bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề một số bất ĐẲNG THỨC HÌNH học TRONG TAM GIÁC và tứ GIÁC

Các bất đẳng thức đơn giản trong tứ giác.. Thực sự nó là một phần rất quantrọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình họccũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của

TRONG TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

1 Các bất đẳng thức đại số cơ bản 4

2 Các đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản trong tam giác 6

2.1 Các đẳng thức đơn giản trong tam giác 6

2.2 Các bất đẳng thức đơn giản trong tam giác 8

3 Bất đẳng thức trong tam giác 9

3.1 Bất đẳng thức về độ dài các cạnh 9

3.2 Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt 12

4 Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học 15

5 Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt 20

5.1 Các bất đẳng thức trong tam giác đều 20

5.2 Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam giác cân 24

6 Các bất đẳng thức khác trong tam giác 27

7 Các bất đẳng thức trong tứ giác 37

7.1 Các bất đẳng thức đơn giản trong tứ giác 37

7.2 Các bất đẳng thức khác trong tứ giác 42

Tài liệu tham khảo 45

Mở đầu

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại nhữngbài toán khó, làm cho học sinh phổ thông cũng như học sinh chuyên toánlúng túng khi gặp các bài toán loại này Thực sự nó là một phần rất quantrọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình họccũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán học So với cácbất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâmnhiều Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết vấn đề này là

vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp thông thườnghay được áp dụng trong hình học và càng không phải là phương pháp đại

số thuần túy Để giải một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiếtphải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cách thích hợp

và nhạy bén

Chuyên đề này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bảnđến nâng cao và mở rộng Các bài toán về bất đẳng thức hình học đượctrình bày trong tài liệu này có thể tạm phân thành các nhóm sau:

I Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có hình

vẽ Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương pháphình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường vuônggóc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan hệ giữacác cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v Bấtđẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội dungthường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các trườngchuyên

II Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sửdụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thứcđường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thứcdiện tích của tam giác v.v Các bài toán này đã được quan tâm nhiều và

chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [3,7].

III Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thứchình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy

Chuyên đề "Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác và

tứ giác" gồm có ba phần: Phần mở đầu, Phần nội dung và Tài liệu thamkhảo

Nội dung của chuyên đề trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm

I và nhóm II

Do sự hiểu biết của nhóm tác giải và khuôn khổ của tài liệu, nên chắcrằng không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong được sựđóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới vấn đề này

Các bất đẳng thức trong tam giác

và tứ giác

Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C Để thuậntiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tươngứng là A, B, C

Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c

Nửa chu vi của tam giác: p = a + b + c

Đường cao với các cạnh: ha, hb, hc

Đường trung tuyến với các cạnh: ma, mb, mc

Đường phân giác với các cạnh: la, lb, lc

Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r

Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: ra, rb, rc

Diện tích tam giác ABC: S, SABC hay [ABC]

Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cầntrang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản vàcác đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Hệ quả 1 Với mọi bộ số dương a1, a2, , an, ta đều có

Hệ quả 2 Với mọi bộ số dương a1, a2, , an, ta đều có

Hệ quả 3 Với mọi bộ số không âm a1, a2, , an và m = 1, 2, ta đều có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Định lý 2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực

I (a, b) và n điểm x1, x2, , xn tùy ý trên đoạn I (a, b), khi đó

i, Nếu f00(x) > 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≥ nf  x1 + x2 + + xn

n



ii, Nếu f00(x) < 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≤ nf  x1 + x2 + + xn

n



Ở đây I (a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp(a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b]

Định lý 4 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệucùng chiều a1, a2, , an và b1, b2, , bn Khi đó ta có

a1b1 + a2b2 + anbn ≥ 1

n(a1 + a2 + + an) (b1 + b2 + + bn) (6)Chú ý 1 Nếu hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn đơn điệu ngượcchiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều

Định lý 5 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương Bấtđẳng thức sau luôn đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Chú ý 2 Bất đẳng thức (7) được A.M.Nesbitt đề xuất trên tạp chí

"Educational Times" tháng 3 năm 1093 Trên tạp chí Toán học tuổi trẻ

số 358 tháng 4 năm 2007, tác giả Vũ Đình Hòa đã giới thiệu với bạnđọc một dạng tổng quát của bất đẳng thức (7), đó chính là bất đẳngthức Shapiro được phát biểu dưới dạng: Với mọi xi ≥ 0, xi + xi+1 > 0(i = 1, 2, , n), xn+i = xi thì ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn

2 Các đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản trong tam giác

2.1 Các đẳng thức đơn giản trong tam giác

Định lý 6 (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có

asinA =

bsinB =

csinC = 2R.

Định lý 7 (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có

a2 = b2 + c2 − 2bccosA, b2 = c2 + a2 − 2cacosB, c2 = a2 + b2 − 2abcosC.Định lý 8 (Các công thức về diện tích) Diện tích tam giác ABC đượctính theo một trong các công thức sau

Công thức (14) được gọi là công thức Hê-rông.

Định lý 9 (Định lí đường phân giác) Trong một tam giác, đường phângiác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với haicạnh kề hai đoạn ấy

Định lý 10 (Công thức đường phân giác) Trong tam giác ABC ta có

Định lý 12 (Công thức đường trung tuyến) Trong tam giác ABC ta có

sin A + sin B + sin C = 4 cos A

2.2 Các bất đẳng thức đơn giản trong tam giác

Định lý 16 (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có

|b − c| < a < b + c, |c − a| < b < c + a, |a − b| < c < a + b.Định lý 17 (Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản) Với mọi tam giácABC ta luôn có các bất đẳng thức sau

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

Riêng với bất đẳng thức (33) thì tam giác ABC cần giả thiết không phải

là tam giác vuông

3 Bất đẳng thức trong tam giác

Tam giác là hình đơn giản nhất trong các đa giác, và thực tế, mỗi

đa giác bất kì đều có thể chia thành các tam giác và sử dụng tính chấtcủa nó Vì vậy, nghiên cứu các bất đẳng thức trong tam giác sẽ hữu íchtrong việc giải quyết các bất đẳng thức trong đa giác Trước hết chúng

ta nghiên cứu các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác sau đây:

3.1 Bất đẳng thức về độ dài các cạnh

Định lý 18 Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là R và R0 (R ≥ R0),khoảng cách giữa tâm của chúng bằng d Điều kiện cần và đủ để hai đườngtròn đó cắt nhau là R − R0 ≤ d ≤ R + R0

Chứng minh

Hình 1: Hai đường tròn không cắt nhau

Rõ ràng là hai đường tròn đã cho ở ngoài nhau (hình 1 A) thì ta có

R + R0 < d Nếu hai đường tròn này chứa nhau (hình 1 B) thì ta cũng cóngay d < R − R0 Nếu hai đường tròn đã cho cắt nhau tại một điểm Mthì theo bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác OO0M , với O và O0 lầnlượt là tâm của đường tròn bán kính R và R0, ta có R − R0 ≤ d ≤ R + R0.Đảo lại, nếu ta có R − R0 ≤ d ≤ R + R0, thì hai đường tròn đã chokhông thể ngoài nhau hoặc chứa nhau được (nếu không phải có R+R0 < dhoặc d < R − R0) Do đó chúng chỉ có thể cắt nhau Định lý 19 Các số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác khi

và chỉ khi a + b > c, b + c > a, c + a > b

Chứng minh Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì theo bất đẳngthức về 3 cạnh của tam giác ta có a + b > c, b + c > a, c + a > b

Ngược lại, nếu có a, b và c là 3 số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

a + b > c, b + c > a, c + a > b, thì ta có thể chọn hai điểm A và B trên mặt

phẳng cách nhau một khoảng c Lấy A và B làm tâm dựng hai đường trònbán kính tương ứng là b và a Từ bất đẳng thức a+b > c, b+c > a, c+a > b

ta dễ dàng có bất đẳng thức |a − b| < c < a + b Theo định lí 18 thì haiđường tròn tâm A và B phải cắt nhau tại một điểm C Vậy độ dài a, b, cthỏa mãn bất đẳng thức a + b > c, b + c > a, c + a > b là độ dài các cạnh

Định lý 20 Cho trước tam giác ABC và một điểm M ở trong tam giác Khi đó ta có

Chứng minh

Hình 2:

Kéo dài BM về phía M cắt

cạnh AC tại điểm N Theo định

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên rồi chia

cả hai vế cho 2 ta được p < M A + M B + M C

Mặt khác, theo định lí 20 ta có

M A + M B < CA + CB, M B + M C < AB + AC, M C + M A < BC + BA.

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên và đem chia cả hai vế cho 2 ta được

AM + BM + CM < 2p

Định lý 21 Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh dài hơn vàngược lại.

Chứng minh Xét tam giác ABC Ta chứng minh nếu [ABC > [ACB thì

AC > AB và ngược lại

Hình 4:

Thật vậy, trong góc [ABC ta kẻ tia Bxtạo với cạnh BC góc bằng góc [ACB Do[

ABC > [ACB, nên Bx cắt cạnh AC tạiđiểm D và tạo thành tam giác cân DBC,

do đó DB = DC Mặt khác, trong tam giácABD ta có AD + DB > AB Do đó AC =

AD + DC = AD + DB > AB

Phần ngược lại của định lí là hiển nhiên Vì nếu [ABC < [ACB thì ta

Bài toán 2 Chứng minh rằng đường vuông góc AH hạ từ điểm A xuốngđường thẳng d cho trước luôn nhỏ hơn đường xiên AB

Giải Tam giác AHB là tam giác vuông tại H, do đó \AHB = 900 > \ABH.Theo định lí trên, ta có AB > AH

Sự tương ứng giữa độ lớn cạnh và góc còn đúng cho cạnh của hai tamgiác khác nhau Dùng định lí 21 ta dễ dàng chứng minh kết quả sau.Định lý 22 Cho trước hai tam giác ABC và A0B0C0có hai cặp cạnh bằngnhau AB = A0B0 và AC = A0C0 Ta có bất đẳng thức [BAC > \B0A0C0

Không mất tính tổng quát giả sử AB ≥

AC Ta đem hình tam giác ABC đặt

chồng lên hình tam giác A0B0C0 sao cho

Nếu như [BAC = \B0A0C0 thì ta cũng dễ dàng thấy rằng BC = B0C0,

do ∆ABC và ∆A0B0C0 (c.g.c) Vậy ta có [BAC > \B0A0C0 khi và chỉ khi

Bài toán 3 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến Chứng minhrằng [BAC ≥ 900 khi và chỉ khi AM ≤ 12BC

Giải Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua trung điểm M của cạnh BC

Tứ giác ABA0C là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm củamỗi đường nên ABA0C là hình bình hành

ABA0 Do [BAC + \ABA0 = 1800 ,

cho nên [BAC ≥ \ABA0 khi và chỉ khi

[

BAC ≥ 900 Tóm lại, AM = 12AA0 ≤

1

2BC khi và chỉ khi [BAC ≥ 900

Định lý 23 Trong những đường xiên

nối một điểm M cho trước với điểm N trên một đường thẳng d cho trước,đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn

3.2 Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt

Trong một tam giác, mối quan hệ giữa các cạnh dẫn đến mối quan hệvới các đại lượng đặc biệt Với đường cao ta dễ thấy là đường cao tươngứng với cạnh lớn hơn thì ngắn hơn Đối với đường trung tuyến và đườngphân giác ta cũng sẽ chứng minh rằng ứng với cạnh dài hơn là đườngtrung tuyến và đường phân giác ngắn hơn

Định lý 24 Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài hơn là đường cao,đường trung tuyến và đường phân giác ngắn hơn

Chứng minh Giả sử c < b, ta sẽ chứng minh rằng hb < hc, mb < mc và

tam giác có hai cặp cạnh bằng

nhau (AP chung và BP =

CP ), ta có [AP B < [AP C

Gọi G là trọng tâm của tam

giác ABC Xét hai tam giác

GP B và GP C là hai tam giác

có [BT C = \BKC = bA + C b

2 và ta có[

BT C < [BLC

Mặt khác, vì T C = BK, và BK <

CL nên T C < CL Trong tam giác T LC, ứngvới cạnh lớn hơn là góclớn hơn theo định lí 21, cho nên [CLT < [CT L Từ các bất đẳng thức[

BLC > [BT C và [CLT < [CT L, ta có [BLT < [BT L Theo định lí 21 ta

Định lý 25 Trong tam giác ABC ta luôn có

ma ≥ la ≥ ha

Chứng minh Gọi H là chân đường cao, L là chân đường phân giác và

M là chân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A Ta chứng minh rằng

L nằm trên đoạn thẳng nối HM , và áp dụng định lí 23 để có bất đẳngthức cần chứng minh

Hình 9:

Dễ thấy định lí hiển nhiên đúng cho

trường hợp tam giác ABC cân tại đỉnh

A Để tiện chứng minh trong trường

hợp tam giác không cân tại A, ta giả sử

BAM = \M A0C > \CAM và đó điểm L

nằm trong góc \BAM Mặt khác, do \BAH phụ với góc bB và \CAH phụvới góc bC, cho nên \BAH < \CAH Do đó AL phải nằm trong góc \CAH.Tóm lại, điểm L nằm giữa điểm H và điểm M và ta có HM > HL

Giả sử A0 là điểm đối xứng

với điểm A qua đường phân giác

ngoài của góc C Khi đó các điểm

A0, C, B thẳng hàng và M A0 =

M A Do đó

M A + M B = M A0+ M B

> A0B = CA0+ CB = CA + CB

4 Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học

Định lý 27 (Công thức Euler) Gọi R và r lần lượt là bán kính củađường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC, d là khoảngcách giữa tâm hai đường tròn đó Ta có

Chứng minh

Hình 11:

Gọi O, I lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ABC

Biết rằng đường tròn ngoại tiếp

tam giác BCI có tâm D là trung

điểm của cung

_

BC Gọi M làtrung điểm của BC và Q là hình

chiếu của I trên OD Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và khi tam giác ABC đều

Bài toán 5 Cho tam giác ABC với R là bán kính đường tròn ngoạitiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p là nửa chu vi tam giác ABC.Chứng minh rằng r ≤ p

3√

3 ≤ R

2.Giải Ta có [ABC] = abc4R = pr, suy ra 2p = a + b + c ≥ 3√3

sin B + sin C ≤ 3

√ 3

2 Bất đẳng thức này đúng vì hàm số f (x) = sin x làhàm lồi trên (0, π), do đó sin A+sin B+sin C3 ≤ sin A+B+C

3
= sin 600 =

√ 3

2 Định lý 28 (Công thức Leibniz) Cho tam giác ABC với độ dài cáccạnh là a, b, c Gọi G là trọng tâm và (O, R) là đường tròn ngoại tiếp tamgiác Khi đó

Để chứng minh bài toán này ta sử dụng

định lí Stewart "Nếu L là điểm nằm trên

cạnh BC của ∆ABC và nếu AL = l, BL =

m, LC = n, thì a(l2 + mn) = b2m + c2n"

Áp dụng định lí Stewart cho ∆OAA0,

trong đó A0 là trung điểm của BC, ta

được AA0(OG2 + AG.GA0) = A0O2.AG +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm của tam giác ABC.Bài toán 6 Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c Chứngminh rằng 4√

3 [ABC] ≤ a+b+c9abc Giải Sử dụng bất đẳng thức Leibniz với lưu ý 4R [ABC] = abc ta có9R2 ≥ a2 + b2 + c2 ⇔ a2b2c2

16[ABC]2 ≥ a2+b92+c2 ⇔ 4 [ABC] ≤ √ 3abc

a 2 +b 2 +c 2 Mặtkhác, Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho a + b + c ≤ √

Bài toán 7 Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh

AB, BC, CA tại D, E, F , tương ứng.Kí hiệu p là nửa chu vi của tam giácABC Chứng minh rằng EF2 + F D2 + DE2 ≤ p32

Giải Thấy rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC là đường tròn ngoạitiếp tam giác DEF Áp dụng bất đẳng thức Leibniz cho tam giác DEF ,

ta được EF2 + F D2 + DE2 ≤ 9r2 Mặt khác, theo bài toán 5 ta có

p2 ≥ 27r2 Do đó EF2 + F D2 + DE2 ≤ p32

Định lý 29 (Định lí Euler) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đườngtròn tâm O, bán kính R M là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳngtam giác Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên cáccạnh BC, CA, AB Khi đó diện tích của tam giác XY Z có thể được tínhtheo diện tích tam giác ABC và khoảng cách M O theo công thức sau

[XY Z] = 1

4

1 − M O

2

R2

Chứng minh

Hình 13:

Kéo dài AM, BM, CM cắt đường tròn

ngoại tiếp tại các điểm X0, Y0, Z0 tương ứng

AC.BC sin C (vì sin B = AC

2R,

sin X0

Y0Z0 = 1

2R)

Chú ý 3.

1) Tam giác XY Z nêu trong định lí được gọi là tam giác Pedal

2) Nếu M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì [XY Z] =

0 Điều đó có nghĩa là tam giác XY Z suy biến thành đường thẳng, đóchính là đường thẳng Euler

3) Nếu M ≡ I (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) thì XY Z

là tam giác nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính r có các góc X, Y, Ztương ứng bằng π2 − A2,π2 − B2,π2 − C2 Bằng các phép biến đổi sơ cấp từcông thức (40) sẽ suy ra công thức Euler OI2 = R2 − 2Rr

Hệ quả 6 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì nằm trong mặtphẳng tam giác Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lêncác cạnh BC, CA, AB Khi đó

[M N P Q] ≤ 1

2[ABCD] Giải Gọi K là giao điểm 2 đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD

Hình 14:

Dễ thấy KM N là tam giác Pedal dựng

từ điểm K của tam giác ABC Do đó

Suy ra [M N P Q] ≤ 12 [ABCD].

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứgiác ABCD

Bài toán 9 (Balkan, 1999) Cho ABC là một tam giác nhọn và L, M, N

là các chân đường cao hạ từ trọng tâm G của ∆ABC tới các cạnh

BC, CA, AB, tương ứng Chứng minh rằng

4

27 <

[LM N ][ABC] ≤ 1

4.Giải Ta có tam giác LM N là tam giác Pedal dựng từ trọng tâm G củatam giác ABC Áp dụng định lí 13, ta có [LM N ] = 14

... minh

5 Bất đẳng thức tam giác đặc biệt

5.1 Các bất đẳng thức tam giác

Tam giác có số tính chất đặc biệt, nói chung khơng cịn đúngtrong tam giác tùy ý Trong mục này,... 1

72 Thay bất đẳng thức vào (44), ta bất đẳng thức (46)

Bài toán 14 Cho tam giác ABC cạnh a P điểm tùy ýnằm tam giác Chứng minh

P A.P B + P B.P C... 2 [ABC] (vì G nằm tam giác ABC)

+ Dễ thấy [LM N ] ≤ 14 Đẳng đẳng thức xảy G ≡ O haykhi tam giác ABC

+ Ta chứng minh bất đẳng thức lại Thật vậy, để ý