Các chuyên đề chọn lọc sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức hình học

 Chuyên đề 3 trình bày về phương pháp pRr để chứng minh các bất đẳng thức hình học, lượng giác trong tam giác..  Chuyên đề 8 trình bày về phương pháp lượng giác hóa để chứng minh các

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC SÁNG TẠO VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

“Làm sao để giải được nhiều bài toán bất đẳng thức hình học, làm thế nào để sáng tạo ra các bất đẳng thức hình học mới” Đó là những câu hỏi

không chỉ các em học sinh mà nhiều bạn đọc cũng tìm tòi và mong muốn có được câu trả lời Cuốn sách này được viết ra ngoài mục đích trả lời phần nào cho các câu hỏi đó thì cũng hướng đến cảm thụ vẻ đẹp của bất đẳng thức hình học thông qua nhiều chuyên đề khác nhau Trong số các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học về tam giác, chúng ta thường gặp các phương pháp chứng minh mà đẳng thức xảy ra khi tam giác đều, thì ở cuốn sách này trình bày thêm những phương pháp khác như xây dựng các bộ trội của các cạnh, các góc, để từ đó sáng tạo nên những bất đẳng thức mới mà đẳng thức xảy ra có thể là tam giác vuông, tam giác tù Ngoài các phương pháp chứng minh và sáng tạo đẳng thức, bất đẳng thức thì các tác giả trình bày thêm những chuyên đề bất đẳng thức nổi tiếng như bất đẳng thức Euler, Klamkin, Erdos-Mordell, với việc mở rộng và tổng quát hóa, các kết quả nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới trong thời gian gần đây cũng được cập nhật vào cuốn sách, để bạn đọc có nhìn nhận đa chiều và cảm nhận vẻ đẹp của các khám phá đó Ngoài ra xuyên suốt cuốn sách các tác giả cố gắng nêu bật ý tưởng sáng tạo các hệ thức hình học bằng cách chia sẻ với bạn đọc cách tiếp cận, cách xây dựng nên những bất đẳng thức hình học tổng quát và khai thác để tạo ra những bất đẳng thức mới, tạo ra nhiều mảnh đất màu mỡ để bạn đọc từ đó làm cơ sở gieo trồng những tìm tòi tiếp theo, làm phong phú kho tàng các hệ thức hình học trong tam giác Đây chính là điểm mới và khác biệt của cuốn sách này so với các cuốn sách khác về bất đẳng thức hình học

Cuốn sách gồm 22 chuyên đề:

 Chuyên đề 1 trình bày về xây dựng các hệ thức hình học và lượng giác

trong tam giác thông qua các công thức tính diện tích tam giác

 Chuyên đề 2 trình bày về bất đẳng thức Blundon, Gerretsen và áp dụng,

chuyên đề này cũng hướng tới phương pháp sử dụng hai bất đẳng thức này trong việc chứng minh nhiều bất đẳng thức hình học

 Chuyên đề 3 trình bày về phương pháp pRr để chứng minh các bất đẳng

thức hình học, lượng giác trong tam giác Các yếu tố gồm các cạnh, các

góc, bán kính đường tròn bàng tiếp, đường cao, luôn biểu diễn được qua ba yếu tố cơ bản của tam giác là P R r, , Vì vậy đây là phương pháp hữu hiệu cho nhiều lời giải hay và đẹp

 Chuyên đề 4 trình bày về bất đẳng thức Euler, mở rộng của bất đẳng

thức Euler trong tam giác, trong tứ giác và trong không gian

 Chuyên đề 5 trình bày về bất đẳng thức Finsler-Hadwiger với những

chứng minh mới, cũng như các mở rộng và đánh giá đặc sắc liên quan đến bất đẳng thức này trong vài năm gần đây

 Chuyên đề 6 trình bày về phương pháp hình học hóa đại số để chứng

minh các bài toán bất đẳng thức đại số

 Chuyên đề 7 trình bày về phương pháp đại số hóa hình học để chứng

minh các bài toán bất đẳng hình học

 Chuyên đề 8 trình bày về phương pháp lượng giác hóa để chứng minh

các bài toán bất đẳng thức đại số và hình học

 Chuyên đề 9 trình bày về một lớp các bất đẳng thức lượng giác trong

tam giác có tham số ở mẫu

 Chuyên đề 10 trình bày về phương pháp sử dụng bất đẳng thức Walker

để chứng minh các bất đẳng thức hình học và lượng giác trong tam giác nhọn

 Chuyên đề 11 trình bày về một số phát hiện nhỏ trong việc chứng ninh

bất đẳng thức liên quan đến đường trung tuyến

 Chuyên đề 12 Trình bày về một số bất đẳng thức liên quan đến tâm

đường tròn nội tiếp tam giác

 Chuyên đề 13 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức

Chebyshev để chứng minh bất đẳng thức hình học và sáng tạo các bất đẳng thức mới

 Chuyên đề 14 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức Jensen

để chứng minh và sáng tạo các bất đẳng thức mới

 Chuyên đề 15 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức

Popoviciu để chứng minh và sáng tạo các bất đẳng thức mới

 Chuyên đề 16 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức Jensen

và bất đẳng thức Popoviciu mở rộng để chứng minh và sáng tạo các bất đẳng thức mới với lớp tam giác đẳng chu

 Chuyên đề 17 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức

Karamata để chứng minh và sáng tạo các hệ thức hình học trong tam giác

 Chuyên đề 18 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức

Karamata để chứng minh và sáng tạo các hệ thức lượng giác trong tam giác

 Chuyên đề 19 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức

Klamkin, các kết quả mở rộng để chứng minh và sáng tạo các bất đẳng thức hình học mới liên quan các yếu tố trong tam giác

 Chuyên đề 20 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức Wolstenholme , các kết quả mở rộng để chứng minh, sáng tạo các bất

đẳng thức mới liên quan các yếu tố trong tam giác

 Chuyên đề 21 trình bày về phương pháp ứng dụng bất đẳng thức Mordell, các kết quả mở rộng để chứng minh và sáng tạo các bất đẳng

Erdos-thức mới liên quan các yếu tố trong tam giác

 Chuyên đề 22 trình bày về ứng dụng ba định lí của J Liu trong việc xây

dựng và sáng tạo bất đẳng thức mới trong tam giác, bất đẳng thức giữa hai tam giác, bất đẳng thức giữa ba tam giác,…

Hi vọng cuốn sách sẽ có ích cho nhiều độc giả, là các học sinh THCS, học sinh THPT trong ôn tập thi học sinh giỏi và thi Đại học, cuốn sách cũng hướng tới là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên Đại học và Cao đẳng khoa toán, các thầy cô giáo giảng dạy và bạn đọc yêu thích môn toán Các tác giả hoan nghênh và tiếp thu mọi sự đóng góp, trao đổi về cuốn sách Thư từ liên lạc xin gửi về:

Hoàng Minh Quân, Trường Trung học phổ thông Ngọc Tảo, Phúc Thọ, Hà

Nội Điện thoại: 0948668680 Email: hoangquanhsg@gmail.com

Hoàng Thị Bích Ngọc, Trường Trung học phổ thông Phúc Thọ, Phúc Thọ,

Hà Nội Điện thoại: 0979957668 Email: hoangngocsptk52@gmail.com

Hà Nội, ngày 25 tháng 3 năm 2020

Các tác giả

Chuyên đề 1

XÂY DỰNG CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC TỪ

CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Ý tưởng của phương pháp này là xuất phát từ các công thức tính diện tích tam giác, ta xây dựng được hệ thức hình học ban đầu (hệ thức gốc), từ đó vận dụng các mối liên hệ hình học giữa các yếu tố trong tam giác, để xây dựng và phát triển thêm các đẳng thức hình học mới Với các đẳng thức hình học mới này, ta lại kết hợp với các bất đẳng thức Euler, bất đẳng thức Blundon, Gerretsen, sẽ lại tạo thêm những bất đẳng thức mới khác

1 XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

1.1 Xây dựng các hệ thức hình học từ công thức diện tích tam giác Bài 1 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (1) được chứng minh

Bài 2 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (2) được chứng minh

Bài 3 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (3) được chứng minh

Bài 4 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

.4

ab bc ca p Rr r

Vậy (4) được chứng minh

Bài 5 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (5) được chứng minh

Hệ quả 1 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Khi đó ta có

.

p  Rr r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam ABC đều

Bài 6 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

4

.2

Bài 10 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (10) được chứng minh

1.2 Xây dựng các hệ thức lượng giác của sin và côsin từ công thức diện tích tam giác

Bài 11 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng cosA cosB cosC 1 r

2

b c a a c b a b c r

a b c ab a b bc b c ca c a r

 2 2 2  2 2 2  2 2 2

1

21

Vậy (11) được chứng minh

Bài 12 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (12) được chứng minh

Bài 13 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

sin2 sin2 sin2 1

cos cos cos 1

1 2sin 1 2 sin 1 2 sin 1

Bài 18 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

2 cos cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos cos

4

2 cos cos cos cos cos cos 1 3

24

2 cos cos cos cos cos cos

24cos cos cos cos cos cos



Vậy (18) được chứng minh

Bài 19 Cho tam giácABCnhọn có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

2 2

Vậy (19) được chứng minh

Bài 20 Cho tam giácABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

cos cos cos cos cos cos cos cos cos

Vậy (20) được chứng minh

1.3 Xây dựng các hệ thức lượng giác của tang và cotang trong tam giác

Bài 21 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Bài 25 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (25) được chứng minh

Nhận xét: Từ các đẳng thức trên kết hợp các công thức lượng giác, bạn đọc

có thể xây dựng và sáng tạo thêm nhiều đẳng thức lượng giác khác liên quan đến giá trị Sin và Cos, tang và cotang của các góc trong tam giác

2 XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC TỪ CÔNG THỨC DIỆN TÍCH

Định lí (Bất đẳng thức Euler) Cho tam giác ABC có BCa, CAb,

44

2.1 Bất đẳng thức cho các hệ thức hình học trong tam giác

Bài 26 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (26) được chứng minh

Bài 27 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Bài 30 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

27r2 h h a bh h b c h h c a  p2 (30)

Chứng minh Theo (9) thì

2

2

Vậy (30) được chứng minh

Nhận xét: Với ý tưởng tương tự, bằng cách sử dụng bất đẳng thức Euler, bất

đẳng thức Gerretsen, kết hợp với các đẳng thức hình học khác thì bạn đọc có thể xây dựng và sáng tạo thêm rất nhiều bất đẳng thức hình học mới

2.2 Bất đẳng thức cho các hệ thức lượng giác trong tam giác

Bài 31 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (31) được chứng minh

Bài 32 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

(Đúng vì là bất đẳng thức Gerretsen) Vậy (32) được chứng minh

Bài 33 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

    Vậy (33) được chứng minh

Bài 34 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (34) được chứng minh

Bài 35 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng

Vậy (35) được chứng minh

Nhận xét: Với ý tưởng tương tự, bạn đọc có thể xây dựng và sáng tạo rất

nhiều bất đẳng thức lượng giác từ các hệ thức lượng giác trong tam giác

Chuyên đề 5

BẤT ĐẲNG THỨC FINSHER-HADWIGER

Chuyên đề này trình bày một số cách chứng minh về bất đẳng thức Hadwiger, ngoài ra cũng đề cập tới nhiều bất đẳng thức đẹp, hay và chặt với những đánh giá xung quanh đến bất đẳng thức này

sin sin sin

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

2 CÁC BÀI TOÁN XUNG QUANH BẤT ĐẲNG THỨC FINSLER-HADWIGER

Bài 1 (Bất đẳng thức Weitzenbock) Trong mọi tam giác ABC với độ dài các cạnh là a b c, , Khi đó

Bài 4 (Cezar Lupu, Cosmin Pohoata) (Làm mạnh bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Ta có (4) được viết lại với hình thức khác như sau

Bài 11 Cho tam giác nhọnABC Chứng minh rằng

cot cot cot 3 2 tan tan tan

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh hoàn toàn

Chứng minh 2 Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

Bình phương hai vế của bất đẳng thức, ta có 3p2 4R220Rr25 r2

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Walker trong tam giác nhọnABC với

Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức Euler

Bài 12 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng

Chứng minh Không mất tổng quát, giả sử abc, Khi đó

Vậy (13) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Hệ quả Đặt

;

Q a b  b c  c a M  a b b c  c a ,

ta có dãy bất đẳng thức Finsler-Hadwiger rất đẹp sau đây

2 2

2 2

t t

t t t

28

24

Vậy (*) được chứng minh Do đó bất đẳng thức (15) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Bài 1.5 Chứng minh rằng với mọi 0, ta có

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh hoàn toàn

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCđều

2 BẤT ĐẲNG THỨC CHO TANG VÀ COTANG CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC

Trước hết ta có hệ thức quan trọng sau

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

Thật vậy, ta có tan  tan tan tan tan

Bài 2.1 Cho ABC nhọn Chứng minh rằng

tanAtanBtanC3 3

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có

tanAtanBtanC3 tanAtanBtanC 3 tanAtanBtanC

tanA tanB tanC3 27 tan A tanB tanC

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

Bài 2.2 Cho ABC nhọn Chứng minh rằng

tan Atan Btan C9

Chứng minh Theo kết quả Bài 2.1, ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có

tan tan tan

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

Bài 2.8 Chứng minh rằng với mọi 2

Bài 3.8 Chứng minh rằng với mọi 2

Cho tam giác ABC và các số thực x y z, , Khi đó

2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos

sin 2 sin sin sin

2 cos cos 2 sin sin

2 cos 2 cos 2 cos

x y z xz B yz A xy C

Do đó (I) được chứng minh hoàn toàn

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khixyz 0 hoặc x y z: :  sinA: sinB: sin C

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Wolstenholme (I) với xyz 1, ta

có điều phải chứng minh

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Wolstenholme (I) với x 1,y 2,z 3,

ta có

1  2  3  2.2.3cosA 2.3.1cosB 2.1.2cosC

14 12 cosA 6 cosB 4 cosC 6 cosA 3cosB 2 cosC 7.

Bài 3 cosA 2 cos B cosC 2. (3)

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Wolstenholme (I) với x 1,,

2

2

yz , ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Với mọi số thực x y z, , Chứng minh rằng

B C 

  , ta có điều phải chứng minh

Bài 5 Với mọi số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca 1 Chứng minh

Ta được bất đẳng thức tương đương với cos cos 3cos 11

Nhận xét 1 Thông qua lời giải Bài 5 Ta có thể thiết kế thêm nhiều bài toán bất đẳng thức mới với giả thiết “Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn

2cos cos 2 cos cos 2cos cos

4 cos cos cos

Với 2 cos cos ; 2cos cos ; 2 cos cos

Bài 7 cos cos cos 1

Vậy (8) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

: : sin : sin : sin

a b c A B C

Bài 9 (Bất đẳng thức Barrow) Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong tam giác Đặt R R R1, 2, 3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P tới các đỉnh A B C, , và U V, , W theo thứ tự là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh P của các góc   BPC CPA APB, , tới các cạnh BC CA AB, , Khi đó

2 cos

.

PA PB l

.cos cos cos

Trở lại bài toán, áp dụng bổ đề, ta có

Vậy (18) được chứng minh

Bằng ý tưởng tương tự, kết hợp bất đẳng thức Wolstenholme với các đẳng thức hình học, lượng giác khác, bạn đọc sẽ sáng tạo ra thêm nhiều bất đẳng thức hình học và lượng giác khác

3 MỘT SỐ HỆ QUẢ QUAN TRỌNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC WOLSTENHOLME

xxa yyb zzc, ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2 2 2 2 2 sin 2 sin 2 sin