Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các cơng thức LG để đưa phương
Trang 1Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
Công thức lượng giác cơ bản
sin2α + cos2 α = 1
1 + tan2α =
α 2 cos
1
Z k
+
≠ ,
π α
1 + cot2α =
α 2
sin
1
Z k
≠ π,
α
tanα cotα = 1 ≠k , k∈Z
2
π α
Cung đối nhau
cos(-α ) = cosα sin(-α ) = -sinα tan(-α ) = -tanα cot(-α ) = -α
Cung bù nhau
sin(π−α)= sinα cos(π−α)= -cosα tan(π−α)= -tanα cot(π−α)= -cotα
Cung hơn kém π
sin(π+α)= - sinα cos(π +α)= -cosα tan(π +α)= tanα cot(π +α)= cotα
Cung phụ nhau
2
(π −α = cosα cos )
2 (π −α = sinα
2
(π −α = cotα cot )
2 (π −α = tanα
Công thức cộng
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) = 1tan+tana atantanb b
−
tan(a + b) = 1tan−tana atantanb b
+
Công thức nhân đôi
Công thức nhân ba
3
3 3 2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan tan 3 =
1 3tan
a
a
=
−
−
Công thức hạ bậc
cos2a =
2
2 cos
sin2a =
2
2 cos
tan2a =
a
a
2 cos 1
2 cos 1 +
−
Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = 1 [ cos( ) cos( ) ]
Trang 2sina sinb = -1 [ cos( ) cos( ) ]
sina cosb = 1 [ sin( ) sin( ) ]
2 a b + + a b −
Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
v
u+ cos 2
v
u−
cosu - cosv = -2sin
2
v
u+ sin 2
v
u−
sinu + sinv = 2sin
2
v
u+ cos 2
v
u−
sinu - sinv = 2cosu2+v sinu2−v
cơng thức tính sina , cosa , tana theo tan
2
a
t = 2
Phương trình lượng giác
Phương trình LG cơ bản
* sinu=sinv 2
2
u v k
u v k
π
= +
* tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( k ∈ Z ) .
Đặc biệt
+ sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z
+ sinx = 1 ⇔ x = π 2π
2+k , k ∈Z + sinx = -1 ⇔ x = - π 2π
2+k , k ∈Z + cosx = 0 ⇔ x = π +kπ
2 , k ∈Z + cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈Z
+ cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1)π , k ∈Z
Một số phương trình LG thường gặp
1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương
trình này ta đặt t bằng hàm số LG
2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là a2+ ≥ b2 c2.
C
ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt b tan
a = α , ta được: sinx+tan α cosx= cos c
a α
⇔ sinx cos α +sin α cosx= cos c
a α ⇔ sin(x+ α )= cos c
a α đặt= sin ϕ C
ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2+ b2 , ta được:
2a 2 sin x 2b 2 cos x 2c 2
a b + a b = a b
Trang 3Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin
a b = β a b = β
+ + Khi đĩ phương trình tương đương:
2 2
cos sin x sin cos x c
a b
+ hay sin ( x ) 2c 2 sin
a b
+
đặt
.
Cách 3: Đặt tan
2
x
t =
3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x = + π k π
.
+ Giả sử cosx ≠ 0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=d(1+tan2x).
Chú ý: 12 tan2 1
2
Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc
asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
⇔ a
2
2 cos
+ b
2
2
sin x
+ c
2
2 cos
= d
⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx Điều kiện | t | ≤ 2 Ta cĩ sinx.cosx =
2
1 2
t −
Đặt t= sinx-cosx Điều kiện | t | ≤ 2 Ta cĩ sinx.cosx =
2
1 2
t
−
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình sinx = a (1)
• Nếu a >1 thì phương trình (1) vơ nghiệm
• Nếu a ≤1: gọi α là cung thoả mãn sinα = a Khi đĩ
sinx = a ⇔sinx = sinα ⇔ ( )
2
2
Z k k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π α π
π α
Nếu α thoả mãn điều kiện
-2
π ≤ α ≤
2
π và sinα = a thì ta viết α = arcsina Khi đĩ nghiệm của phương trình (1) là
( )
2 arcsin
2 arcsin
Z k k a x
k a x
∈
+
−
=
+
=
π π
π
Phương trình sinx = sinβ0 ( )
360 180
360
0 0
0
0 0
Z k k
x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
β β
Trang 4Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2 Phương trình cosx = a (2)
• Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm
• Nếu a ≤1: gọi α là cung thoả mãn cosα = a Khi đó
cosx = a ⇔cosx = cosα ⇔ ( )
2
2
Z k k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π α
π α
Nếu α thoả mãn điều kiện 0≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa Khi đó nghiệm của phương trình (2) là
( )
2 cos
2 cos
Z k k a arc x
k a arc x
∈
+
−
=
+
=
π π
Phương trình cosx = cosβ0 ( )
360
360
0 0
0 0
Z k k
x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
β β
Điều kiện x≠ +k , k∈Z
π
Gọi α là cung thoả mãn tanα = a Khi đó
tanx = a ⇔ tan x = tan α ⇔x=α+kπ, (k∈Z) Nếu α thoả mãn điều kiện
-2
π<α <
2
π và tanα = a thì ta viết α = arctana Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:
x = arctana + kπ, (k∈Z) Phương trình tanx = tanβ0 0 1800 ( )
Z k k
Điều kiện x≠kπ, k∈Z
Gọi α là cung thoả mãn cotα = a Khi đó
cotx = a ⇔ cot x = cot α ⇔x=α+kπ, (k∈Z) Nếu α thoả mãn điều kiện 0<α <π và cotα = a thì ta viết
α = arccota Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:
x = arccota + kπ , (k∈Z) Phương trình cotx = cotβ0 ⇔x=β0+k1800 (k∈Z)
Phương trình LG cơ bản
* sinu=sinv u v k u v k 2 π 2
= +
* tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( k ∈ Z ) .
B Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a sinx =
2
3 b sin2x =
4
1
c cos(2x +
4
π)=
2
1
−
d tan(x – 600) =
3
1
e cot(x -
3
π)= 5 f cos(x -750) = -1
*g tan3x = tanx *h tan5x – cotx = 0
Giải
a sinx =
2
3
3 sin sin = π
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
π
π π
π π
2 3
2 3
k Z
k x
k x
∈
+
=
+
=
⇔
π π
π π
2 3 2 2 3
Trang 5Vậy nghiệm của phương trình sinx =
2
3
k x
k x
∈
+
=
+
=
π π
π π
2 3 2
2 3
b sin2x =
4
1
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
π π
π
2 4
1 arcsin 2
2 4
1 arcsin 2
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
π π
π
4
1 arcsin 2
1 2
4
1 arcsin 2 1
Vậy nghiệm của PT sin2x =
4
1
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π
4
1 arcsin 2
1 2
4
1 arcsin 2 1
c cos(2x +
4
π
)=
2
1
− ⇔ cos(2x +
4
π
)= cos
3
2π
k Z
k x
k x
∈
+
−
= +
+
=
+
⇔
π π π
π π π
2 3
2 4 2
2 3
2 4 2
k Z
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
⇔
π π
π π
24 11 24 5
Vậy nghiệm của Pt cos(2x +
4
π
)=
2
1
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π π
24 11 24 5
d tan(x – 600) =
3
30 tan ) 60 tan( − =
⇔ x
⇔x−600 =300 +k1800 k∈Z
⇔x=900+k1800 k∈Z
Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) =
3
1 là: x=900+k1800 k∈Z
e cot(x -
3
π)= 5 ⇔x−π =arccot5+kπ k∈Z
3 ⇔ x=π +arccot5+kπ k∈Z
3 Vậy nghiệm của Pt cot(x -
3
π)= 5 là: x=π +arccot5+kπ k∈Z
3
f cot(x -750) = -1 ⇔x−750 =−450+k1800 k∈Z
⇔x=300+k1800 k∈Z
Vậy nghiệm của Pt cot(x -750) = -1 là: x=300+k1800 k∈Z
g tan3x = tanx
Trang 6Điều kiện k Z
k x
k
x
∈
+
≠
+
≠ π π
π π
2
2
3
k x
k
x
∈
+
≠
+
≠ π π
π π
2
3 6
Ta có
tan3x = tanx ⇔3x = x +lπ ⇔x = l ( )
2 l∈Z
π
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x = mπ (m∈ Z)
h tan5x – cotx = 0
Điều kiện 5 2 ( k Z )
k x
k x
∈
≠
+≠
π
π
π
⇔ 10 5 ( k Z )
k x
k x
∈
≠
+
≠ π
π π
Ta có
tan5x = cotx ⇔tan5x = tan( )
2 −x
π ⇔ 5x = −x
2
π + lπ (l∈Z)
⇔x =
12
π + l
6
π
(l∈Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x = 12
π + l
6
π (l∈Z)
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a cos(3x -
6
π)= -
2
2 b cos(x -2) =
5
2
c cos(2x + 500) =
2 1
d (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e tan2x = tan
6
5π
f tan(3x -300) = -
3 3
g cot(4x
-6
π)=
3 h sin(3x- 450) =
2
1
i sin(2x +100)= sinx
k (cot
3
x
-1)(cot
2
x
+1)= 0 l cos2x.cotx = 0 m cot(
5 3
2x +π
)= -1
n sin(2x -150) = -
2
2 p sin4x =
3
π
q cos(x + 3) =
3 2
r cos2x cot(x -
4
π)= 0 s cos3x =
4
π t tan(
8 tan ) 4 2
π
π =
−
x
u cos3x – sin2x = 0 v sin3x + sin5x = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 0
d 2sinx + 2sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1 f sin3x + sin5x = 0
g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0
*i tan(x -
5
π) + cotx = 0 *j tan5x = tan3x
VD1: Giải các phương trình sau:
a 2sinx – 2= 0 b 2tanx – 5 = 0
c ( 3cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d 2sin2x – sin2x = 0
Giải
Trang 7a 2sinx – 2= 0 ⇔ 2sinx = 2 ⇔sinx =
2
2 ⇔sinx = sin
4 π
2 4
2
k x
k
x
∈
+
−
=
+
=
π π
π
π
π
2 4 3
2
k x
k x
∈
+
=
+
=
π π
π π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
2 4 3
2
k x
k x
∈
+
=
+
=
π π
π π
b 2tanx – 5 = 0 ⇔2tanx = 5 ⇔tanx =
2
5
⇔x = arctan
2
5 + kπ (k∈Z) Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan
2
5 + kπ (k∈Z)
c ( 3cotx – 3)(2cosx –1) = 0 ⇔
=
−
=
−
) 2 ( 0 1 cos 2
) 1 ( 0 3 cot 3
x x
(1) ⇔ 3cotx = 3 ⇔cotx = 3 ⇔cotx = cot
6
π ⇔ x =
6
π
+ kπ (k∈Z) (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔cosx =
2
1 ⇔cosx = cos
3
π
2 3
2
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
2 3
2 3
6
Z k k
x
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
+
=
π π
π π
π π
d 2sin2x – sin2x = 0
⇔2sin2x – 2sinx.cosx = 0 ⇔2sinx(sinx – cosx) = 0
⇔
=
−
=
0 cos
sin
0
sin
x x
x
⇔
=
=
x x
k x
cos sin
π
⇔
−
=
=
) 2 sin(
k
x
π
π
2 2
Z k k x x
k x
∈
+
−
=
=
π π
π
4
Z k k
x
k
x
∈
+
=
=
π π
π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
4
Z k k x
k x
∈
+
=
=
π π π
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + 3= 0 c 1 - 3tan(5x + 200) =0
d 2cos3x + 1 = 0 e sin(3x + 1)=
4
π
f cos(x +
5
2π
)=
3
π
g (2cosx + 2)(tan(x +100) - 3) = 0 h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i 8sinx.cosx.cos2x = 3 j sin2x +2cox = 0 k tan(x +1) – 2008=0
Trang 8l 3tan2x + 3tanx = 0 m 4sin2x – sin22x = 0 n 3- 2sin3x = 0
p cot(x +
4
π) = 1 q cos2(x – 300) =
4
3
r 8cos3x – 1 = 0
Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:
a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x +
4
π
2 cos 1
2 sin
= + x x
VD2: Giải các phương trình sau:
a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0
c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Giải
a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1≤ t ≤1) thay vào phương trình ta được:
2t2 – 5t -3 = 0
−
=
=
⇔
) ( 2 1
) ( 3
nhân t
loai t
Với t = -
2
1
ta được
sinx = -
2
1
⇔ sinx =
sin(-6
π
2 6 7
2
k x
k x
∈
+
=
+
−
=
π π
π π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
2 6 7
2
k x
k x
∈
+
=
+
−
=
π π
π π
b cot22x – 4cot2x -3 = 0
⇔
=
=
3 2 cot
1 2 cot
x
x
3 cot 2
1 cot 2
Z k k arc
x
k arc
x
∈
+
=
+
=
π π
2 3 cot 2
1
2 1 cot 2
1
Z k k arc
x
k arc
x
∈
+
=
+
=
π π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
2 3 cot 2
1
2 1 cot 2
1
Z k k arc
x
k arc
x
∈
+
=
+
=
π π
c 2cos2x +3sinx - 3 = 0
⇔2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
⇔2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0
⇔2sin2x – 3sinx + 1 = 0
⇔
=
= 2
1 sin
1 sin
x x
Với sinx = 1 ⇔x = 2 ( )
2+k π k∈Z
π
Với sinx =
2
1 ⇔ sinx = sin
6
2 6 5
2
k x
k x
∈
+
=
+
=
π π π π
Trang 9Vậy nghiệm của pt là: ( )
2 2
2 6 5
2 6
Z k k x
k x
k x
∈
+
=
+
=
+
=
π π
π π
π π
d tan4x + 4tan2x - 5 = 0
⇔
−
=
=
) ( 5 tan
1 tan
2
2
loai x
x
x=±π + π ∈
Vậy nghiệm của pt là: ( )
x=±π + π ∈
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c cot2x – 4cotx + 3 = 0 d tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0
e 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f tan4x – 4tan2x + 3 = 0
g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + 5 = 0
i sin22x – 2cos2x +
4
3 = 0 j 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0
VD3: Giải các phương trình sau:
a 3sinx + cosx = 2 b cos3x – sin3x = 1
c 3sin2x + 4cos2x = 5 d 2sinx – cosx = 3
Giải
a 3sinx + cosx = 2
Chia hai vế pt trên cho 32+ 1 2 = 2 ta được
2
3
sinx + 2
1 cosx = 1
⇔cos
6
π
.sinx + sin
6
π
.cosx = 1 ⇔ sin(x +
6
π) = 1
⇔ x +
6
π
= 2
π
+ k2π
⇔ x =
3
π+ k2π Vậy ngiệm của phương trình trên là: x =
3
π
+ k2π
b cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho 1 2 + ( − 1 ) 2 = 2 ta được
2
1
cos3x -
2
1 sin3x =
2 1
⇔cos
4
π
cos3x - sin
4
π
sin3x =
2 1
⇔cos(3x +
4
π
) = 2 1
⇔cos(3x +
4
π
) = cos
4
π
⇔
+
−
= +
+
= +
π π π
π π π
2 4 4 3
2 4 4 3
k x
k x
Trang 10⇔ ( )
3
2 6
3
2
Z k k x
k x
∈
+
−
=
=
π π
π
Vậy ngiệm của phương trình trên là: ( )
3
2 6 3
2
Z k k x
k x
∈
+
−
=
=
π π
π
c 3sin2x + 4cos2x = 5
Chia hai vế pt cho 2 2
4
3 + = 5 ta được
5
3
sin2x +
5
4 cos2x = 1
Kí hiệu α là cung mà sinα =
5
4 , cosα =
5
3
ta được sin2x cosα + sinα cos2x = 1
⇔ sin(2x + α ) = 1
⇔ 2x + α =
2
π+ k2π
⇔ x =
4
π
- 2
α+ kπ Vậy ngiệm của phương trình trên là: x =
4
π -
2
α+ kπ (với sinα =
5
4 , cosα =
5
3 )
d 2sinx – cosx = 3
Ta có 22 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a sinx + 3cosx = 2 b 2sinx – 5cosx = 5
c 2cosx – sinx = 2 d sin5x + cos5x = -1
e 3sinx – 4cosx = 1 f 2sin2x + 3sin2x = 3
g sin5x + cos5x = 2cos13x h sinx = 2sin3x – cosx
VD4: Giải các phương trình sau:
a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Giải
a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình Với cosx ≠
0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được:
2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x
⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0
−
=
=
5 tan
1 tan
x
x
) 5 arctan(
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
) 5 arctan(
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π
b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta được
4
2
2 cos
+ 3
2
2
sin x
–
2
2 cos
= 3
⇔ sin2x + cos2x = 1
⇔ 2sin(2x +
4
π) = 1 ⇔ sin(2x +
4
π) =
2 1
Trang 11⇔ sin(2x +
4
π
) = sin 4
2 4
3 4 2
2 4 4
2
Z k k x
k x
∈
+
= +
+
= +
π π π
π π π
4
Z k k
x
k
x
∈
+
=
=
π π
π
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
4
Z k k x
k x
∈
+
=
=
π π π
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0
g 3sinx.cosx – sin2x =
2
1
2− i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a cos3x – cos4x + cos5x = 0 b sin7x – sin3x = cos5x
c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x
e 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f sin2x – cos2x = cos4x
g 2tanx + 3cotx = 4 h cosx.tan3x = sin5x
i 2sin2x + (3 + 3)sinx cosx + ( 3- 1)cos2x = -1
j tanx.tan5x = 1
1 Phương trình đưa về phương trình tích:
Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0
Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0
⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0
⇒ (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0
⇒
2
3 3
3 3 tan 2 3
3
x
x
= −
= +
(k ∈ )
⇒
2
9 3
6 2
= +
= +
(k ∈ )
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2
9 k 3
π + π
và x =
6 k 2
π + π
, k ∈
Bài 2: Giải phương trình: 1 tan 2 sin
1 cot
x
x x
+