Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

Lời mở đầu

Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là mộttrong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng Phần kiến thức nàykhá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộcgiữa góc, cạnh và các yếu tố khác Chính vì vậy việc giải các bài toán lượnggiác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cảgiáo viên Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đờisống, giải tích và hình học Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đềcủa lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán

Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn họcsinh tự lĩnh hội kiến thức Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - nhữngsinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảngdạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảngdẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linhhoạt để tự giải được các bài tập Toán

Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" Đó là công việc biên soạn một số

bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trunghọc phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đềcho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đếnphức tạp và mang tính sư phạm cao Tôi nhận thấy đây là một đề tài rấtthiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen vớiphương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có nhữngkinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài

Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:

Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác

Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng

cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bàigiảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyệntập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác

Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin

Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được

sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này

ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc vàmột số yếu tố trong tam giác Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng tabiết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thứcBrahmagupta’s

Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác

Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinhtrung học phổ thông Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phânchia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệthống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác

Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác

Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thứclượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượnggiác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượnggiác hơn nữa

Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác

Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác

Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cánhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải

quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếusót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.

Hà Nội, ngày 19/5/2007 Sinh viên :Nguyễn Thị Thu

Bài giảng số 1:

Biến đổi lượng giác

Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến đổi cơ bản Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác Sự luyện tập này rất cần thiết

để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:

§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác

§ 1: Hệ thức cơ bản của lượng giác

A = sin3α + cos3α

Từ giả thiết suy ra: m2 = (sin α + cos α)2 = 1 + 2 sin α cos α

⇒ sin α cos α = m

2− 12

Ta có A = (sin α + cos α)3− 3 sin α cos α(sin2α + cos2α)

⇒ B = (sin3α + cos3α)(sin4α + cos4α) − sin3α cos3α(sin α + cos α)

Ta có sin4α + cos4α = (sin2α + cos2α)2− 2 sin2α cos2α

= 1 − 2 sin2α cos2α

= 1 − 1

2(m

2

− 1)2Vậy B = [m3 − 3(m

*Chú ý: ∀k ∈ Z+ sink α + cos k α đều có thể tính theo m

Bài toán 1.2 Biết rằng (sin α + cos α) hữu tỉ

Chứng minh rằng ∀n ∈ Z+ sinn α + cos n α cũng là hữu tỉ

Bài giải

Chứng minh quy nạp

Với n=1: (sin α + cos α) hữu tỉ

Với n=2: (sin2α + cos2α) = 1 hữu tỉ

Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z+ nghĩa là: sinn α+cos n α

là hữu tỉ

Ta chứng minh sinn+1 α + cos n+1 α là hữu tỉ

Thật vậy, ta có:

sinn+1 α + cos n+1 = (sinn α + cos n )(sin α + cos α)−

− sin α cos α(sin n−1 α + cos n−1 α)

Theo giả thiết quy nạp:

(sin α + cos α); (sin n−1 α + cos n−1); (sinn α + cos n) là các số hữu tỷ

Mà sin α cos α = (sin α + cos α)

2 − 1

2 ⇒ sin α cos α là số hữu tỷSuy ra sinn+1 α + cos n+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm

Vậy sinn α + cos n α là số hữu tỉ

Bài toán 1.3 Biết sin α − cos α = 1 Hãy tính

A = sin3α + cos4α

⇒ 3 sin4α + 5 + 5 sin4α − 10 sin2α − 5 = 0

⇒ 8 sin4α − 10 sin2α = 0 ⇒ sin2α(4 sin2α − 5) = 0

Vậy B=3

Bài toán 1.5 Biết 1

cos x − tgx = 2. Hãy tính giá trị của

C = 1cos x + tgx

Bài giải

Ta có 1 + tg2α = 1

cos2α ⇔

1cos2α − tg

⇔ ( 1

cos α + tgα) =

1( 1

cos α − tgα)

= 12

Bài toán 1.6 Ký hiệu f k (x) = 1

k(sin

k x + cos k x). Chứng minhrằng:

§ 2: Công thức cộng cung

1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

4) sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a

sin a + 7 sin b = 4(sin c + 2 sin d)

cos a + 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d)

Chứng minh rằng: 2 cos(a − d) = 7 cos(b − c)

tg(a − b) =

√3

1 −√15

tg2b = tg[(a + b) − (a − b)] = tg(a + b) − tg(a − b)

1 + tg(a + b)tg(a − b) =

√

5 −

√3

1 +

√15

Bài toán 1.10 Chứng minh tg10 là số vô tỷ

là số vô tỷSuy ra mâu thuẫn với giả thiết tg320 là số hữu tỷ

Suy ra giả thiết phản chứng là sai

Bài toán 1.12 Biết cos x + cos y + cos z

cos(x + y) = cos(x + y + z − z) = cos(x + y + z) cos z + sin(x + y + z) sin z

Tương tự: cos(y + z) = cos(x + y + z) cos x + sin(x + y + z) sin x

cos(z + x) = cos(x + y + z) cos y + sin(x + y + z) sin y

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được

cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = cos(x + y + z)(cos x + cos y + cos z)+

+ sin(x + y + z)(sin x + sin y + sin z)

Từ giả thiết ta có:

(cos x + cos y + cos z) = a cos(x + y + z)

sin x + sin y + sin z = a sin(x + y + z)

Suy ra

cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a(cos2(x + y + z) + sin2(x + y + z))

⇒ cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a

§ 3: Hàm số lượng giác của những góc bội

sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a − sin2a

= 2 cos2a − 1

= 1 − 2 sin2a

tg2a = 2tga

1 − tg2a cotg2a = cotg

2 − 1

2cotga sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a tg3a = 3tga − tg

3a

1 − 3tg2a cotg3a = cotg

3a − 3cotga 3cotg2a − 1

Hệ quả:

sin2a = 1 − cos 2a

2cos2a = 1 + cos 2a

4

Bài toán 1.13 Chứng minh rằng:

∀x : cos3x sin x − sin3x cos x = 1

4 sin 4x

8cos 4x

2 +√34

⇒ cos π

12 =

12

Thay vào (*) ⇒ cos2 π

24 =

1 + 12

√

2(1 +

√3)

1 + 2√2 +√34

√2

⇒ cos π

24 =

12

√2

2. Ta có:

sin 540 = cos 360Suy ra: 3 sin 180− 4 sin3180 = 1 − 2 sin2180

⇔ 4 sin3180 − 3 sin3180− 2 sin2180 + 1 = 0

⇔ (sin 180− 1)(4 sin2180+ 2 sin 180− 1) = 0

Vì sin 180 < 1 suy ra: 4 sin2180+ 2 sin 180− 1 = 0

⇔ sin 180 = −1 ±

√5

4 mà sin 18

0 > 0 nên sin 180 = −1 +

√54Vậy sin 180 =

√

5 − 14

Bài toán 1.16 Chứng minh rằng:

1. cos 200 cos 400 cos 800 = 1

3. tg50.tg550.tg650.tg750 = 1

Bài giải

1. Ta có:

cos 200 cos 400 cos 800 = 1

sin 200 sin 200 cos 200 cos 400 cos 800

sin8π

7 =18

0 = cos 3x+cos 3y+cos 3z = 4(cos3x+cos3y+cos3z)−3(cos x+cos y+cos z)

Vì cos x + cos y + cos z = 0 suy ra:

cos3x + cos3y + cos3z = 0

Từ giả thiết suy ra: cos x + cos y = − cos z Lập phương hai vế được:

cos3x + cos3y + 3 cos x cos ycos x + cos y = − cos3z

⇒ cos3x + cos3y + cos3z = 3 cos x cos y cos z

⇒ cos x cos y cos z = 0

Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0

⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z

Khi đó:

cos 2x cos 2y cos 2z = (2 cos2x − 1)(2 cos2y − 1)(2 cos2z − 1)

= −1(2 cosy−1)2 ≤ 0Vậy cos 2x cos 2y cos 2z ≤ 0

Bài toán 1.18 Chứng minh rằng:

0cos 270 = cos 81

0cos 90 = sin 9

0cos 90 = tg90

§ 4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

1) Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cos a + b

cos a cos b cotga + cotgb = sin(a + b)

sin a sin b cotga − cotgb = − sin(a − b)

sin 4π

5 =

1

2 sinπ5

sin π

5

= 12

= − 1

2 sin π7

= 4 cos 36

0 sin 180

sin 180 sin 540 = 4

Bài toán 1.20 Chứng minh rằng ∀x, y, z ta luôn có:

1. sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z) = 4 sin x + y

*Liên hệ với M ABC : Chứng minh rằng:

1. sin A + sin B + sin C = 4 cos A

3. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A2 sinB2sin C2

sin A + sin B + sin C = 4 cos A

Từ công thức biểu diễn theo tg của góc chia đôi:

1 +a

b

2 = 2ab

a2+ b2

Bài toán 1.22 Biết rằng:

A = sin 2x + sin 2y + sin 2z

B = cos 2x + cos 2y + cos 2z

Từ giả thiết:







sin x + sin y + sin z = 0 (1)

cos x + cos y + cos z = 0 (2)

cos(y − z) = −1

2

cos(z − x) = −1

2Nhân 2 đẳng thức (1)và(2)với nhau ta được:

Tương tự

sin 2y + sin 2z = − sin(y + z)

sin 2z + sin 2x = − sin(z + x)

Suy ra: 2A = −[sin(x + y) + sin(y + z) + sin(z + x)] Thế vào (**)

⇒ 1

2A − 2A = 0 ⇒ A = 0

Ta chứng minh B=0

Bình phương đẳng thức (1)và (2) rồi trừ đi cho nhau ta được:

cos 2x + cos 2y + cos 2z + 2[cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x)] = 0 (∗ ∗ ∗)

Ta có:

cos 2x + cos 2y = 2 cos(x + y) cos(x − y) = 2 cos(x + y).(−1

2) = − cos(x + y)Tương tự

cos 2y + cos 2z = − cos(y + z)

cos 2z + cos 2x = − cos(z + x)

Suy ra: 2B = −[cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x)] Thế vào (***)

Bài giải

Ta có:

sin 3x + sin 3y + sin 3z = 3(sin x + sin y + sin z) − 4(sin3x + sin3y + sin3z)

⇒ sin 3x + sin 3y + sin 3z = −4(sin3x + sin3y + sin3z)

Từ sin x + sin y + sin z = 0 Suy ra:

sin3x + sin3y + sin3z = 3 sin x sin y sin z

⇒ sin 3x + sin 3y + sin 3z = −12 sin x sin y sin z

Ta cần phải chứng minh: sin(x + y + z) = −4 sin x sin y sin z

Ta có: sin(x + y + z) = sin x cos(y + z) + cos x sin(y + z)

= sin x.(cos y cos z − sin y sin z) + cos x(sin y cos z + cos y sin z)

= sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y − sin x sin y sin z

Ta chứng minh:

sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y−

− sin x sin y sin z = −4 sin x sin y sin z

⇔ sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y + 3 sin x sin y sin z = 0

⇔ sin x(cos y cos z + sin y sin z) + sin y(cos x cos z + sin x sin z)+

+ sin z(cos x cos y + sin x sin y) = 0

⇔ sin x cos(y − z) + sin y cos(x − z) + sin z cos(x − y) = 0

⇔ −1

2(sin x + sin y + sin z) = 0 (hiển nhiên đúng)Vậy sin(x + y + z) = sin 3x + sin 3y + sin 3z

3

Đối với đẳng thức còn lại, ta làm tương tự hoặc dùng phép đổi biến

−d a

= −c

d

cos π7

cos 3π7

cos 5π7

cos 4x = 2 cos22x − 1 = 2(2 cos2x − 1)2− 1

⇒ cos 4x = 8 cos4x − 8 cos2x + 1

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

7 là nghiệm của PT: 8cos

4x+4 cos3x−8 cos2x−3 cos x+1 = 0

Ta có:

cos 7x = cos 6x cos x − sin 6x sin x = cos x(4c cos32x) − 2 sin x sin 3x cos 3x =

= cos x[4(2 cos2x−1)3−3(2 cos2x−1)2]−2 sin x(3 sin x−4 sin3x)(4 cos3x−3 cos x)

⇒ cos 7x = cos x[4(8 cos6x − 12 cos4x + 6 cos2x − 1) − 6 cos2x + 3]−

−2(1 − cos2x)(4 cos2x − 1)(4 cos2−3) cos x

⇔ cos 7x = cos x(64 cos6x − 112 cos4x + 56 cos2x − 7)

t1t2 + t2t3 + t3t1 = 56

64 =

78

16 −

148



716

⇔ 4 cos3x − 3 cos x −

√2

2 = 0Theo định lý Viet ta có hệ thức:

t1t2+ t2t3+ t3t1 = c

a =

−34

Vậy P = −3

4

Bài toán 1.27 Chứng minh rằng:

tg6400− 33tg4400+ 27tg2400− 3 = 0

tg6800− 33tg4800+ 27tg2800− 3 = 0Vậy suy ra t1 = tg2200; t2 = tg2400; t3 = tg2800 là 3 nghiệm củaphương trình:

3

− 3 c a

 

−b a

+ 3



−d a



= 333− 3.27.33 + 3.3 = 33273

Vậy tg6200 + tg6400+ tg6800 = 33273

Bài toán 1.28 Chứng minh rằng:

3

rcos 2π

7 +

3

rcos4π

7 +

3

rcos8π

⇔ 2 cos22x − 1 = 4 cos3x − 3 cos x

⇔ 2(2 cos2x − 1)2− 1 = 4 cos3x − 3 cos x

⇔ (cos x − 1)(8 cos3x + 4 cos2x − 4 cos x − 1) = 0

Theo định lý Viet ta có hệ thức giữa các nghiệm:

A = √3

t1+√3

t2+√3

t3

B3 = −5 + 3AB (2)Nhân(1)và(2):

(AB)3 = (3AB − 4)(3AB − 5)

→ (AB − 3)3+ 7 = 0 → AB = 3 − 3

√7

Thay vào (1),ta được:

⇒ Đpcm

Bài tập

Bài tập 1.1 Chứng minh rằng: (1 − cotg230)(1 − cotg230) = 2

Bài tập 1.2 Chứng minh rằng: 2 sin 20+ 4 sin 40+ 6 sin 60 + +

+178 sin 1780+ 180 sin 1800 = 90.cotg10

Bài tập 1.3 Chứng minh rằng: P = cos 2π

Bài tập 1.8 Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có:

a) cos 4x = 8 cos4x − 8 cos2x + 1

b) cos 5x = 16 cos5x − 20 cos3x + 5 cos x

c) Tổng quát: Chứng minh rằng cos nx là một đa thức bậc n của cos x

Bài tập 1.9 Chứng minh rằng:

a) sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 = 1

16b) 8 + 4tg π

Bài tập 1.11 Giả sử α, β ∈ [0, π

2]. Chứng minh rằng:

sin6α + 3 sin2α cos2β + cos6β = 1 khi và chỉ khi α = β

Bài tập 1.12 Tìm tất cả các góc α sao cho ba phần tử của tập S = {sin α, sin 2α, sin 3α} trùng với ba phần tử của tập hợp T = {cos α, cos 2α, cos 3α}

Bài tập 1.13 Tính giá trị của tích:

P = cos a cos 2a cos 3a cos 999a (với a = 2π

1999)

Bài tập 1.14 Cho α, β, γ lập thành cấp số cộng với d = π

3.Chứng minh rằng: tgαtgβ + tgβtgγ + tgγtgα = −3

Bài tập 1.15 Giả sử {T n (x)}∞n=0 là dãy các đa thức sao cho:

T0(x) = 1 , T1(x) = x , T i+1 (x) = 2xT i (x) − T i−1 (x)

(với mọi số dương i)

(Đa thức T n (x) được gọi là đa thức Trêbưsep)

0cos 220sin 230sin 220

⇒ V T =

cos 10−

√221

2(cos 1

0−

√2

2 )

= 2 = V P

Bài tập 1.2 Ta có:

V T = 2 sin 20+ 4 sin 40+ 6 sin 60+ + 90 sin 900+ 92 sin 880+

+94 sin 860+ + 178 sin 20 + 180 sin 1800

= 90 + 180(sin 20+ sin 40+ sin 60+ + sin 880)

⇒ sin 10.V T = 90 sin 10+ 180(sin 10sin 20+ sin 10sin 40+ + sin 10sin 880)

⇒ sin 10.V T = 90 sin 10+90(cos 10−cos 30+cos 30−cos 50+ +cos 870−cos 890)

⇒ sin 10.V T = 90 sin 10+ 90(cos 10− cos 890) = 90 sin 10+ 90(cos 10− sin 10)

⇒ sin 10.V T = 90 cos 10 ⇒ V T = 90cos 1

0sin 10 = 90.cotg10 = V P

cos9π





2+







2+







2+





2

2 −

√2

2 −

√2

2 +

√22

0+ sin 20)cos 20 (cos 45

0 + sin 450)cos 450

√

2 sin(450 + 450)cos 450

0 cos 430 cos 20 cos 10

cos 10 cos 20 cos 430cos 440 . sin 90

0cos 450

0sin 460 sin 470 + + sin 1

0sin 1340 sin 1350

⇒ sin 10.A = cotg450− cotg460+ cotg460− cotg470+ + cotg1340− cos 1350

⇒ sin 10.A = cotg450 − cos 1350 = 2cotg450 = 2

cos 5x = cos x cos 4x − sin x sin 4x

= cos x(8 cos4x − 8 cos2x + 1) − 4 sin2x cos x(2 cos2x − 1)

= 8 cos5−8 cos3x + cos x − −4(1 − cos2x)(2 cos3x − cos x)

= 16 cos5x − 20 cos3x + 5 cos x

c) Ta chứng minh bằng quy nạp

+ Với n=1: cos x = cos x ⇒ đúng

+ Với n=2: cos 2x = 2 cos2x − 1 ⇒ đúng

Giả sử đúng với n, tức là cos nx là đa thức bậc n của cos x hay

cos(n + 1)x + cos(n − 1)x = 2 cos nx cos x

⇒ cos(n + 1)x = 2 cos nx cos x − cos(n − 1)x

⇒ cos(n + 1)x(cos x) = 2P n (cos x) cos x − P n−1 (cos x)

= P n+1 (cos x) ⇒ Đpcm

Vậy cos nx là một đa thức bậc n của cos x

Bài tập 1.9

Bổ đề: Chứng minh rằng với mọi x ta có:

sin x sin(600− x) sin(600+ x) = 1

4sin 3x

Ta có:

V T = sin x[sin 600 cos x − sin x cos 600][sin 600 cos x + sin x cos 600]

= sin x(sin2600 cos2x − cos2600 sin2x)

Đặt A = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780

⇒ A sin 180 = sin 180 sin(60 − 18)0sin(60 + 18)0 sin 60 sin 660

⇔

√3

2 cos x −

1

2 cos x +

√3

2 cos x +

1

2sin x +

√3