những kết quả rất đẹp rút ra từ một bài toán tích phân đơn giản

những kết quả rất đẹp rút ra từ một bài toán tích phân đơn giản

Giảng viên: NGUYỂN CHIẾN THẮNG

Người thực hiện: PHAN HỒNG QUÂN NGUYỄN THỊ THANH NGA

TÍNH TÍCH PHÂN

(Chuyên đề: Giải tích 12)

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

I.Khái quát hóa:

1 Khái quát hóa là gì?

Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập

hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập họp xuất phát.

2 Khái quát hóa như thế nào?

Giống như một người họa sỹ vẽ một bức tranh, một người nhạc

sỹ sáng tác một bản nhạc, tất cả đều phải căn cứ từ bản chất riêng của từng đối tượng mà có những cái nhìn riêng về đối tượng Chính điều đó sẽ dẫn tới sự thành công cho tác phẩm của mình

Vậy trong toán học chúng ta cần khái quát hóa một bài toán như

thế nào?

Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để

có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

• Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?

- Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.

- Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn

đề đó.

- Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp

II Khái quát hóa cho một bài toán cụ thể.

Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau:

Bài toán : Tính tích phân

(Bài tập 19c)-Chương III, SGK Giải tích 12 Nâng cao)

x

dx





7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

1 Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có

dạng phân thức Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức

là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm

• Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó !

ln

dx



2 Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác

là sinx và cosx Vậy có cách nào biểu diễn thông

qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

2.1 Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được

Từ đó đặt t= tanx

sinx cos t anx 1 t anx 1 t anx 1

f x

x

 

(1 )(1 ) 1 1

tdt A Bt C



2.2 Từ đó, với cách giải trên ta có thể giải được bài toán

tổng quát sau:

2

0

sin

n

x

dx

x c x







7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

2.3 Hướng 2: Đặt thì

và

Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau:

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!

tan

2

x

t 

2

2

s inx

1

t t





2 2

1 cos

1

t x

t







b

a

dx



3 Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx Điều gì đặc

biệt trong cận của tích phân ?

3.1 Hướng 3:

Đặt:

Với

2

x    t  dx  dt

x    t  x     t

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

• Khi đó:

inx cost cosx sinx cos sint cos sinx cos

s

2

s

2

2 4

   

3.2 Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau:

2

0

sin sin os

n m

n m n m

x









7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

4 Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ?

4.1 Hướng 4: Biến đổi

và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác.

1 1 os2 sin 2

sinx(cos sinx) 2 2 ( )

c x x

x

f x



  



4.2 Điều này cho ta suy nghĩ để tìm ra cách giải cho bài toán sau:

s in

a

x

dx



7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

4.3 Hướng 5:

Biến đổi:

và ta tính được bình thường

Tiếc là theo hướng này ta không tìm được bài toán tổng

quát cho nó!

sin

1

2 sin

4

x

x x







5 Nhận xét 5: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta

biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá !

5.1 Hướng 6:

Biến đổi:

( )

f x

1 cos x  sinx

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

5.2 Từ đó, ta có ngay bài toán sau:

2

0

cos s in x

s in x cos

n n

n n

x

dx x









6 Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần tìm ta thấy sự sai khác

của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân khác có

“họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích

phân:

6.1 Hướng 7: Xét tính phân sau:

Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : sẽ tìm được I

Cách giải này có thể áp dụng để giải các bài toán có tính đối

2

0

cos

s inx cos

x

x









I J

I J







7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

TRÊN ĐÂY LÀ BÀI GIẢNG CỦA MÌNH, RẤT MONG ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP Ý KIẾN CỦA

THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!