D01 các bài toán tổng hợp về hàm số muc do 3

Mệnh đề nào sau đây đúng?. Đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm sốA. Khẳng định nào sau đây đúng.. Mệnh đề nào trong 4 mệnh đề sau đây là đúng?.?. Biết rằng hình phẳng giới hạ

Câu 15: [2D1-9.1-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) A và B là hai điểm thuộc hai

nhánh khác nhau của đồ thị hàm số

2

x y x



 Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

Lời giải Chọn C

Lấy ;

2

a

A a a

b

B b b

  thuộc hai nhánh của  C (a 2 b)

;

;

2 2

b

b a

Ta có:  2 2   2

4

b a

2 2

2

2 4

2 2

b a



2

2

64

b a

b a

 2 6416 AB4 Dấu bằng xảy ra khi a 2 2, b 2 2

Vậy ABmin 4

Câu 32: [2D1-9.1-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hàm số

   1 1 2 1

2

n

n

       

    , với

*

n Giá trị f 0 bằng?

n

Lời giải Chọn C

Xét với x0

Ta có    1 1 2 1

2

n

n

       

    ln   ln  1 1 2 1

2

n

n

2

n

n

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

 

  11 11 11

2

f x

f x x

n



n

Vậy f 0 n

Câu 14: [2D1-9.1-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x  xác đị nh và

liên tục trên ;0 và 0;  có bảng biến thiên như hình bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A f   3 f  2

B Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

C Đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

D Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2

Lời giải Chọn A

Theo bảng biến thiên hàm số nghị ch biến trên khoảng ; 0 f   3 f  2

Câu 50: [2D1-9.1-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số y log ln2 x

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đặt cực tiểu tại xe B Tập xác định của hàm số là 1;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;e D Hàm số đồng biến trên khoảng e;

Lời giải Chọn D

TXĐ:De;

2

log ln '

2 log ln

x y

x



2

ln

ln ln 2.2 log ln

x





2

1

0

2 ln 2.ln log lnx x x

  ,  x e; Vậy hàm số đồng biến trên khoảng e;

Câu 25: [2D1-9.1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)Số các giá trị nguyên của tham số

m thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình 2     3

x  m x  m x  x có nghiệm là ?

Lời giải Chọn C

Điều kiện: 3

x  x  x 0 x 0; Chia cả hai vế phương trình cho 2

4

x  ta có

2

Đặt 2

4

x t

x



 ta được   2  

x

 

f x

 

f x



2





2

Xét hàm số   2

4

x

f x

x



 trên 0; ta có  

2 2 2

4 4

x

f x

x



  f x    0 x 2 Bảng biến thiên:

0; ; 0;

2

t   x 

  , do t0 không phải nghiệm của phương trình  1 Phương trình  1 2 22 1  

2

t t

m

t t

  

Để phương trình đã cho có nghiệm x0; điều kiện là  2 có nghiệm 0;1

2

  Xét hàm số   22

2t t 1

g t

t t

  



 trên

1 0;

2

2 2 2

3t 2t 1

g t

t t

 



3

t

g t

t

 







 

 Bảng biến thiên:

Từ bảng suy ra m7 mà m là số nguyên thuộc đoạn 2018; 2018 nên có tất cả

2018 6 2012 giá trị nguyên của m

Câu 48: [2D1-9.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tập hợp tất cả các giá trị

của tham số m để đồ thị hàm số yx2m 4x2  m 7 có điểm chung với trục hoành là

 a b; (với a b;  ) Tính giá trị của S  a b

A 13

3

3

S 

Lời giải Chọn B

Tập xác định của hàm số : D  2; 2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2

yx m x  m và trục hoành là

1

x m

x



 

Đặt 2

4

t x , t 0; 2 , phương trình  1 trở thành 2 3  

2 1

t m t





Đồ thị hàm số đã cho có điểm chung với trục hoành khi và chỉ khi phương trình  2 có nghiệm

 0; 2

t

Xét hàm số   2 3

1

t

f t

t





 với t 0; 2

Ta có  

 

 

2 2

1 0; 2

2 3

0

3 0; 2 1

t

f t

t t

 



 

  

 0 3

f  , f  1 2,   7

2 3

f 

Do đó

    0;2 min f t 2 và

    0;2 max f t 3 Bởi vậy, phương trình  2 có nghiệm t 0; 2 khi và chỉ khi

min f t  m max f t   2 m 3

Từ đó suy ra a2, b3, nên S  2 3 5

Câu 12: [2D1-9.1-3] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên

đồng thời có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  2

y f x trên 2; 2?

A f  0  f  1 B f  1  f  2 C f  1  f  4 D f  0  f  4

Lời giải Chọn C

Để giải bài toán này ta cần lập được bảng biến thiên của hàm số    2

yg x  f x

Cách 1:      

 

2 2

2

2 2

2

0

4 0

0 0

x

x

x x

x x

f x

x

 











   



Cách 2: Đây là mẹo vặt, chỉ sử dụng với mục đích tham khảo thêm:

f x  k x x x  k x  x  x với k 0

Khi đó   1 4 4 3 1 2

4

f x  k x  x  x  x C 

4

g x  f x  k x  x  x  x C

Từ hai cách xét đạo hàm trên ta suy ra bảng biến thiên như sau:

Như vậy giá trị nhỏ nhất là g  1 g 1  f  1 nhưng giá trị lớn nhất là g  2 g 2  f  4

hoặc g 0  f  0 Ta chú ý rằng: 1    4          

Vậy    2      2  

2;2 2;2

max f x f 4 ; min f x f 1



Câu 15: [2D1-9.1-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hàm số

 

y f x có đồ thị trên đoạn 2; 4 như hình vẽ bên Mệnh đề nào trong 4 mệnh đề sau đây là đúng?

A Phương trình f x 0 có 3 nghiệm trên đoạn 2; 4

3 0 2

f   f 

C

    2;4

max f x 4

D

   

2;4

min f x 2

Lời giải Chọn B

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị cắt Ox tại 1 điểm duy nhất  Đáp án A sai

Ta thấy 3  

2;1 2

   là khoảng nghịch biến của hàm số 3 0

2

f 

  

  , tương tự ta có

 

3 2; 4 cũng là khoảng nghịch biến của hàm số  f 3 0

 

3

2

f  f

   Đáp án B đúng

 2;4  

max f x 2

   Đáp án C sai

   

2;4

min f x 3

    Đáp án D sai

Câu 17: [2D1-9.1-3] (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số

yx  x  mx m  Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox có diện tích phần nằm phía trên trục Ox và phần nằm phía dưới trục Oxbằng nhau Giá trị của m là

A 2

4

3

3

5

Lời giải Chọn C

Ta có: 2

y  x  x m; y  0 x22x m 0

1 m



   ;

Để có diện tích phần trên và phần dưới thì hàm số phải có hai điểm cực trị    0 m 1 Mặt khác y 6x6

0

y   x 1 y 4m3

Hàm số bậc ba có đồ thị nhận điểm uốn là trục đối xứng Do đó, để diện tích hai phần bằng nhau thì điểm uốn phải nằm trên trục hoành

Vậy 4m 3 0 3

4

m

  (thỏa m1)

Câu 1650: [2D1-9.1-3] [THPT CHUYÊN HÀ TĨNH - 2017] Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị là

 C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm 2 tiệm cận của  C đến một tiếp tuyến bất kỳ của

 C Giá trị lớn nhất dcó thể đạt được là:

Lời giải Chọn A

Tiệm cận đứng là x 1; tiệm cận ngang y1 nên I1; 1

0 0

0

2

; 1

x

x

 2

1 1

f x

x

  

 nên phương trình tiếp tuyến của  C là:

2

0

0

2

2 0

1 1

1 1

d I

x





Câu 1658: [2D1-9.1-3] [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Cho hàm số 1 ( )

2

x

x





 Gọi d là khoảng

cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị đến một tiếp tuyến của ( )C Giá trị lớn nhất mà d có thể đạt được là:

Lời giải Chọn B

Ta có:  

 2

3

2

x



 Gọi I là giao của hai tiệm cận I 2;1

0

1

2

x

x



Khi đó tiếp tuyến tại M x y 0; 0 có phương trình:

 0 0 0 :y y x' x x y

0

1 3

2 2

x

x x







0

3

2

x y

x







Khi đó ta có:      

0

4 0

6 1

2

;

9 1

2

x

d I

x





 





0 4 0

;

x

d I

x



 

a b  ab a b

9 x 2 2.3 x 2  9 x 2  6 x 2

d I

Vậy giá trị lớn nhất mà d có thể đạt được là: 6

Câu 1727: [2D1-9.1-3] [THPT Hà Huy Tập-2017] Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a0,b0,c0,d0 B a0,b0,c0,d0

C a0,b0,c0,d0 D a0,b0,c0,d0

Lời giải Chọn D

Nhìn vào hướng đồ thị suy ra a0 loại luôn a0,b0,c0,d0

Với x   0 y d 0

yax bx    cx d y ax  bx c

Hàm số có hai cực trị nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt ac  0 c 0 Chọn luôn a0,b0,c0,d0

Câu 1731: [2D1-9.1-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2-2017] Cho hàm số 3 2

1

yax bx  cx có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A b0,c0 B b0,c0 C b0,c0 D b0,c0

Lời giải Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 2

y  ax  bx c  có hai nghiệm phân biệt dương

y

1 2

2 0 3

b

x x

a c

x x

a











và hệ số a0 do  3 2 

lim

Từ đó suy ra c0,b0

Câu 47: [2D1-9.1-3] (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hàm

số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Xét hàm số g x  f f x  Trong các mệnh đề dưới đây:

(I) g x  đồng biến trên ; 0 và 2;

(II) hàm số g x  có bốn điểm cực trị

(III)

    1;1 maxg x 0

(IV) phương trình g x 0 có ba nghiệm

Số mệnh đề đúng là

Lời giải Chọn C

Ta có g x  f x f f x 

Suy ra   0    0

0

f x

g x

f f x



   

 

0; 2





0; 2 3 3

x

x a





 

  



Bảng biến thiên của hàm số g x  f f x  là

Từ bảng biến thiên của hàm số g x  f f x  ta suy ra các mệnh đề (II), (III), (IV) đúng

Câu 49: [2D1-9.1-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hàm số y f x  có đồ thị

 

f x như hình vẽ

Xét hàm số     3

g x  f x  x  x m với m là tham số thực Điều kiện cần và đủ

để g x 0,   x  5; 5 là

5 3

5 3

0 3

5 3

Lời giải Chọn A

Ta có     2

g x  f x  x  ;

g x   f x   x 

    

Ta thấy g x 0,

5; 5

    nên hàm số

 

g x đồng biến trên  5; 5

Do đó, để g x 0,

5; 5

    thì

  5; 5

max g x 0

  g 5  0 2  

5 3

Câu 40: [2D1-9.1-3] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Biết A x A;y A, B x B;y B là hai điểm

thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số 4

1

x y x





 sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất Tính 2 2

P y y x x

Lời giải Chọn A

Gọi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là x A  1 với số  0, đặt 1

A

A

A

y

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là x B   1 với số  0, đặt x B  1 ,

B

B

y

               

Xét hàm  2 3 3 2     2 2 2 1 2

2 2

9

 

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

Vậy AB 242 6 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

36

 











Suy ra 1 3

A A

x y

   





  

B B

x y

  





 

Vậy 2 2

10

Py y x x 

Câu 4: [2D1-9.1-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Tập nghiệm của bất

A 1;  B  1; 2 C   1;  D 1; 2

Lời giải Chọn C

Bất phương trình đã cho có dạng

3 1

f t t t  

3 1

f t t t   , t ;

Ta có   2

2

3 1

3

t

t



2 2

2

3 1

3

t t

t

   0 t

Do đó f t  đồng biến trên Từ đó f x 2 f  x    x 2 x   x 1

Câu 47: [2D1-9.1-3] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x  có đạo

hàm f x liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y f x trên đoạn  0;5 được cho như

hình bên

Tìm mệnh đề đúng

A f  0  f  5  f  3 B f  3  f  0  f  5

C f  3  f  0  f  5 D f  3  f  5  f  0

Lời giải Chọn C

Ta có 5      

3

f x x f  f 

 d , do đó f  5  f  3

3

0

f x x f  f 

 d , do đó f  3  f  0

5

0

f x x f  f 

 d , do đó f  5  f  0

Câu 37: [2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

 

f x có đạo hàm     4  5 3

f x  x x m x Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

trong đoạn 5;5 để số điểm cực trị của hàm số f  x bằng 3:

Lời giải Chọn A

Nếu m 1 thì hàm số f x  có hai điểm cực trị là x  1 0 và x  3 0 Khi đó, hàm

số f  x chỉ có 1 cực trị Do đó, m 1 không thỏa yêu cầu đề bài

Nếu m 3 thì hàm số f x  không có cực trị Khi đó, hàm số f x chỉ có 1 cực trị Do đó, 3

m  không thỏa yêu cầu đề bài

Khi m 1 và m 3 thì hàm số f x  có hai điểm cực trị là xm và x  3 0

Để hàm số f  x có 3 điểm cực trị thì hàm số f x  phải có hai điểm cực trị trái dấu

0

m

Vì m và m  5;5 nên m nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5

5



3 5

1

x O

y

Câu 44: [2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi x1, x2 lần

lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số  

2 e e

ln d

x

x

f x  t t t Tính S  x1 x2

A ln 2e B ln 2 C ln 2 D 0

Lời giải Chọn C

Đặt g t tlnt Ta có   e2    

2 e

x

x

f x  t t t g g

Ta có          2 2

e x e x ex ex

2e e ln ex x x e e ln ex x x

4 ex x xe x

e x 4e x 1

x

2

0 0

ln 2

x

f x

x





     

x x  

Câu 45: [2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x 

Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f 3 2 x2018 nghịch biến trên khoảng ?

A  1; 2 B 2;  C ;1 D 1;1

Lời giải Chọn A

Ta có f x k x 1x1x4 với k 0

3 2  3 2  1 3 2  1 3 2  4

                

Hàm số y f 3 2 x2018 nghịch biến khi y 2.f3 2 x0

3 2  0

f x

x x



    



1 2

x x

  







 



Vậy hàm số y f 3 2 x2018 nghịch biến trên  1; 2 và 1

; 2

 

 

Câu 48: [2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

  0

f x  thỏa mãn điều kiện      2

f x  x f x và   1

0 2

f   Biết rằng tổng

 1  2  3 2017 2018 a

b

,

a b và a

b là phân số tối

giản Mệnh đề nào sau đây đúng?

V ũ V ă n B ắ c

A a 1

b  C a b 1010 D b a 3029

Lời giải Chọn D

Ta có      2

f x  x f x  

 

f x

x

f x



 

 d 2 3 d

f x

f x



3

f x

Vì   1

2

f    C

f x

2020 2 2020

Vậy a 1009; b2020 Do đó b a 3029

Câu 29: [2D1-9.1-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng bất phương trình

m x  x   x x  x  x  có nghiệm khi và chỉ khi

m  a  b, với a b,  Tính giá trị của T a b

Hướng dẫn giải Chọn D

Điều kiện   1 x 1

Xét hàm số   2 2

1

g x  x  x trên đoạn 1;1

Ta có :   12 1 2

1



1

2

x

  

 1 1

2

g 

Suy ra 1g x  2

Đặt t x2  1x2 ,  t 2 Bất phương trình trở thành :

1

m t

t

  

 (Do 1 t 2 nên t 1 0)

Xét hàm số   1

1

f t t

t

 

 trên đoạn 1; 2

Có  

 2

1 1

1

f t

t

  

2 1; 2

t

f t

t

    



    



  3

1

2

f  , f  2 2 2 1 Do đó, max1; 2 f t  f  2 2 2 1

Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi  

1; 2 max

 hay m2 2 1

Do đó, a2, b 1

Vậy T 1

Câu 34: [2D1-9.1-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cần phải làm cái cửa sổ

mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu

vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi đường kính của hình bán nguyệt) Gọi

d là đường kính của hình bán nguyệt Hãy xác định d để diện tích cửa sổ là lớn nhất

A

2

a d





a d





2 2

a d





2 4

a d







Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt BCx x 0

Chu vi cửa sổ là 2

2

d

2 2 2

a d

  Diện tích cửa sổ là   1 2

d

ad d    d

    

2 4

d

 

f d có đồ thị là một Parabol với bề lõm quay xuống và có hoành độ đỉnh là 2

4

a d





