CHỦ ĐỀ 1: PHÉP CỘNG , TRỪ , NHÂN CHIA VÀ NÂNG LŨY THỪA TRONG N I.MỤC TIÊU + Thực hiện thành thạo các phép toán trên tập hợp N: Cộng trừ, nhân chia, nâng lên luỹ thừa. + Học sinh áp dụng được các tính chất cơ bản vào tính nhanh, tính hợp lý. +Giải một số dạng tốn trong tập hợp N II. TĨMTẮT LÝ THUYẾT - Trên tập hợp các số tự nhiên có các phép tốn : cộng , trừ , nhân , chia các số tự nhiên và phép lũy thừa -Điều kiện để phép trừ hai số tự nhiện ln thực hiện được trên tập hợp N là số bị trừ phải lớn hơn hoặc bằng số trừ -Các tính chất của phép cộng , nhân hai số tự nhiên : *Giao hốn: a+ b = b + a ; a.b = b.a *Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) ; (a . b) . c = a.( b. c) *Phân phối giữa phép nhân với phép cộng : (a + b).c = ac + bc *Nhân với 1: a . 1 = 1.a = 1 *Cộng với 0 : a + 0 = 0 + a = a -Với hai số tự nhiên a và b , trong đó b≠ 0 , nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x - Cho hai số tự nhiên a và b , trong đó b≠ 0 , ta ln tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho : a = b.q + r trong đó 0 ≤ r < b *Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết *Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia có dư Số chia bao giờ cũng khác 0 -Cơng thức nhân , chia lũy thừa cùng cơ số: a m . a n = a m + n (a ∈ N ; n ≠ 0, n ∈ N ) a m : a n = a m - n (a ∈ N , a ≠ 0; m, n ∈ N, m ≥ n ) III.BÀI TẬP Bài 1: Cho một số có 3 chữ số abc ( a, b, c khác nhau và khác 0 ) . Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ( Kể cả số ban đầu) HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 3.2.1 = 6 (số ) Bài 2: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 ( a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số? HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 3.3.2.1 = 18 ( số) Bài 3: Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? HD:Trường hợp khơng có chữ số 0 thì có 5.4.3.2.1 = 120 ( số) Trường hợp có chữ số 0 thì có 4.4.3.2.1 = 96 ( số) Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. HD: Gọi số thứ nhất là ab thì số thứ hai là ba ( 0 < a,b ≤ 9 ; a ≠ b) Theo đề ta có : 176 ab ba + Từ cột hàng chục ta thấy : a + b > 10 , từ cột hàng đơn vị ta suy ra b + a = 16 Vì a ≠ b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9 Vậy hai số cần tìm là 97 và 79 Bài 5: Cho a + c = 9 . Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc cba+ là một số có 3 chữ số Bài 6: Từ 10 chữ số 0; 1; 2 ; …; 9 hãy ghép thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại. a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng HD: a) Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục của 6 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt chọn 9; 8; 7; 6; 5 làm chữ số hàng chục , còn 5 chữ số còn lại sẽ là các chữ số hàng đơn vị Khi đó ta có tổng của 5 số là 90 + 81 +72 + 63 + 54 = 360 Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 360 ( các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho nhau 1 cách tùy ý) b)Tương tự ta có tổng 5 số là : 19 + 28 + 37 + 4 6 + 50= 180 Bài 7: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau b) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho HD:a) có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 4.3.2.1 = 4! ( số) b)Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 4.3 = 12 ( số) Bài 8:Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng của chúng có tận cùng bằng 8 không? HD: Giả sử có 5 số tự nhiên có tích bằng 2003; tích là một số lẻ nên cả 5 số đều là số lẻ, khi đó tổng của chúng là phải là một số lẻ nên không thể có chữ số tận cùng bằng 8 được. Vậy không tồn tại 5 số tự nhiên nào như vậy Bài 9:Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất: a) 38 + 41 + 117 + 159 + 62 b) 73 + 86 + 968 + 914 + 3032 c) 341.67 + 341.16 + 659.83 d) 42.53 + 47.156 - 47.114 ĐS: a) 417 ; b) 5073 ; c) 83000 ; d) 4200 Bài 10:Tính giá trị của biểu thức a) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – n) với n ∈N * và tích trên có đúng 100 thừa số b) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100 ĐS: a) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – 100) = 99.98….0 = 0 b) B = (13a + 4a )+ (19b – 2b) = 17a + 17b = 17(a + b) = 17. 100 = 1700 Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh: a) A = 199. 201 và B = 200.200 b) C = 35.53 – 18 và 35 + 53.34 c) E = 1998.1998 và F = 1996.2000 HD: a) A = 199. 201 = 199.( 200 + 1) = 199.200 + 199 và B = 200.200 (199 + 1).200 = 199.200 + 200 Vì 199.200 + 199 < 199.200 + 200 nên A < B b)C = D c)E < F Bài 12:Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp a) 12 b) 1122 ; 111222 HD: a) 12 = 3.4 b)1122 = 1100 + 22 = 11.100 + 2.11 = 11(100 + 2) = 11. 102 = 11. 3. 34 = 33. 34 c)111222 = 111000 + 222 = 111.1000 + 2.111 = 111(1000 + 2) = 111. 1002 = 111.3 . 334 = 333. 334 Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a. .bcd abc abcabc= Ta có .1000 1001. 7.143.abcabc abc abc abc abc= + = = Vậy a. .bcd abc = 7.143.abc Suy ra a = 7; b = 1 ; c = 4 ; d = 3 Bài 14: Cho a, b n ∈N * ; a > 2 ; b > 2. Chứng tỏ rằng a + b < a.b HD: Vì a > 2 ; b >2 nên a = 2 + m ; b = 2 + n ( m, n ∈N * ) Ta có a + b = ( 2 + m ) + ( 2 + n) = 4 + ( m + n) (1) a.b = (2 + m) .(2 + n) = (2 + m) .2 + (2 + m) .n = 4 + 2m + 2n + mn = 4 + 2(m + n) + m.n (2) Vì m, n ∈N * nên 2( m + n) > m + n và m.n > 0 Do đó từ (1) và (2) duy ra a + b = a.b Bài 15:a)Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ là bao nhiêu? b)Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3 HD: a) Gọi số có 3 chữ số là abc , trong đó a, b, c là số tự nhiên liên tiếp. Suy ra : c – a = 2. Số viết theo thứ tự ngược lại là cba . Ta có cba - abc = (100c + 10b + a) – (100a + 10b + a) = 100c + 10b + a – 100a - 10b – a = 99c – 99a = 99( c- a) = 99.2 = 198 b)Gọi hai số là a và b Giả sự a chia 3 dư 1; b chia 3 dư 2 Suy ra a = 3q 1 + 1; b = 3q 2 + 2 Khi đó a + b = 3q 1 + 1+ 3q 2 + 2 = 3q 1 + 3q 2 + 3 = 3(q 1 + q 2 + 1) M 3 Bài 16:Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia hết cho 2 HD: Gọi a là số bị trừ, b là số trừ ; c là hiệu của a – b Khi đó ta có : c = a – b Ta có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là a + b + c = a + b + a – b = 2a M 2 Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 }. Tìm x, y ∈M biết 30 < x – y < 40 Vì x – y > 30 nên x > 30 ⇒ x = 52 Từ x – y > 30 ⇒ 52 – y > 30 ⇒ y < 22 (1) Từ x – y < 40 ⇒ 52 – y < 40 ⇒ y > 12 (1) Từ (1) và (2) suy ra 12 < y < 22 . Do y ∈{ 1; 13; 21; 29; 52 } nên y = 13 hoặc y = 22 Bài 18: Tìm x biết: a) ( x + 74) – 318 = 200 b) 3636 : ( 12x – 91) = 36 c) (x : 23 + 45).67 = 8911 d) 420 + 65.4 = (x + 175) : 5 + 30 e) (32.15) : 2 = (x + 70) : 14 – 40 f) x – 4867 = (175.2 – 50.70) : 25 + 23 Bài 19:Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất a) (44.52.60) : (11.13.15) b) 123.456456 – 456.123123 c) (98.7676 – 9898.76) : (2001.2002.2003 1010) d) (168.168 – 168.58) : 110 e) [(456.11 + 912) . 37 ] : (13.74) f) (864.48 – 432.96) : (864.48.432) g) (16.17 – 5) : (16.16 + 11) h) (27.45 + 27.55) : (2 + 4 + 6 + … + 14 + 16 + 18) i) (26.108 – 26.12) : (32 – 28 + 24 – 20 + 16 – 12 + 8 – 4) j) (27.700 – 24.45.20) : (45 – 40 +35 –30 +25 – 20 +15 – 10 + 5) k) 1 + 6 + 11 + 16 + … + 46 + 51 l) 2 + 5 + 11 + … + 47 + 65 m) 3 + 12 + 48 + … + 3072 + 12288 n) 2 + 5 + 7 + 12 + … + 81 + 131 Bài 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ∈N HD: B có giá trị nhỏ nhất ⇔ 1003 : (999 – x) có giá trị lớn nhất ⇔ 999 – x có giá trị nhỏ nhất ⇔ 999 – x = 1 (Vì số chia phải khác 0) ⇔ x = 988; lúc đó B = 1000 Bài 21: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng một số dư , a ≥ b Chứng tỏ rằng a – b chia hết cho m HD: Gọi số dư là r, ta cò a = mq 1 + r; b = mq 2 + r Suy ra a – b = (mq 1 + r) – ( mq 2 + r) = mq 1 + r – mq 2 – r = m ( q 1 – q 2 ) M m Bài 22: Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương HD: Gọi sô bị chia , số chia và số dư lần lượt là a, b, q, r Ta có a = b.q + r ( b ≠ 0 ; r < b) Suy ra : b. q = a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11 Vì b > 12 nên ta chọn b = 143 , q = 1 hoặc b = 13; q = 11 Bài 23: Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số dư. HD: Ta phải tìm x ∈ N sao cho x = 12.q + q hay x = 13q ( với q <12) Lần lượt cho q = 0; 1; 2…; 11 ta tìm được c Vậy C = {0; 13; 26; 39; ….; 143} Bài 24: Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm số chia HD: Gọi số chia là b, theo đầu bài ta có ; 129 = b.q 1 + 10 ⇒ b.q 1 = 119 = 119. 1 = 17.7 61 = b.q 2 ⇒ b.q 2 = 51 = 51. 1 = 17.3 Vì b > 10 và q 1 ≠ q 2 nên ta chọn b = 17 Bài 25: Cho tổng S = 7 + 10 + 13 + … + 97 + 100 a)Tổng trên có bao nhiêu số hạng b)Tìm số hạng thứ 22 c)Tính S HD: a)Số số hạng của tổng là (100 – 7) : 3 + 1 = 32 ( số hạng) b)Gọi số hạng thứ 22 là x , ta có : (x – 7) : 3 + 1 = 22 ⇒ 70 c)Ta có S = (7 + 100) .32 : 2 = 1712 Bài 26: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3; A = { x ∈N / x = 7.q + 3 ; q ∈N ; x ≤ 150 } a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn b)Tính tổng các phần tử của A HD:a)A = {3; 10; 17; 24; …; 143; 150} b)Dễ thấy dãy số 3; 10; 17; 24; …; 143; 150 là một dãy số cộng với u 1 = 3 ; d = 7 Số hạng của dãy là n = (u n – u 1 ) : d + 1 = (150 – 3): 7 + 1 = 22( số hạng) Tổng các số hạng của dãy là S n = (u 1 + u n ).n : 2 = (3 + 150).22:2 = 1683 Bài 27:Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương ĐS : 49 Bài 28: Trong các số sau, những số nào bằng nhau? Số nào nhỏ nhất? Số nào lớn nhất? 2 4 ; 3 4 ; 4 2 ; 4 3 ; 99 0 ; 0 99 ; 1 n Bài 29: Kiểm tra xem đẳng thức sau đúng hay sai? Nếu sai hãy di chuyển 1 chữ số đến vị trí khác để được đẳng thức đúng. 152 – 5 3 = 10 2 ĐS: 15 2 - 5 3 = 10 2 Bài 30: Chứng tỏ tổng, hiệu sau đây là một số chính phương a)3 2 + 4 2 b)13 2 - 5 2 c)1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 Bài 31: Viết các tổng hoặc hiệu sau dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 a) 17 2 - 15 2 b) 6 2 + 8 2 c) 13 2 - 12 2 d) 4 3 – 2 3 + 5 2 Bài 32: Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số: a)2.8 4 ; b)25 6 .125 3 ; 625 5 : 25 7 ; d) 12 3 . 3 3 e)2 3 .8 4 .16 3 ; f) 64 3 .4 3 : 16 ; g) 81 2 : (3 2 .27) h) (8 11 .3 17 ): (27 10 . 9 15 ) Bài 33: Tính : 4 0 3 1 89 1 2 2 0 3 3 3 1 2 0 6 ;2 ;7 ;2003 ;2009 Bài 34: Tìm số tự nhiên x biết: a) 2 x – 15 = 17 b) (7x – 11) 3 = 2 5 .5 2 + 200 c) x 10 = 1 x d) x 10 = x e) (x – 1) 3 = 27 f) (2x + 1) 2 = 25 g) 5 x+2 = 625 h) (2x – 3) 2 = 49 i) (x – 2) 2 = 1 Bài 35: Tìm số tự nhiên n biết: a) 32 < 2 n < 128 b) 2.16 ? 2 n > 4 c) 9.27 ≤ 3 n ≤ 243 Bài 36: Tính giá trị của biểu thức: A = (11.3 22 .3 7 – 9 15 ) : (2 . 3 14 ) 2 Bài 37: Hiệu của hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 11 và dư 12. Tìm hai số đó. HD: Gọi hai số cần tìm là a và b. (a,b ∈N, a > b >0 ) Theo đề bài ta có : a – b = 862 Mặt khác , theo đònh nghóa phép chia có dư, ta có: a = 11b + 12 ⇒ a – 11b = 12 ⇒ a – b – 10b = 12 ⇒ (a – b) – 10b = 12 ⇒ 862 – 10b = 12 ⇒ b = 85 Suy ra : a = 862 + 85 = 947 Bài 38: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư là 8. Tìm số bị chia và số chia HD: Gọi số bị chia và số chia lần lượt là a và b (a,b ∈N,a > b >0) Theo đề ta có : a + b = 72 và a = b.3 + 8 Suy ra b.3 + 8 + b = 72 ⇒ 4b = 64 ⇒ b = 16 Do đó a = 72 – 16 = 56 Vậy số bị chia là 56 và số chia là 16 Bài 39: Tìm các số tự nhiên a , biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15 HD: Khi chia a cho 3 thì thương là 15 thì ta có hệ thức : a = 3.15 + r ( 0 ≤ r < 3 ) *Nếu r = 0 thì a = 3.15 = 45 *Nếu r = 1 thì a = 3.15 + 1 = 46 *Nếu r = 2 thì a = 3.15 + 2 = 47 Vậy a có thể là các số 45; 46; 47 Bài 40: Tổng của hai số bằng 38570. chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 3 và dư là 922. Tìm hai số đó. ĐS: Số lớn : 29158 ; số nhỏ : 9412 Bài 41: Hiệu của hai số bằng 8210. chia số lớn cho số nhỏ, ta được thương là 206 và dư 10. Tìm hai số đó. ĐS : Số lớn :8250 ; số nhỏ : 40 Bài 42: Năm nhuận có 366 ngày.Hỏi năm nhuận gồm bao nhiêu tuần và còn dư mấy ngày ? ĐS: Năm nhuận có 52 tuần , dư 2 ngày . nhất a) (44.52 .60 ) : (11.13.15) b) 123.4 564 56 – 4 56. 123123 c) (98. 767 6 – 9898. 76) : (2001.2002.2003 1010) d) ( 168 . 168 – 168 .58) : 110 e) [(4 56. 11 + 912). (13.74) f) ( 864 .48 – 432. 96) : ( 864 .48.432) g) ( 16. 17 – 5) : ( 16. 16 + 11) h) (27.45 + 27.55) : (2 + 4 + 6 + … + 14 + 16 + 18) i) ( 26. 108 – 26. 12) : (32