cac bai toan tong hop ve ham so

Tìm những điểm thuộc đồ thị C có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.. - Xác định toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với c

Bài tập về khảo sát hàm số

và các dạng toán có liên quan đến hàm số

Bài 1.Từ đồ thị hàm số y= f(x)=

1

2

2







x

x x

suy ra đồ thị hàm số y= g(x)=

1

2

2







x

x x

HD: -Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= f(x)

-Chứng minh hàm số y= g(x) là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy

-Vẽ đồ thị hàm số y=g(x) nh sau:

+ với x 0 thì g(x) = f(x)

+ với x<0 ta lấy đối xứng qua trục 0y

Bài 2 Từ đồ thị hàm số y=f(x)=

2

3 3

2







x

x x

suy ra đồ thị hàm số y=g(x)= 32 3

2







x x x

HD: -Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)

-Ta có: g(x)= ( ) ( ) 0

( )

f x khi f x

f x

f x khi f x









( Khi f(x)  0 ứng với phần nằm trên trục hoành, khi f(x) 0 ứng với phần nằm bên dới trục hoành)

Bài 3 Từ đồ thị hàm số y=f(x)=

2

3 2

2







x

x

x suy ra đồ thị hàm số y=g(x)=

2

3 2

2







x

x x

HD: Ta có g(x)=









 2 )

(

2 )

(

x khi x f

x khi x f

Bài 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=

) 1 ( 2

3 4

2 2







x

x x

2 Tìm m để phơng trình 2x2-4x-3+2m x 1=0 có hai nghiệm phân biệt

HD : - Biến đổi phơng trình về dạng 2 2 41 3

2







x

x x

=m

-Vẽ đồ thị hàm số y=

1 2

3 4

2 2







x

x x

từ đồ thị hàm số y=

) 1 ( 2

3 4

2 2







x

x x

- Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=2 2 41 3

2







x

x x

và đờng thẳng y=m

Bài 5 Cho hàm số y = - x3 +3x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàn số (1)

2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = - 9x

ĐS: y = -9x 16

Bài 6 Cho hàm số y=

x

mx x



 1

2 (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiêủ Với giá trị nào của m thì khoảng các giữa hai

điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10

HD: - Tính y’ suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

- Dùng ĐL Viet tìm quan hệ về toạ độ của các điểm cực trị và cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị chúng bằng 10 Từ đó suy ra m

Bài 7 (ĐH-CĐ khối A năm 2004) Cho hàm số y=

) 1 ( 2

3 3

2









x

x x

(1)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Tìm m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1

HD: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm là :

) 1 ( 2

3 3

2









x

x x

=m

- Tìm điều kiện của m để có hai hoành độ giao điểm

- Dùng ĐL Viet để tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo m, từ đó suy ra m

Bài 8

1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số y=x+1+

1

1



x (C)

2 Tìm những điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

HD: - Đặt toạ độ điểm thuộc (C) là M(a;

1

2



a

a

) với a>1 Lập phơng trình tiếp tuyến tại M

- Xác định toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các đờng tiệm cận

- Tính chu vi tam giác , từ đó suy ra giá trị của a để chu vi tam giác nhỏ nhất

Bài 9 Cho hàm số y=mx3-3mx2+(2m+1)x+3-m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=4

2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng nối cực đại

và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định

HD: - Tính y’, từ đó suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

-Toạ độ cực trị thoả mãn hệ:













 0 '

3 ) 1 2 (

3

y

m m

mx mx

y

Từ hệ ta phân tích y theo y’ suy ra phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị

-Tìm điểm cố định mà đờng thẳng đi qua

Bài 10 Tìm m để đờng thẳng y=mx-1 (d) cắt đồ thị y=

1

1

2







x

x x

(C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

HD: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm

- Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1.(hàm số có tiệm cận đứng x=-1 nên một nhánh đồ thị có x>-1, nhánh kia có x<-1)

Bài 11 Cho hàm số y=

1

1

2







x

x x

(C)

1 Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm M cắt hai đờng tiệm cận của

đờng cong tại hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2 Gọi I là tâm đối xứng của đờng cong (C) Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi khi điểm M di động trên đờng cong (C) Có nhận xét gì về tích IA.IB ?

3 Tìm trên đờng cong (C) các cặp điểm đối xứng với nhau qua đờng thẳng y= x-1

HD:- Do M thuộc (C) nên có toạ độ dạng M(a; a+2+

1

1



a ) Lập phơng trình tiếp tuyến tại tiếp

điểm M, xác định toạ độ giao điểm với các tiệm cận Từ đó kiểm tra điều kiện M là trung điểm của AB

-Tính diện tích của tam giác từ công thức S=

2

1

ha Từ công thức S=

2

1 absinC suy ra tích IA.IB

- Gọi cặp điểm đối xứng là M1 và M2Khi đó phơng trình đờng thẳng qua M1M2 có dạng y= -x +m Lập phơng trình hoành độ giao điểm Sử dụng ĐL Viet tìm toạ độ trung điểm của hai giao

điểm.Thay toạ độ trung điểm vào đờng thẳng y = x-1 tìm m Thử lại kết quả với m tìm đợc

Bài 12 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =

2

x



1 Chứng minh rằng có một điểm I cố định là tâm đối xứng của đồ thị (Cm) với mọi m

2 Tìm giá trị m sao cho đồ thị (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = m

HD:1 - Xác định các đờng tiệm cận

- Tìm giao điểm của hai đờng tiệm cận

2 - Lập hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm

- Tìm điều kiện của m để hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm có nghiệm

ĐS: 1 I(2; 1)

2 m = 3

Bài 13 Cho hàm số y = 4x3 - mx2 - 3x

1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0

b) Phơng trình 4 x3 3x  1 x2 có bao nhiêu nghiệm

2 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số luôn thuộc một đờng cong cố định khi m thay đổi

HD: 1.b) - Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = 4 x3 3x

và đồ thị hàm số y = 1 x 2

- Đồ thị hàm số y = 4 x3 3x suy ra từ đồ thị (C)

- Đồ thị 2 2 0 2

1

1

y

x y







là nửa đờng tròn đơn vị

ĐS: 1b) 2

2 y = -2x3 - 3

2x

Bài 14 Cho hàm số y = x3 - 3kx2 + (k - 1) x + 2 (Ck)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1

2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình : x2 - 2x - 2 =

1

m

x 

HD: 1 Khi k = 1 vẽ đồ thị (C1) : y = x3 - 3x2 + 2

2 - Phơng trình x2 - 2x - 2 =

1

m

x 

- Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y =f(x) =

3





và đờng thẳng y = m

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) từ đồ thị (C1)

Bài 15 Cho hàm số y =

2

1

x



1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

2 Tìm m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại A, B sao cho AB = 2

HD: 2 - Lập phơng trình hoành độ giao điểm

- Tìm điều kiện để có hai giao điểm

- Xác dịnh toạ độ hai giao điểm A, B (Sử dụng ĐL Viet)

- Từ AB = 2 suy ra m

ĐS: m = 1  2

Bài 16 (ĐH- CĐ Khối A- 2008) Cho hàm số y =

3

 (1) , m là tham số

1 Khảo sát và vẽ dồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để góc giữa hai đờng tiệm cận của hàm số (1) bằng 450

HD: 2 - Biến đổi hàm số về y = mx - 2+ 6 2

3

m





- Tìm điều kiện để hàm số có hai đờng tiệm cận

- Tìm giới hạn suy ra tiệm cận

- Dùng công thức tính cosin góc giữa hai đờng tiệm cận suy ra m

ĐS: m =  1

Bài 17 (ĐH-CĐ Khối B-2003) Cho hàm số y = x3 -3x2 +m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

HD: 2 - Hàm số (1) có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ tồn tại x0 0 sao cho

y(-x0) = -y(x0)

- Từ y(- x0) = - y(x0) suy ra 3x0 = m

ĐS: m> 0

Bài 18 Cho hàm số y = 2 1

1

x x



 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Gọi I là giao điểm haiđờng tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng IM

HD: 2 - Tìm toạ độ I

- Đặt toạ độ M( x0; y0) suy ra hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y'(x0)

- Tìm hệ số góc của đờng thẳng IM là k' = 0

0

I I

y y

x x





- Từ điều kiện k k' = - 1 suy ra toạ độ M

ĐS: M( 0; 1), M(2; 3)

Bài 19

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

x x



2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

x x



=

m m



ĐS: 2 * 0<m ≠1 hoặc -1 ≠ m< 0 : Pt có 2 nghiệm

* m = 0 : Pt vô nghiệm

* m = 1: Pt có một nghiệm± 1: Pt có một nghiệm

Bài 20 Cho hàm số y =

1

x x



 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị trên có toạ độ là những số nguyên

ĐS: 2 (0; 3) (-2; -7),(1; 2), ( -3;- 6), (3; 3), (- 5; -7)

Bài 21 Cho hàm số y =

1

x

 (1)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m \= -1

2 Tìm m để đờnh thẳng (d): y = -x - 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng :y = x

HD: 2 - Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (1)

- Tìm đk để có hai nghiệm Dùng ĐL Viet tìm liên hệ giữa toạ độ các giao điểm

- Để hai giao điểm đối xứng nhau qua  thì trung điểm của hai giao điểm nằm trên 

ĐS: 2 m = 1