các cách sau (sử dụng đt vuông góc mp)

 Chứng minh đt này vuông góc với mp chứa đt kia

 Dùng định lí ba đường vuông góc

 Chứng minh đt này vuông góc với mp song song với đt kia

 Khi cần chứng minh hai đt a và b vuông góc, ta có thể chỉ ra trên đt a hai điểm M, N, trên đt b hai điểm A, B

mà AM = AN, BM = BN Khi đó A, B thuộc mp trung trực của đoạn MN nên AB MN hay a b

3 Xác định góc giữa đường thẳng a và mp (P)

 Nếu a // (P) thì góc giữa a và (P) bằng 00

 Nếu a(P) thì góc giữa a và (P) bằng 900

 Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác

định hình chiếu H của B trên (P) Góc giữa a và (P) bằng góc BAH (Nếu không thấy ngay giao điểm A, ta

có thể chọn đt b // a hoặc mp(Q) // (P) để đưa về trường hợp trên vì góc giữa b và (Q) cũng bằng góc giữa a

và (P))

*************************************

Bài 4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mp là góc giữa hai đt lần lượt vuông góc với hai mp đó

Lưu ý: Nếu hai mp song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0

2 Định lí về diện tích hình chiếu

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(Q) thì S' S.cos   trong đó  là góc giữa hai mp(P) và (Q)

3 Khái niệm hai mp vuông góc

Hai mp(P) và (Q) gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 Kí hiệu (P) (Q)

4 Các tính chất

 Nếu một mp chứa một đt vuông góc với một

mp khác thì hai mp đó vuông góc với nhau

a (P)

(P) (Q)

a (Q)



 Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

bất cứ đt a nào nằm trong (P) mà vuông góc

với giao tuyến của (P) và (Q) thì đều vuông

góc với (Q)

(P) (Q),(P) (Q) c

a (Q)

a (P),a c



 Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau và

A là một điểm nằm trong (P) thì đt a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) (P) (Q),a (P)

a (P)

a (Q), A a



 Nếu hai mp cắt nhau và cùng vuông góc với

mp thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mp thứ ba

(P) (Q) c

c (R) (P) (R),(Q) (R),



 Qua đt a không vuông góc với mp(P), có duy nhất một mp(Q) vuông góc với mp(P)

Trang 3

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

5 Lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

 Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy Như vậy, các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật, chúng vuông góc với mặt đáy

 Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Như vậy, các mặt bên của lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau

 Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành Như vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật, hai mặt đáy có thể chỉ là hình bình hành

 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật Như vậy, cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật Độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

 Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh đều bằng nhau Như vậy, hình lập phương có sáu mặt đều là hình vuông

Lưu ý: Vì phép chiếu song song không bảo toàn góc và tỉ số của hai đoạn thẳng không song song nên hình biểu diễn của hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương là như nhau Khi giải toán, ta cố gắng chọn cách biểu diễn nào để dễ hình dung, dễ tìm tòi lời giải và không gây nhầm lẫn

6 Hình chóp đều, hình chóp cụt đều

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Như vậy:

 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy

 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt được tạo thành khi cắt một hình chóp đều bởi một mp song song với đáy

Như vậy, trong hình chóp cụt đều, các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau, hai mặt đáy là hai đa giác đều đồng dạng với nhau, đường cao (đoạn nối tâm của hai đáy) vuông góc với hai đáy

II KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 Lấy a(P), b (Q) rồi tính (a, b)

 Giả sử c (P) (Q)  Lấy mp ( ) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a, b Khi đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc (a, b)

Trong nhiều bài toán thường sẵn có đt AB (A (P),B (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c 

tại H Lúc này mp(α) chính là mp(ABH) và a, b lần lượt là AH, BH

 Sử dụng định lí hình chiếu: Giả sử đa giác (H) nằm trong mp(P), có hình chiếu trên mp(Q) là đa giác (H’).

Khi đó  S'

cos =

S với  là góc giữa (P) và (Q), S’ là diện tích của (H’), S là diện tích của (H)

2 Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

 Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 900

 Chứng minh trong (P) chứa đt a lần lượt vuông góc với hai đt cắt nhau nằm trong (Q)

3 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

 Lấy mp(Q) chứa a mà (Q) (P),(Q) (P) c   rồi chứng minh a vuông góc với c

 Chứng minh a là giao tuyến của hai mp cắt nhau cùng vuông góc với (P)

4 Dựng mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng a cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước

Từ một điểm trên a, dựng đt b vuông góc với (P) Mặt phẳng (a,b) chính là mp(Q) cần dựng

**********************************

Bài 5 KHOẢNG CÁCH

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của M trên  Kí hiệu d(M, )

Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì

thuộc  Nếu M   d(M, ) 0 

2.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trang 4

H

M

a

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang Khoảng cách từ điểm M đến mp(P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên (P) Kí hiệu d(M,(P))

Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc mp(P) Nếu

M (P)  d(M,(P)) 0

3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó

Khoảng cách giữa đt a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì

của a đến mp(P) Kí hiệu d(a,(P))

d(a,(P)) d(A,(P)), A a 

Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của a và

một điểm bất kì của (P)

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì

của mp này đến mp kia Kí hiệu d((P),(Q))

d((P),(Q)) d(A,(Q)) d(K,(P)), A (P), K (Q)   

Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của (P) và

một điểm bất kì của (Q)

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Với hai đt chéo nhau a và b, luôn tồn tại duy nhất một đt c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b Đt c

như thế gọi là đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau a và b Nếu gọi I và J lần lượt là giao điểm của c với a

và b thì đoạn IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung

của hai đt đó Kí hiệu d(a,b)

Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt

nằm trên a và b

Lưu ý:

 Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai

đt đó và mp song song với nó chứa đt còn lại

 Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mp song

song lần lượt chứa hai đt đó

 IJ = d(a,b)= d(a,(Q))= d(b,(P))= d((P),(Q))

II KĨ NĂNG CƠ BẢN

Khi gặp bài toán tính khoảng cách, ta phải nắm chắc các định nghĩa về khoảng cách và sử dụng chính những định nghĩa đó để xác định các đoạn thẳng mà ta cần tính độ dài rồi từ đó có khoảng cách Đối với bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mp, ta cần có kĩ năng dựng một đt đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước

1 Dựng một đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước

Bước 1 Dựng một mp(Q) đi qua A và vuông góc với (P) (cụ thể: chọn một đt d trong (P) rồi dựng mp(Q) đi qua A

và vuông góc với d)

Bước 2 Gọi c là giao tuyến của hai mp (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đt qua A vuông góc với c tại H Khi đó, AH chính

là đường thẳng cần dựng

Lưu ý

 Thường trong những bài toán đơn giản, đã có sẵn đt d và mp(Q)

 Nếu đã có sẵn đt b vuông góc với (P), ta chỉ cần dựng đt a qua A và song song với b

 Kĩ năng dựng đt đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước được sử dụng rất nhiều trong các bài toán xác định khoảng cách, xác định góc giữa đt và mp, …

2 Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

Trang 5

a

b Q

P

I

J

H

K

a

b

P

Q

H

K a

b

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang Khi dựng đoạn vuông góc chung của hai đt chéo nhau a và b, ta cần xác định xem a và b có vuông góc với nhau hay không; nếu chúng vuông góc ta sử dụng phương pháp 1, nếu không vuông góc, ta sử dụng phương pháp 2

Phương pháp 1 (Áp dụng cho trường hợp a vuông góc b)

 Dựng mp(P) chứa b và vuông góc với a tại A

 Dựng AB vuông góc với b tại B

 Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b

Phương pháp 2 (Áp dụng cho a, b bất kì)

 Dựng mp(P) chứa b song song với a

 Chọn điểm M trên a, dựng MH vuông góc với (P) tại H

 Dựng đt a’ qua H và song song với a, cắt b tại B

 Qua B dựng đt song song với MH cắt a tại A

 Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b

3 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đt và mp song song, khoảng cách giữa hai mp song song và khoảng cách giữa hai đt chéo nhau

Các bài toán tính khoảng cách giữa một đt và một mp song song,khoảng cách giữa hai mp song song cuối cùng cũng quy về khoảng cách từ một điểm đến một mp Vì thế, ta cần nắm vững kĩ năng dựng đt đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đt chéo nhau thường dẫn ta đến bài toán xác định đoạn vuông góc chung của hai đt chéo nhau Vì thế, ta cần nắm vững kĩ năng dựng đường vuông góc chung Đôi khi bài toán trở nên dễ dàng hơn nếu ta lưu ý các tính chất:

 Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đt đó và mp song song với nó chứa đt còn lại (lúc này, ta làm như phương pháp 2 trong kĩ năng dựng đoạn vuông góc chung của hai đt chéo nhau nhưng dừng lại khi đã dựng được MH, độ dài MH chính là khoảng cách cần tìm)

 Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần lượt chứa hai đt đó (thường thì hai mp này đã có sẵn)

Trang 6

M

B

A

H

a

a' b