www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1 Giải các bất phương trình sau :
a.
2
4 15 13 4 3
x− x+ − x
<
2 x− +2 x− −2 x− >2 −x+2−x−2−x
c 1 3 1
3x+ 3x 84
1
2
16
x
x−
> ÷ GIẢI
2
4 15 13 4 3
2
< ⇔ − + > − ⇔ − + > ↔ − > → ≠
b 22 1x− + 22 3x− − 22 5x− > 27 −x+ 25 −x− 23 −x
Nhân hai vế bất phương trình với 2x >0, bất phương trình trở thành :
x x
+ −
⇔ + − > + − ⇔ ÷> ⇔ > = ↔ > → >
28
x
+ + > ⇔ + > ⇔ > = ↔ > ⇔ − > ⇔ < <
d
1
16
x
−
− > ⇔ − > ⇔ − > − ⇔ − + > ⇔ >
÷
x − +x >0
Bài 2 Giải các bất phương trình sau :
a
1
5
25
x
x+
2 log 2
5 x+ <1
c
2
4 3
2 1 3
3
x
− +
2
2
9 8 3
7 1
7 7
x x
x
− − +
−
<
÷
GIẢI
a
1
25
x
− + < ⇔ + < ⇔ + < − ⇔ + + < ⇔ + + < ↔ <
÷
Vì : x2+ +x 2>0
b log3 2
0 2
3
c
2
2
40
1
1
12
x
x
−
d
2
9 8 3
x x
− − +
< ⇔ < ⇔ + − < − ↔ + − < ⇔ − < <
÷
Trang 2Bài 3 Giải các bất phương trình sau :
a 6.91x−13.61x+6.41x ≤0 b
2x 1 3x 1
2 − ≥ 2 +
c 3x + 9.3−x − 10 0 < d 5.4x+ 2.25x − 7.10x ≤ 0
GIẢI
a
1
2
0 3
x
t t
t
>
= ÷ >
− + ≤ ⇔ ÷ − ÷ + ≤ ⇔ ⇔
≤ ≤
1
1
1
x x
≤ −
⇔ ≤ ÷ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ↔ ≥
b
1
x
2 2
3x 1 2x 1
x
2 2
5x
0
1 2x 3x 1
>
⇔ < <
− < <
1
2 1
3
x
2
d
=
− + ≤
x
2
5 t
>
x
1 t
2
Bài 4 Giải các bất phương trình sau :
a x 11 1 x
3 + 1 1 3 ≥
− − b 52 x + < 5 5 x 1+ + 5 x
c 25.2x − 10x + 5x > 25 d 9x− 3x 2+ > 3x − 9
GIẢI
Trang 3a
= >
≥
x
0
3t 1 1 t
≤ < <
⇔ ≤ < ⇔ ≤ < ⇔− ≤ <
x
b 52 x + < 5 5 x 1+ + 5 x Nhân hai vế bất phương trình với 5 x >0.
+
⇔ − − < ⇔ < < ⇔ < < ↔ < <
c
− > > >
<
− < > >
d
+
− ≥
= > − <
− > − ⇔ − > − ⇔ − ≥
− > −
2
x
2
2 2
t 9 0
t 9 0
≤ ∨ ≥
<
≥
>
x
t 9
t 9
t 9
Bài 5 Giải các bất phương trình sau :
a x2 x
1 5 < − < 25 b (x2 − + x 1)x < 1
c (x2 2x 3)x 1x 1 1
− +
+ + < d (x2 − 1)x2+2x > x2 − 13 GIẢI
− − <
2
Trang 4b
< − + < − < < <
< <
c Do : x2 + 2x 3>2 , cho nên : +
−
+ + < ⇔ < ⇔ − < <
+
x 1
d
+ +
+
2 2
2
3
2 2
2
luon dung
< <
<− ∨ >
<− ∨ >
Bài 6 Giải bất phương trình :
a 21 x x 1 2x 0
1 3
1
2+ − > x+
x x
c ( )log log (2 1)
5 , 0 5
, 0
2
2 5 08
,
0
−
−
−
≥
x x
x
3
1 9 3
1 2/ 2 1/
>
+
GIẢI
a.
< < < < <
−
x
x
2
0
t(t 1)
t t 1
b
( )
2 2
2
5 6
2
3
x
x x
x
+ − + +
+ −
> −
+ − < +
2
10
x
x x
> −
c Vì :
0, 08
−
−
log
x
x
−
Trang 51 3 1
2
1 2
1
2
1
2
x x
x
x
x
< − < < <
< ≤ − > < <
>
− > = ∅
≥ − > < ≤
d
2
1
0 0
12 0
x
t t
t t
>
= >
+ > ⇔ ÷ ⇔ ⇔ > ⇔ > → < −
Bài 7 Giải bất phương trình :
a ( 7 − 4 3) (x+ 7 + 4 3)x ≥ 14 b 5.4x +2.25x −7.10x ≤0
c 3 4 15 3 4 15 83
x x x
≥ +
+
1 1
2 5 2
−
−
−
≥
x x
GIẢI
a.
2
x
x
t
t
−
b
=
x
2
5 t
>
x
t 0
1 t
2
c (3 4 15) ( 34 15) 83 2
x
x
0
1 1
x
x x
− ≤ < −
⇔ + ≥ ⇔ ≥
Bài 8 Giải bất phương trình :
Trang 6a 92x−x2+ 1−34.152x−x2 +252x−x2+ 1 ≥0 b 1
2 3
2 3
≤
−
− +
x x
x x
c (3 + 5)2x−x2 +(3 − 5)2x−x2 − 2 1 + 2x−x2 ≤ 0
d 6.92x2 −x −13.62x2 −x +6.42x2 −x ≤0
GIẢI
a
2
2
2
5
0
x x
−
÷
2
2
2
2
2 2
5
1
3
1
x x
x x
x x
−
⇔ ≥ ⇔ ⇔ − ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ ≤ ∨ ≥
b
3
3
2
x
x
t t t
−
÷
3 2
x
t
x t
>
c
2
2
2
2
2
2
0 3
0
2
x x
x x
t t
t
x R
x x
x
x x
−
−
>
= >
≤ ≤
∈
− + ≥
− ≤ ≤
− − ≤
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 1 0 1
2 0
x x
x x
x
t
t
−
−
=
+ − ≤
Bài 9.Giải các bất phương trình sau :
Trang 7a 2 log 8
16
1 4
1
4
1
>
−
3
1 9 3
1 2/ 2 1/
>
+
c x4−8e x− 1 >x(x2e x− 1−8) d 2
log x log x
GIẢI
a
4
1 4 2
1
4
4
x
x
t
⇔ ⇔ < < ⇔ < ÷ < ⇔ < <
− + <
2
1
0 0
12 0
x
t t
>
c
1
x
x
−
− < − <
⇔ − + > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ >
+ > + >
6
⇔ − ≤ 1 log x 16 < ⇔ ≤ ≤ 1 x 6
6
Bài 10 Giải các bất phương trình sau :
a 4x2 + 3 x.x+ 3 1 + x < 2 3 x.x2 + 2x+ 6
x x
− +
− +
c 2 − 5x− 3x2 + 2x > 2x 3x 2 − 5x− 3x2 + 4x2 3x
GIẢI
+
Trang 82
2
0
2
3
1 2
x
x
x
≥
+ + <
< − ∨ > −
b.
3
4
x
x
x
=
- Với :x=3: PT
( )
2
3 3 3
Không thỏa mãn điều kiện (1) , nên : x=3 không là nghiệm
- Với x=4 : PT trở thành : 2
− ≤ ⇔ − ≤
nghiệm của bất phương trình là : x=4
− − ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −
- Xét : f x( ) 2 3= x x− →1 f x'( ) 2 3= ( x+x3 ln 3x )=2.3 1x( +xln 3)
* Với x thuộc 1;0
3
− ⇒
f'(x)<0 Hàm số ngịch biến Nhưng f0)=-1<0 Cho nên
1
3
x
f x = x − < ∀ ∈ −x ⇒ − x− x + x> ⇔ − x− x > − ⇔x x − x− <
→ < < Kết hợp với tập xác định nghiệm bất phương trình : 1;0
3
T = −
* Với : x∈[ ]0; 2 ⇒ f x'( ) 0> Hàm f(x) đồng biến Với f(2)=2.2.32−1=35>0 , f(0)=-1<0 ,
f(0) ⇒BPT ⇔ − <1 2 Do vậy : bất phương trình thỏa mãn
Trang 9Tóm lại : Với mọi 1; 2
3
x∈ −
, bất phương trình luôn đúng
1
; 2 3
⇒ = −
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1 Giải các bất phương trình sau :
5
3 4 log 2
2
− +
+
−
x x
x x
2
1 log
3
6 >
+
−
x
x
2
2 3
+
+
x
x
x d. log3x−x2(3−x)>1
GIẢI
a
2
2 2
2 2
1 0
1 0 5
5
1 0 5
x x x
x x
< ≤ < ≤
− + − ≥
− +
>
− +
+ −
2
2 2
2 3 0
1 5
2 2
5
0 5 5
0 5
x
x x
x x
x x x
x x
+
< ≤
− −
>
− +
+ −
b.
2
3
2
0
2
1
2
0 2
2
x
x
x
x x
x
+
< + < − < < −
− < < −
< < < < +
+
+
2
3
x x
x
x x
x
− < < −
< −
− < < −
< − ∨ > −
− < < −
> −
− < < −
Trang 10c
0 2
x
x
x
x x
< <
+ < < < < < <
+ < + − − > − − >
+ > > > >
+ > > + > + − − < − − <
+
T
x x
= ∅
⇔ < < ⇒ < <
2 2 2
2
2
2 2
2 2
x x
x
x
x
x x
x x
−
< <
− > < − ∨ > +
− + >
< − < − > <
< − < − < <
− > − >
< ∨
− >
3
x
>
< ∨ >
Kết hợp trên trục số ta có hệ thứ hai vô nghiệm , vậy nghiệm của bất phương trình là nghiệm của hệ thứ nhất :
0
2
3 2
x
x
< <
⇔
+ < <
Bài 2 Giải các bất phương trình sau :
a logx(5x2−8x+3)>2 b ( )
log
35
≠
<
>
−
x
x
a a
GIẢI
Trang 11( )
2
2 2
2
log 5 8 3 2
3
x
x x
x
< <
< <
< < − + > < ∨ >
< − + < < <
< ∨ >
( )
3 3
3
3 5
3
5 18 0
5
a
x a
x
x
x
−
< <
< − < < −
< − < −
− > ⇔ − > ⇔ ⇔ − + >
− − >− > − > >− + <
<
3
35
4
5
x x
x x
x
x R x
< <
<
∈ ∈∅
⇔ ⇔ → < <
> < <
∈
<
Bài 3 Giải các bất phương trình sau :
1 1
3 2 log
1
3 / 1 2
3 /
1 x − x+ > x+ b. logx2.log2x2.log24x>1
c 2
log (x− +5) 3log (x− +5) 6log (x− − ≤5) 2 0
d log 2 4 log3 9 2 log3 3
3 x− x+ ≥ x−
GIẢI
a.Hướng dẫn : - Tìm tập xác định của từng hàm số logarit một
- Tìm các giá trị của x sao cho hai logarit dương ( các giá trị x còn lại trong D thì chúng
âm ) - Lập bảng xét dấu cho hai logarit , sẽ suy ra tập nghiệm cần tìm
⇔ = ÷ ∪ ÷∪ +∞
Trang 12b ĐK:
2 2
2
2 2
log
2
2
x t
t t
=
< ≠
< < < <
c log (1/52 x − + 5) 3log (5 5 x − + 5) 6log (1/ 25 x − − ≤ 5) 2 0
2
t t
− − ≤
d.
2
3 2
2 2
4 9 0
2 3 0 log
2 3 0
4 9 2 3
t
t
− + ≥
− <
=
− ≥
− + ≥ −
3
8 3 3
2
log
2
t R
x
t
Bài 4 Giải các bất phương trình sau :
16 2
2 2 /
1 4 log 2 4 log
32
8
x
x
− ÷ + ÷ <
log x − log 8 log x x + log x < 0
GIẢI
a
2 2
2 2
2 2
log
18 32 0
t
=
=
− + >
2
4
t
≤
Trang 13t
=
− + <
− − + − <
2
2
t
x
x
3
0 3
x
<
>
x
x x
< <
⇔ ∈∅ ↔ < <
Bài 5 Giải các bất phương trình sau :
a
b
c.
GIẢI
2 2
x x
x
< ∨ >
− + > ⇔ ⇒ >
> >
PT(a)
2
x
x x
≠
⇒ <
<
Trang 14PT(b) 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) [ ]
2
< → − = −
2
2 2
2
2
1 0
2
1 0
x x
x x
x
x
<
− >
<
( )
1; 2 2
2
1 1
2
x x
x x
x x
x x
>
− < > − < <
∈∅
<
>
− > < −
1
2
PT(c)
2 2
2
1
1
2
x
x
< − ∨ > − − < < −
+ + >
− < <
+ − <
Bài 6 Giải các bất phương trình sau :
a
GIẢI
1
2
PT(c)
Trang 15( ) ( )
⇔ + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ + + < ⇔ < + + <
2 2
2
1
1
2
x
x
<− ∨ >− − < <−
− < <
+ − <
b.
( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2
1
3
5
3
3 1
8
x x
x
x
x x
< < < <
< − + < − + <
⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ < <
− + >
< ∨ >
1
1 3
8
x x
2
6
t
t
+ > + >
f t f t
⇔ = ÷ ÷+ − > → = ÷ ÷ ÷ ÷+ <
Chứng tỏ hàm số f(t) là nghịch biến Mặt khác f(1)=0 Cho nên khi t>1 thì f(t)<f(1)=0 Vậy nghiệm bất phương trình là : t>1 6 6 6
2
⇔ > ↔ > ↔ > = ⇔ >
Bài 7 Giải các bất phương trình sau :
2
log x + log x − > 3 2 log x − 3
1
2
2 25
16
24 2
14
x
x x
−
GIẢI
a.
2 9
1
1
2
+ > ↔ − − < → − < <
Trang 16( 2 ) 2 2
< ∨ > − ≤<
− − <
b.
2 2
2
2
2
7 2
x x
< ≤
⇔ < < ⇔ < < = c.
< < < < < <
÷
d.
2
2
2 2
2
2
25
0
3
25
16
x
x
x x
x
>
4
x x
<
− < <
Bài 8 Giải các bất phương trình sau :
2
log log 3 3 log 9
x− +x
2 log 1
2
x
2
x
x x
+
GIẢI
3
3
2log
2log
x x
x x
Trang 173 2
0
3
x
x
x
⇔ − + > ↔ − + >
<
⇔ − > ↔ >
b
2
c
2 2
2
2
2
1 log
log
log
x t
≤
≤
x
x
< ≤
⇔
d.
3 2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
< < < < < <
< < − ∨ > −
⇔ ⇔ + < + ⇔ − − > ⇔ < − ∨ >
>
+ + > + − − < − < <
2
x x
⇔
< <
Vậy nghiệm bất phương trình là : ↔ ∈x ( )1; 2
Bài 9 Giải các bất phương trình sau :
GIẢI
2
3 2
3
7
2
4
x
x
x
< <
Trang 18b ( )
2
2 2
2
log 2
1 1
2 2
x
x
x x
< < < <
− + > < ∨ >
> >
− + > − − <
1 0
2
1
2
x
x
x
< <
2
2
x x
Bài 10 Giải các bất phương trình sau :
5 log 6 − + x 2log 6 − + x log 27 0 ≥
c.log 64 log 16 32x + x2 ≥ d log3x x− 2 ( 3 − > x ) 1
GIẢI
a log log3 4 3 1 log3 log4 1 log log3 43 1 log log3 43 1 log log3 4 3 1 0
4 0 1
x
x
x
−
+
Trang 19( )
11 5
1
1
x
x
x
x
x
−
≥
− −
+
log 6
− + ≥
5
5
c
2
2 2
2
log
1 log
3
1
x
t
=
=
+ − ≥
d
2 2
2
2
2 2
2 2
2
x
x x
x
x
x x
x x
x
< <
< − < < ∨ >
− + >
− + < < <
− > − < < +
− > −
< ∨ >
3 2
1 2
x
x
+ < <
⇔
− < <
Bài 11 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
−
=
2
5
1 log log
3
x y
x
+
c
2 0,3 3
2 log log
5
x y
x
+
2
2
1
1
x
x
−
+
GIẢI
1
5
x
x x
−
+
+
⇒ > ↔ = +∞
b
+ > − − >
2;1 2;7
D
− < ≤ ∨ ≥ − ≤ ≤
< − ∨ − ≤ ≤ ≤ ≤
Trang 20c
+ > − − >
5
5
D
d. 12
2 2
2
6 0
x
− < < < − ∨ >
Vậy : D=(3;+∞)