ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1 )
(
2
x
x x
g
2) Tính nguyên hàm của hàm số 2 3
) 1 (
1 )
(
x x
f
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0 , )
(x x x2 a a
2) Tính nguyên hàm của hàm số
0 , )
(x x2 a a
3) Tính nguyên hàm của hàm số
0 , )
2 (
)
(x x x2 a a
Bài 3: CMR hàm số F(x) x ln( 1 x) là một
nguyên hàm của hàm số f x x x
1 ) (
Bài 4: CMR hàm số
0
# a , ln
2 2
)
(x x x2 a a x x2 a
nguyên hàm của hàm số f(x) x2a
Bài 5: CMR hàm số
0 x khi
0
0 x khi 4
) 1 ln ( )
(
2 x x
x
x
nguyên hàm của hàm số
0 x khi
0
0 x khi x.lnx
)
( x
f
Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số
2
3 x voi 3 2 ) (
)
ax bx c x
x
nguyên hàm của hàm số
3 2
7 30 20
) (
2
x
x x
x f
Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng công
thức
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
x x
31
1
x x
3
1 2) ( x 2 4 x)(x x 4 x) dx
1 2
1
; 1 2
4
2
2
x x
x x dx
x
x
x
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1
1
; 4
2
x
x dx
x
dx
sin
; sin
dx dx
x
dx
x x
x
dx dx
x
dx
x
sincos.2 . ; .ln .ln(ln ).
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1) e x e x 2 dx ; 2x 3x dx
2)
ln
;
cos 2
x x
dx dx
x
e
3)
4 9
3 2
; ) 1
e dx x x dx
x x x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1) sin 2 cos ; cot
cosx).dx (sinx
; cos
; cos
dx x
dx
Bài 3 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp phân tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 2
1 6 4 f(x)
; 2 3 ) (
2 2
3
x
x x x
x f
2)
6
2 )
(
; 1 3 2
2 4
x x x f x
x x
3)
9 4
1 9 4 ) (
; 2
1
3 2
x
x x x f x
x
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f(x) 3 x x4 x; f(x) x4 x 4 2
2)
3 4
1 )
( ; 1 2 2
1 )
(
x x x
f x x x
3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f(x) 3 2x 2x2; f(x) 2 2x 3 3x 4 4x
x x x
e x f
10
5 2 f(x)
; )
(
1 1 2
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
) 1 (
; ) 1
2 10
x
x dx
x x
2)
3 1
; 5 2
x
dx x dx
x x
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)
Cho hàm số
2 3
3 3 3
3 2
x x
x x y
1) Xác định a,b,c để ( 1) ( 2)
) 1
x
c x
b x
a y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1) f(x) cos 4 x; f(x) sin 4x cos 4 x
2) f(x) cos 6 x sin 6 x; f(x) cotg2x
3)
x x
x x
sin
1 f(x)
; sin cos 8 )
4)
x x
x x
x x
sin cos
2 cos f(x)
; sin cos
1 )
5)
2 3 x
x f(x)
; 2 sin 3
cos sin
)
x x
x x
x f
) 1 x (x
1 f(x)
;
1 ) (
x x x f
7)
) x.e x.(1
1 x f(x)
; 1
1 )
e x
f
Trang 2Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
(Không có hàm ngợc )
2 2 2
3 2
x
13 f(x)
; 2 3
)
(
x e x x x x
x
x
2)
2 2
x -1
1 1 f(x)
; 3 )
x
x
x
1 x
2 )
(
; x 1
1 )
(
2
x
x x
f x
x
f
Bài 4 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp đổi biến số
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
3 2 3 2
).
1 2 ( B
; ) 4
3
x x x x
dx x x
dx x
A
x x x
x dx
x
x
) 2 3 (
3 B
; 1
1
2 4
2 4
2
x x
x dx
x
x
) 1 (
1 B
; ) 1 (
1
4
4 2
6
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
x x
xdx
1 1 1
2 2
dx e
dx
A
1 ) 1 ( 1 B
;
6 5 B
; 1 2
x x
dx x
x
dx A
4)
2
3
3 ; B 1 )
2 ).(
1
dx x x
x
dx A
1 1
B
; 2 2 )
1
dx x
x x
dx A
1
2 B
; 1 ).
4 3
(
) 1 8 6
(
2 2 2
2
3
x
dx x
x x
dx x x
A
1 B
; dx 1
2
3 2
3
x x
dx x
x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)
x
x x x
x x
dx A
sin 2
cos sin cos B
; 1 cos sin
2
2
x x
x x
dx
cos sin
1 B
; sin 2 2 sin
x x
x x
x
dx A
1 sin cos
sin B
; cos
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
x
x dx
x x
A
2 B
; ) 5 1
(
2 10
2 3
x
dx dx
x
dx
A
3 2 3
2 ) ; B ( 4 ) 4
(
1
x B
; 1
2
5 6
x
dx x
dx x A
2
x
2
2
x
dx A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1) Ax2 ax.dx
x
x
1
1 B
x
x x
dx x x
2 2
3
cos
sin B
; cos 1
cos sin
e e dx
x x
B
; sin cos
e e dx
x x
4
1 B
; ).
ln 1 (
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp tích phân từng phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
x
x x
x
f( ) ln ; f(x) ln ; f(x) x 2 sin 2
2
2) f(x) (x 1 ) 2 cos 2 x ; f(x) x2 1e2x 1 ; 3) ( ) 2 sinx ; f(x) -2x cos 3
x e
e x
4) ( ) (cot 2 cot 1 ) x ;
e gx x
g x
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) Ax cos x.dx; B e ax sin(bx).dx
2) Ae2x cos 2 x.dx; B x n lnx.dx
3) Ax2 e3x.dx; B x2 sin( 3x).dx
x
dx e x
) 2 (
2 2
x
dx e x dx
x
x A
x
cos 1
) sin 1 ( B
; sin
) ln(sin
2
6) A x cos x.dx; B e ax sin(bx).dx
7) ( 3 4 2 2 7 ) 2 ;
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
x
x x
dx
cos B
;
x
x dx
x
x x
sin
cos B
; 1
1 ln
2
x
dx x
sin
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x x
x x f a
4 2 )
(
x x x f b
) ( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
) 1 (
1 )
(
x x x
f
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
2 3
3 3 3
3 2
x x
x x y
Trang 31) Xác định các hằng số a,b,c để
) 2 ( ) 1 ( )
1
x
c x
b x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1002 2
2001
) 1
(
)
(
x
x
x
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
2 2
1 )
(
; 1 2 3
1 )
x x x f x
x
x
f
2)
) 2 2 (
1 )
(
; ) 1 2 3
(
1 )
x x x f x
x
x
f
) 5 4 (
13 7 )
(
; ) 5 4 (
13 7 )
x x
x x
f x
x
x x
f
4)
1
1 f(x)
: 2
3 2 )
2
x
x x
x x
x
f
1) x(x
1 f(x)
; 1 2 )
x x
x x
f
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
x x
x x
x
dx x
2 3 B
; 1 2
.
3 2
4
x
x x
x
dx x
1 B
; 2
.
8
5 3
6
5
x
x x
x
dx x
) 10 (
B
; ) 1 (
).
1
(
2 10
4 7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
x
x x
x x
dx x
) 1 ( B
; 6 5
).
1 (
100
3 2
3
3
x x x
x x x
x x
x
dx x
2 5 4
4 B
; 1
).
1 (
2 3
2 2
3
4
2
B
ài 7 Nguyên hàm của các hàm số
Lợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2 sin )
x
2) f(x) tg5x; f(x) cotg6x;
3)
; sin cos ) (
; 8 sin cos
)
4) f f((x x)) coscosx x..coscos22x x..sincos43x x;
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x x
dx x x x
x
dx x A
cos sin
sin cos B
; ) cos 1 ( sin
) sin 1
(
2)
x x
dx x x
x
dx
A
2 cos sin
10 13
cos B
; 1 cos
sin
3)
x x
x x
dx
x x
x
dx A
2 2
2 2
cos 5 cos sin 8 sin
3
B
; cos 2
sin sin
x x
dx x x
dx x
cos sin
2 cos B
; 1 sin
2 sin
x x
dx x
x
dx
cos sin B
; cos sin
x
dx x
x
dx x x
cos B
; cos 2 sin
) cos (sin
1 cos 2
).
sin (sin
B
; sin
cos
2
3 3
4
x
dx x x
x
dx x A
1 2 sin B
; 2 sin 1
).
sin (cos
x
dx x
dx x x
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1 2
B
;
2 4
3 4
3
x x
dx x dx
x x A
1 1
) 1 (
B
;
2 2
x x x
dx x x x x
x x
dx A
3 2
2 6 1; B ( 1 )
).
5 4 (
x
dx x
x
dx x
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
2
2 ; B ( 1 ) 3 2 1
) 1
dx x
x
dx A
2)
1 2 ) 1 2 ( B
; 3 2 1 2
dx
x x
dx A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
C x
x x
dx
) 3 ln(
3
2
hàm F(x) x2 3 dx
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số 10
1 )
(
x
x x
F
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên hàm
của hàm số
1 2 1 2
1 )
(
x x
tgx x F
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân
1
2 x x
dx I
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) F(x) (x2 3x 2 ).e x
2) F x x )ex
4 cos(
2 )
3) F(x) ( 3 2x 2x) 2 ; F(x) 2 2x 3 3x 4x
e e e
x
x 2
F(x) : )
(
Trang 45) x
x x
x
e
e
x
F
10
5 2 F(x) :
1 )
(
1 1 x 5
x 2
F(x) : 1
).
1 (
)
(
x x
e x x
x
F
x
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) Ae ax sin(bx).dx; B e2x sin 2 x.dx
2) Ax n lnx.dx; B x2 e3x dx
3) Asin(lnx).dx; B x2 ln( 2x 1 ).dx
4) ( 2 3 5 2 2 4 ) 2 ;
x
e
dx e x
dx x A
1
2 B
; sin
) ln(sin
2
x
dx x x
dx e x A
x
2
cos
).
ln(cos B
; cos 1
).
sin 1
(
1
1 ln 1
1
2
x
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1
) 1 ln(
B
;
2
x
dx x
x x e
dx
A
x
x x
dx x
1 ln
.
.
Ch
ơng 2:
tích phân
Bài 1 Tính tích phân bằng phơng pháp
phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
3
1
2
1 -2
3
2 x
x.dx B
; ).
1
A
2
1
5
dx B
; 5 2 7
e
x
dx x
x x
A
3)
2
1
ln
).
1 (
x x x
dx x
2
6 3
3
; sin
cos
dx x B
4)
1
0
4
0
2 ; B dx;
cos
.
x x
x x
e e
e e x
dx tgx
A
2
1
0
; 8 4 B
;
x x
dx e
e
dx e
A
x x
x
6)
2
0
3
ln
0
; sin 1 B
;
x
dx e
e
dx
2
4 4 1
2
; sin B
; 1
dx x
x
dx
A
8)
2 1
3
0
2
3 t
; 4 9
6 B
; cos 3 sin
x x
x
x dx x
x
dx
A
Bài 2: Tính các tích phân
2
4
2 0
4 ( cos sin B
; 3 sin 5 cos
dx x
x dx
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân
3 3
4 1
-2 3 2 B
;
x A
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng số
A,B F(x) A sin( x) B thoả mãn F(1) = 2 và
1 0
4 ).
(x dx F
Bài 5: Cho F(x) a sin 2x b cos 2x xác định
a
, 2 va 1
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
0
4 0
2
5
10 3 (
x
x x
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2 )
x
b x
a x
1
2 1 ,(x) 4 va F(x).dx 2 - 3.ln2
F
Bài 8: Cho F(x) a sin 2xb xác định a,b biết
2 0 , 0 4 va F(x).dx 3
F
Bài 2 Tính tích phân bằng phơng pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999)
1 0
19 ; ) 1
x A
2) (ĐHSP Quy Nhơn)
1 0
10
2 ) ; 3
2 1 )(
3 1
I
3) (ĐHTM 1995)
1 0 2
5
;
1dx
x
x I
4)
a x a
dx I
0
2 2
2 ; ) (
5) (ĐHKT HN 1997)
1 0
6 3
5 ( 1 x ) dx ;
x I
6) (ĐH TCKTHN 2000)
1 0
2
.
x x
dx x I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
4 B
; 1
1
2 1
x
x dx
x x A
Trang 52)
1 B
;
1 2 1
2
2
2
2
x x
dx dx
x
x A
3) 1 (DHTM - 1995)
1
0
x x dx
A
1
2
2
A
5) ( 1 ) (DHY HP 2000)
1
0
3 2
A
1
3
x x
dx A
7) (§HGTVT HN 1996)
3 0
2
5 1 x .dx;
x A
Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
3
0
4
B
; sin
2
x
dx x tg dx
x A
3
6 2 2
B
; 1 cos sin
x x x
dx tgx x
x
dx A
3) (§HQGTPHCM 1998)
2
0
4
sin 1
2 sin
x
dx x I
4) (C§HQ TPHCM 1999)
2
0
2
cos sin
7 11
cos
x x
dx x I
5) (HVKTQS 1996)
2
3
3
3
cot sin
sin sin
dx gx x
x x
I
6) (§H Y Dîc TPHCM 1995)
0
2
cos 4 9
sin
x
dx x x I
7) (HVBCVT HN 1998)
2
0
2
3
cos 1
cos sin
x
dx x x
I
8) (C§SP TPHCM 1997)
6
0
2
sin sin 5 6
cos
x x
dx x I
9) (HVNH HN 1998)
0
2 cos sin
x I
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1 0
2 1
2
2 ln 4
1 ;
2
ln 2
dx x
x x
B x
dx x A
e
2) (§H C§oµn 1999)
2 ln
0 e x 1
dx I
3) (§H Y HN 1999)
1 0
2x e x e
dx I
2 ln 0 2x
2x 1
0
3 3 e
3 e B
;
e
e dx
e
x x
Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau (Tham kh¶o)
**§æi biÕn d¹ng luü thõa c¬ b¶n***
1
1 0 3 3
x
x A
2)
1 B
; 1
1 1 2 1
0
3
x x
x dx
x x A
1 B
; 2
1 0 6
2 2
1
2 4 6
x
x dx
x x A
4 1
4
x
e x
x
dx A
x
**§æi biÕn hµm lîng gi¸c c¬ b¶n***
2 0 4
6
cos 3 1
sin B
; cot
dx x
x dx
gx A
6)
2
0 cos 6
0 1 4sin cos. ; B .cos 2
e dx
x
7)
2
0
3 4
0
sin sin
B
; cos sin
cos sin
dx x x
dx x x
x x
A
4 0 3
3 4
3 6
2
cos
sin B
; cos sin
dx x
x dx
x
x A
3
6 4
3 6
0
2
2
sin
cos B
; 1
1
dx x
x dx
x tg
x tg A
10)
2
0
2 4
2 sin B
; 2 sin 2
cos sin
dx x
x dx
x
x x
A
**§æi biÕn hµm mò logarit c¬ b¶n***
e e
x x
dx dx
x
x A
ln 1
e e
dx x x
x x
dx A
1
2
ln 1 ) (ln B
; ) ln 1 ( cos 4
1
2 ln 2 2 ln
1
0 1 x ; B e x 1
dx e
dx A
1 0
3 ln 0
B
;
x x
x x
x
e e
dx e e
e
dx A
**Bµi tËp tæng hîp ** * *
Trang 615)
13 ln 5 ln
1 (1 ); B ( 3 ) 1
) 1 (
x x
x e
x
e e
dx e xe
x
dx x
A
1
1 ln 1
1
2
1
0
2
x
x x
A
17)
4
3
6
2
sin cos
4 cos B
; cos
.
sin
dx dx
x x
dx
A
Bài 3 Tính tích phân bằng phơng pháp
tích phân từng phần
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
2
0 2 3
0
cos B
; cos
.
dx x x
dx x x
A
2 0 3
4
sin
.
dx x e
x
dx
x
x x dx x dx
e
A
0 0
2
e
e
x
A
1 3 2
ln
0
ln B
;
1 0
2 0
2 ; B ln( 1 ).
ln
x
A
e
2
1
2 1
2 ; B ln )
ln 1
x
x dx
x A
e
ln
1 ln
1
2
2
e
e
dx x x A
e
x dx x dx
e
A
1
2 4
4
1
) ln 1 ( B
;
9)
2
0 1
2 1 ) ln ; B sin cos
(
xdx x
x dx
x x
x
A
e
2
2 4
2 3
0
2) ; B cos ( ) 1
ln(
dx x dx
x x
A
2
3
4
sin B
; sin
2
dx x
x x
dx x A
e e
e
dx x
x dx
x
x A
1
2
ln B
; ) ln(ln
2
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
1) (ĐHBKTPHCM 1995)
2
0
2 cos
dx x x
I
2) (ĐHQG TPHCM 2000)
1 0
2 ( ) sin x dx e
3) (CĐKS 2000)
e
dx x x
I
1
ln ).
2 2 (
4) (ĐHSPHN2 1997)
4
0
2 sin 5
dx x e
5) (ĐHTL 1996)
2
0
2 cos
dx x e
6) (ĐH AN 1996)
0
2 sinx.dx x
I
Bài 4 Một số dạng tích phân đặc biệt
Bài 1: Tính các tích phân sau
1 1
3
5 cos 2x.dx; B x e 2.dx x
2
2
3 2
1
2 1
cos 1
sin B
; 1
1 ln
dx x
x dx
x
x x
A
Bài 2: Tính các tích phân sau
1)
2
0
2004 2004
2004 2
0
sin cos
cos B
; sin 1
2 sin
dx x x
x dx
x
x A
0
2 0
cos 1
sin B
; cos 3
sin
x
x x dx
x
x x A
1 3
sin 2
x dx x A
Bài 3: Tính các tích phân sau
3 0
; 5 cos 3 sin 2 sin
A
0 0
3 ; B sin(sin ).
sin
4
4
4
3 5 7 2
1
2 1
9 2
cos
) 1 (
; sin A
dx x x x x B
dx x x
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính
1 1
2
2 1
1
dx
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính
2
2
2 sin 4 cos
dx x
x x
I
Trang 73) (ĐHQG HN 1994) Tính
0
3 sin x dx x
I
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính
dx x
1 3 sin 2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính
1
1
4
2
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số
2 neu x ) 0 (
2 x 0 neu ) ( )
(
f
tgx f x
g
a) CMR g(x) liên tục trên
2
;
0
b) CMR :
4 0
2
4
).
( ).
(
dx x g dx x g
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
2 3 B
; ) 1
(
1 2 3
2
9
2
x x
dx x
dx x
A
) 1 ( B
; 1
2 2
2
10
3 2
1
3
2
x
dx x x
dx x x
A
3)
) 1 ( ) 3 (
B
; 6
5
).
1 16 10
2
(
1
0
2 2
1
1
2
2 3
x x
dx
x x
dx x
x x
A
2 3
) 4 7 ( B ; 6 5
).
6 3
1 3 1
1
2 3
2 3
x x
dx x
x x x
dx x
x x
A
3 4 B
; 2
2
1
2 4 2
1
2
x x
dx x
x x
dx A
) 4 (
B
; ).
1 4
0
2 8
3 2
1
3 4
2 3
x
dx x x
x
dx x
x x
A
) 1 (
).
1 ( B
; ) 1 (
3
1 4
4 2
1
2
x x
dx x x
x
dx A
1
0
2 2
2 4
3
3 6
5
; ) 1 )(
2 (
13 2 2 B
; 2 3
3
dx x
x
x x x
x
dx x A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (CĐSP HN 2000):
3 0
2
2
1
2 3
dx x
x I
2) (ĐHNL TPHCM 1995)
1 0
2 5x 6
x
dx I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)
1 0
3 ) 2 1
x I
4) (ĐHNT HN 2000)
1 0
2
2 3
9 2
).
1 10 2
(
x x
dx x
x x I
5) (ĐHSP TPHCM 2000)
1 0
).
11 4 (
x x
dx x
I
6) (ĐHXD HN 2000)
1 0
3 1
3
x
dx I
7) (ĐH MĐC 1995 )
1 0
2
4 4x 3
x
dx I
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để
2 1
) 1 ( 2 3
3 3 3
2 3
2
x
C x
B x
A x
x
x x
x x
x x
2 3
3 3 3
3
2
9) (ĐHTM 1995)
1 0 2
5
1
.
x
dx x I
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x x
dx x
(1 ).1 HD: t x1
2
1 4 2
11)Xác định các hằng số A,B để
1 )
1 ( ) 1 (
2
2
2
x
B x
A x
x
x
x
) 1 (
) 2 (
3
2
2
) 1 ( ) 1 ( ) (
x x
x x
f
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho
1 1
) 2 )(
1 ( )
x
dx E x
dx D x
x
C Bx Ax dx x f
b) Tính
3
2
) (x dx f
Bài 6 Tích phân các hàm số lợng giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
3
6 2 2
B
; cos sin
1
x x x
dx tgx x
x
dx A
3
6
3 0
4
).
sin cos
( B
; 2 cos
dx x x
x
dx x tg A
x
dx x x
cos 1
) sin
0 2 4
sin 1
cos
2
0
2
x
dx x x A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
2
0 4 2
0
2 sin J
va
; sin 1
2 sin
x
dx x x
dx x I
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
Trang 8Cho
x x
x x
f
cos sin
sin )
(
x x
x x B A x f
sin cos
sin cos )
(
b) Tính
3
0
).
(
dx x f I
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
a) CMR
2
0
4 4
4 2
0
4 4
4
sin cos
sin sin
cos
cos
x x
dx x x
x
dx x
b) Tính
2
0
4 4
4
sin cos
cos
x x
dx x I
4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính
2
0 1 sin 2
x
dx I
5) (HVKTQS 1996):Tính
2
3
3
3
cot sin
sin sin
dx gx x
x x
I
6) (ĐHTS 1999) Tính :
2
0
2 ) cos 1 (
cos sin
dx x x
x
I
7) (ĐHTM HN 1995) Tính
4
0 4
cos
x
dx I
8) (HVKTQS 1999):Tính
4
0
4
3
cos 1
sin 4
x
dx x I
9) (ĐHNN1 HN Khối B 1998)
2
0 1 cos
2 cos
x
dx x I
10) (ĐHQGHN Khối A 1997)
2
0
2
3
cos 1
sin
x
dx x I
11) (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) Tính :
4
0
4
sin
dx x I
12) (ĐHTL 1997) Tính: I 1 cos 2x.dx
0
13)(ĐHGT TPHCM 2000) Tính
3
6 6
2
cos
sin
dx x I
14)(ĐHNN1 HN 1998) Tính
2
6
cos sin
2 cos 2
sin 1
dx x x
x x
I
15) (ĐHT HN 1999) Tính
3 4
2 sin
dx I
16) (ĐHNT HN 1994b) Tính
2 0
sin
1 x dx I
17) (ĐHQG TPHCM 1998)
2
0
2
3 sin cos
dx x x I
18) (HVNH TPHCM 2000)
4
0
2
cos 1
4 sin
x
dx x I
19) (ĐHLN 2000)
2
0
2
2 4 cos sin
3
) cos 4 sin 3 (
x x
dx x x
I
20) (ĐHMĐC 2000)
3
6 sin .sin 6
dx I
21) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số 2
) sin 2 (
2 sin )
(
x
x x
h
a) Tìm A,B để
x
x B x
x A x
h
sin 2
cos ) sin 2 (
cos )
b) Tính
0
2
).
(
dx x h I
22) (ĐHBK HN 1998)
2
0
4
4 sin ).
.(cos 2 cos
dx x x
x I
23) (ĐHTM HN 2000)
2
0
3
) cos (sin
sin 4
x x
dx x I
24) (HVKTMM 1999)
3
6
4 cos sin
dx I
25) (ĐHTCKT HN 1996)
2
0
5 cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
dx x x
x x
I
26) (ĐHBKHN 1996)
2
0
2 cos
dx x x
I
Trang 927) (ĐHCĐ 1999)
2
0
2 cos ).
1 2 (
dx x x
I
28) (HVNH TPHCM 2000)
3
0
2
cos
).
sin (
x
dx x x
I
Bài 7 Tích phân các hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích phân
sau :
1)
a
a dx x a x dx
x x
A
2 0
2 1
0
8
15 1 3 ; B 2 ( 0 )
4 1 0
2 2
) 1 ( B
;
x x
dx dx
x a x
A
a
2 1
0
1 2 1; B (x 1 )(x 2 )
dx x
x
dx A
0 1 1
2
2
2 4
B
; 1
x x
dx x
dx x A
2 2 0 2 2
1 B
; 1
x
dx A
6)
2 7
0 3
1
0 4 3 1; B 2x 1
dx x
dx x
A
3
0 2
3
) 2 1 ( (*)B
;
dx x
x x
dx
A
1 1
1 (*)
0
1
3
x
dx x
x A
***đổi biến lợng giác ****
0 1 2 1
0
2 ; B 2 2
A
1
2
2 2
1
2
.
1 B
;
1
dx x
x dx
x
x
A
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000)
1
3
1
.
x x
dx x I
2) (ĐH BKHN 1995)
2
3
2 x x2 1
dx I
3) (HVKTQS 1998)
1
1 1 x x2 1
dx I
4) (ĐHAN 1999)
4
7x x2 9
dx I
5) (ĐHQG HN 1998)
1 0
2
3 1 x .dx x
I
6) (ĐHSP2 HN 2000)
2
1 x x3 1
dx I
7) (ĐHXD HN 1996)
1 0
2
1
).
1 (
x
dx x
I
8) (ĐHTM 1997)
7
3
1
.
x
dx x I
9) (ĐHQG TPHCM 1998)
1
0 2 1
.
x
dx x I
Bài 8 Tích phân các hàm số siêu việt
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1) (ĐHCĐ 2000)
1 0
2x 3
e
dx I
2) (ĐHY HN 1998)
1 0
2x e x e
dx I
3) (HVQY 1997)
3 ln
0 e x 1
dx I
4) (ĐHAN 1997)
2 0
2 e dx x
5) (ĐHKT HN 1999 )
2 0
3 sin2 sin cos
dx x x
e
6) (ĐHQG TPHCM 1996)
1
0 x 1
x e
dx e I
7) (ĐHBK HN 2000)
2 ln 0
2
1
.
x x e
dx e I
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVQY 1997)
2
0
2
x I
x
2) (ĐHQG HN 1998 )
1
0 e x 1
dx I
3) (PVBC&TT 1999)
e
dx x
x x
I
0
ln 2 ln
4) (ĐHNN1 HN 1998)
e x x e
dx e I
0 2 2
1
) 1 (
5) (ĐHTM 1997)
2 ln
) 1 (
x
x e
dx e I
6) (ĐHTM 1998)
2 ln
5
x e
dx I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
2 0 2 2
0
3 2 B
;
x A
Trang 102) 2 1 ;
1
1
2
I
5
5
3 1
4
3
x
5
0
2
3
0
2 3 2
2
x
x
Bài 2: Tính tích phân sau :
8
3
8
; cot
I
dx tgx gx
0
3
3 sin 3 cos ; sin
3
cos
4
3
3 sin 3 sin ; cos
3
cos
Bài 3: (Một số đề thi)
1) (ĐHL 1995)
2 0
; sin 1
2) (ĐHTL 2000)
3 0
2
3 2 ;
Bài 10 Tính tích phân bằng tích
phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1)
6
0
4
cos B
cos sin
sin
x x
xdx x
x
xdx A
e e
dx e
x
2 cos cos B
0 2 1
3)
6
0
2
2 sin
cos
A
x xdx
Ch
ơng 3:
Một số ứng dụng của
tích phân
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2 x 0;
x va 0 y ; cos
y
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x va
e x ex
y
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2 x 0;
x va 12 1 y 2
3 sin
2
y
4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
x x
x
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
2
2 ; x y x
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi
x x
x
y 2 4 3 y 3
7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
x
8 y va 8 y
x y
8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
5 y
1
2
x x y
9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía dới (P) : y=ax2 (a>0) và trên
y=ax+2a 10)Tính diện tích giới hạn bởi
3 4 :
)
y
P và 2 tiếp tuyến tại các
điểm A(0;-3) và B(3;0) 11)(ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x va y
; ) 1
y
12)Tính diện tích giới hạn bởi
4 0
Oy voi truc
x va cos y ;
y
13)(HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
3 4 2 :
(C)
;
với đờng cong (C) tại điểm có hoành độ x=2 14)(ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
1
4
4
x
x
y (C ) và Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1
*****Một số bài tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị (C) :yx2
trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2 2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2 2
1 : ) (C y x2 trục Ox và 2 đờng thẳng có phơng trình x=1 và x=3
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị 2
: ) (C yx
trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x 4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
x y
và đờng thẳng có phơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2 2
2
1 ) : 2 va (P ) : 1 3
Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
3
; 0
tgx y
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi trục
Ox và (P) y=x2-ax (a>0) 3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn xoaydo hình phẳng
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh
ra bởi ( ) : 2 1
2 2
2
b
y a x
E khi nó quay quanh Ox
