+ Sự tơng đơng trong các phép biến đổi pt, hpt.. Phân biệt đợc phép biến đổi hệ quả và phép biến đổi tơng đơng.. Tránh sự tuỳ tiện , biến theo đổi thói quen.. Chú ý: trong những năm gần
Trang 1Bài giảng 1 (5 buổi )
phơng trình , hệ phơng trình đại số và vô tỷ
A- Những vấn đề cần chú ý
1- Phép biến đổi đại số của các pt, hpt
+ Các phép biến đổi hằng đẳng: đơn giản biẻu thức , thêm bớt,
phân tích thành thừa số, làm mất mẫu số, trục căn thức,
+ Sự tơng đơng trong các phép biến đổi pt, hpt Phân biệt
đợc phép biến đổi hệ quả và phép biến đổi tơng đơng
Tránh sự tuỳ tiện , biến theo đổi thói quen Một số thí dụ:
1
2
2
x m mx x
x x
m mx x
2) (x-2) (x2 - 4x + 11) = (x-2) (x+1) x2- 4x +11 = x +1
3) 4 x x 2 4- x = (x - 2 )2
+ Đặt điều kiện cho ẩn số (tập xác định của pt): chú ý điều kiện
của ẩn số có đợc đặt ngay từ đầu cũng có khi sau một số bớc
biến đổi( tơng đơng), đăc biệt có những bài toán giải bằng
phơng pháp biến đổi hệ quả thì không cần đặt đ/k mà chỉ thử
lại kết quả
Thí dụ : Giải pt 3 3 2 2 3 2 6
x
2- Các dạng bài tập th ờng hay gặp
(1)pt đại số dạng đa thức: bậc nhất, bậc2, bậc cao (trùng phơng,bậc 3, )
(2) pt đại số dạng phân thức mà khi giải biến đổi đa về dạng (1)
(3) Phơng trình vô tỷ ( gồm các loại căn bậc 1, bậc 3, bậc cao)
(4) phơng trình hỗn hợp các loại trên
(5) hệ phơng trình : hệ kết hợp 2, 3 các loại pt ở các dạng trên
Chú ý: trong những năm gần đây các đề thi vào đại học hay có hệ pt
3- Những kỷ năng của học sinh
+ kỷ năng nhận biết dạng pt, hpt (loại nào)
+ kỷ năng biến đổi thành thạo
+ kỷ năng tính toán
+ kỷ năng trình bày
A- Phần bài tập
I- Một số pt dạng đa thức, phân thức
Bài1: giải pt 3x2 +2x -11 - 8 2 = 0
Bài2: Giải pt (x2-1)(x2 +12x +35) = 64
Bài3: a) x4 - 2x3 + 3/4.x2 - 2x + 1 = 0 ; b) ( x- 3)4 + ( x - 1)4 = 2
Bài4: a) ( x2 - 3x + 1)2 - 2x2 + 6x - 5 = 0
b) ( x2 +3x - 4)2 + 3( x2 +3x - 4) = x + 4
HD: ( x2 + 3x - 4)2 + 4(x2 +3x - 4) = x2 + 4x
(x2 3x 4 ) 2 x2 4 (x2 3x 4 x)
Bài5: a) 2 2
1
1
2
x x
x
2
1 1
1
x x
x
Bài6: a)
2
3 1 4
3 1
3
2
2
x x
x
x
; b)
3
8 1
2 1 4
3
2
x x
x x
c) 2 0 (*)
1
2 1
x x
x
x
; d) 2x4 - 14
7
50
x
Bài7: a)
2
6 2
6 1
3 1
3
x
x x
x x
x x
x
; b)
15
28 3
4 3
4 1
2 1
2
x
x x
x x
x x
x
II) Một số bài tập về pt vô tỷ và hỗn hợp
Trang 2Chú ý: Một số dạng biến đổi tơng đơng cơ bản
+ f(x) = g (x)
) ( ) (
0 ) ( 2
x g x f
x f
+ f (x) = g (x)
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
x g x f
x g
x f
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x g x f
x g x f x
g x f x
g x
f
Bài1: Giải các pt
a) x 3 2 x 4 x 4 x 4 1; b) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
c) 3x - 2 x 2 = 3 3x 18 2 3x 18 2
Bài2: Giải các pt
a) x2 x 1 2 x ; b) 5x 10 8 x; c) 2 x 5 15 x
10 5
7
3 2 2 3 1
5x x x g) 2x 5 5x 6 12x 25; h) 2 2 5 1 2
x
Bài3: (Nhân biểu thức liên hợp)
1
1 1
1
2
1 1 1
7 3
6 3
x
x x
x
c)
5
3 2
3 1
4 x
x
x
e) 3 2 2
1
3 6
x x x
x
x
Bài4: ( dùng ẩn phụ)
a) Giảipt : x 1 4 x (x 1 )( 4 x) 5
b) Cho pt: 2 x 7 x ( 2 x)( 7 x) m
+ Giải pt khi m = 3
+ Tìm đ/k của m để pt có nghiệm
c) Giải pt: 1+ x x x 1 x
3
HD: Đặt x( 1 x) t
d) Giải pt: 4 2 1 2 1 2
x HD: Đặt 4 x x2 1 t
e) Giải pt: ( x - 3 )( x + 1) + 3
3
1 )
3 (
x
x
x HD: Đặt (x 1 )(x 3 ) t
g) Giải pt: 1 2 1 3 2 1
x
Bài5: (Đa về hệ)
a) Giải pt: x3+ 1= 2 3 2x 1 HD: đặt t =3 2 x 1
b) Giải pt: 2(x2+ 1) = 5 3 x3 1 HD: đặt
1
1
2 x x v
x u
c) Giải pt: x2 +3x - 1 = 3 x3 1.HD: x2+3x - 1 = 2(x - 1) + x2 +x +1 d) Giải pt: 5 2 14 9 2 20 5 1
HD: Chuyển vế , bình phơng ,đặt u= x2 4x 5 ;v x 4
III)Hệ pt đại số, vô tỷ và hỗn hợp 1- Hệ pt đẳng cấp :
+ Phơng trình đẳng cấp hai ẩn:
ax2 + bxy + cy2 = 0 (1) ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = 0 (2)
Trang 3(1) là pt đẳng cấp bậc 2 ; (2) là pt đẳng cấp bậc 3 Các pt này
có 1 cặp nghiệm tầm thờng (0;0) Ngoài ra ta có thể suy ra
tỷ số của x và y bằng cách chia cả hai vế cho y2 (hoặc y3)
Khi đó nếu ghép pt đó với một pt nào đó nữa thì ta có một hệ
ta gọi đó là hệ pt đẳng cấp
+ Hệ pt đẳng cấp là hệ mà trong đó có một pt đẳng cấp hoặc từ hai pt của hệ ta suy ra đợc một pt đẳng cấp Có các loại hệ
pt đẳng cấp bậc 2 , bậc 3
Bài tập
Bài1: Giải các hệ pt sau :
a)
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
b)
5 5 4
9 3 4
2 2
2 2
y xy x
y xy x
c)
11 3
12 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Bài2 Giải các hệ a)
2 2
1
3 2 2
3 3
y xy y x
y x
b)
2 3
3 5
3 2
2 3
y y x
xy x
2- Hệ pt đối xứng :
+ Hệ pt hai ẩn mà nếu ta thay đổi hai ẩn cho nhau thì hệ vẫn
không có gì thay đổi ,có nghĩa là nếu hệ có cặp nghiệm (a; b)
thì cũng có cặp nghiệm (b;a)
+ Hệ đối xứng có nhiều dạng khác nhau ; mỗi một pt của hệ của
hệ có thể mang những hình thức khác nhau
Về ph ơng pháp giải :
Có một số phơng pháp hay sử dụng:
+ Biến đổi pt : Cộng , trừ hai vế pt cho nhau
+ Dùng phơng pháp hàm số (xét tính đồng nghịch biến)
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
+ Phơng pháp bất đẳng thức
Bài tập
Bài1) Giải các hệ pt sau (Phơng pháp ẩn phụ)
a)
30
11
2
2y xy x
y x xy
b)
13
7
2
2 y xy x
xy y x
c)
5
8
2 2
2 2
xy y x
y x y x
d)
20
65
2 2
3 3
xy y x
y x
e)
3
2 4 1 3
2
2 y x
y xy x
g)
11
2 10 3 3
2
2 y x
y xy x
Bài2) Giải các hệ pt sau (Phơng pháp ẩn phụ)
a)
21
7
2 2 4 4
2 2
y x y x
xy y x
b)
2 ) 1 )(
1 (
72 ) 1 )(
1 (
y x
y x xy
c)
12 ) 1 )(
1 (
8
2 2
y x xy
y x y x
d)
12 ) 4 )(
4 (
7 ) ( 4
2 2
y x xy
y x y x
e)
2 2
8
3 3
xy y x
y x
g)
15 ) )(
(
3 ) )(
(
2 2
2 2
y x y x
y x y x
Các phơng pháp biến đổi kháccủa hệ đối xứng
Bài2) Giải các hệ pt sau (cộng trừ các vế cho nhau)
Trang 4a)
) ( 7
) ( 19
3 3
3 3
y x y
x
y x y
x
b)
x y y
y x x
5
5
3 3
c)
2 2 3 3
2 2 3 3
2 3
2 3
x y y y
y x x x
d)
x x y
y y x
1 2
1 2
2 2
2-Một số hệ ph ơng trình khác :
* Hệ mà khi giải ta dùng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Bài1) Giải các hệ pt sau:
a)
xy xy
y x
xy y x xy
4
10 2
5 2
5 2
b)
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
c)
2 2 2
2 2
5 1
6
x y x
x xy y
(*)
d)
3 2
1 2
0 ) 2 ( 6 ) 4
( 5 ) 2
y x y x
y x y
x y
x
HD: (*)
5 2 )
1 (
6 )
1 ( 2
x
y y
x
y x x
y
Bài2) Giải các hệ pt sau:
a)
52 4 )
(
4 17
2
2 2
2 2 2
2
2 2
xy x y x
x
y x x
y x x y x
x
y x
x
(PP ẩn phụ hoặc nhân liên hợp)
b)
2 1 1
3
2
y x
y y
x
c)
7 5 2
7 2 5
y x
y x
HD: Bình phơng cả 2 pt rồi trừ cho nhau
c)
4 5
5
1 2
y x y x
y
x x
y
d)
6 2 4
1 3
y y
x
y x
0
1 2
3
y x y x
y x y x
(Quân sự 2002) HD: (*) pt đầu tơng đơng với pt: 2 xy 2xy 1 kết hợp với pt sau ta có: 2x+y-1=
2y-x suy ra y = 4x-1
g)
1 2
1 1
3
x y
y
y x
x
( Thi vào ĐH 2003)
Bài3) (Phơng pháp BĐT) Giải các hệ pt sau:
a)
1
1
2 2
4 4
y x
y x
b)
4 4 9 9
5
y x y x
y x
c)
4 7 9
4 7 9
x y
y x
xy x y y
x
x
y y x
(*) 4 ) 1 ( )
1
(
2 2 1 1
2 2
:x,y>0, Dùng Bu , chia pt(*)cho xy
Trang 5e)
1 1 1
9
z y x
yz xz xy
z y x
; g)
) 1 ( 2
) 1 ( 2
) 1 ( 2
2 2
2 2
2 2
z x z
y z y
x y x
***************
IV-hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
******************
1- Tóm tắt việc giải và biện luận
Cho hệ
' ' 'x b y c a
c by ax
(a,a',b,b' không đồng thời bằng 0)
D = ab'-a'b ; Dx = cb'- c'b ; Dy = ac' - a'c
+ D 0 (
' ' b
b a
a
), Hệ có nghiệm duy nhất:
D
D y D
D
x x ; y
+ D = 0 (
' ' b
b a
a
) :
nghiem vo
He c
c b
b a a
dinh vo He c
c b
b a a
: ' ' '
: ' '
2- Bài tập
Bài1: Giải và biện luận các hệ sau
a)
) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1
(
) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1
(
3 2
2
2
a y a x a
a y a x a
; b)
1 )
1 5 ( ) 1 3 (
) 1 2 ( ) 1 (
p y p x p
p y p x p
Bài2: Cho hệ
2 ) 4 ( ) 3 2 (
1 ) 3 8 ( ) 5 2 (
y p m x b p m
y a p m x b p m
Hãy tính m và p theo a và b để hệ trên có vô số nghệm
Bài3: Cho hệ
2 1
2
4 )
1 ( 2 2
ay x
a y a x
Tìm a để hệ có duy nhất một cặp nghiệm
Bài4: Cho hệ
m y x
my x m
5 3
4 )
1 (
a) Giải và biện luận hệ trên
b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm x;y thoả mãn
bất đẳng thức x y 2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m
d) Tìm m nguyên để x và y đều nguyên
Bài5: Cho hệ
1 2
2
1 4
ay x
a y ax
a) Giải và biện luận hệ trên
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với a
c) Tìm điều kiện của a để hệ có nghiệm xR+, yR
Trang 6Bài6: a) Tìm m để hệ sau vô định
2 ) 1 ( ) 1 (
1 ) 1 ( ) 1 (
2
m
y m x m
b) Tìm m, n để hệ sau vô nghiệm
n y x
y m mx
2
3 ) 1 (
Một số bài tập vận dụng hệ pt bậc nhất 2 ẩn Bài7: Chứng minh rằng nếu hai pt: ax2 + bx + c = 0 và
a'x2 + b'x + c' = 0 có nghiệm chung thì ta có hệ thức:
(a'c - ac')2 = (ab'- a'b)(bc' - b'c)
Bài8: Cho hệ
b ay cx
a cy bx
c by ax
có nghiệm Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài9: Tuỳ theo a hãy tìm GTNN của hàm số:
f(x;y) = (ax 2y 1 ) 2 3x (a 1 )y 12
Bài10: Tìm điều kịên của a để với mọi b đều tìm đợc c sao cho
hệ pt sau có ít nhất một nghiệm
1 2
) 6 (
2
c by x b
ac y bx
Bài11: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m
12
1
; 16 1
thì GTNN của hàm số:
f(x;y;z;t) = 2 ( 6 ) 2 1
y mz t x ty z