Về đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực

Tuy nhiên chúng ta mới chỉ giải quyết một số bài toán cụ thểhay lớp đa thức đặc biệt nào đó.Việc nghiên cứu điều kiện trên các hệ số của đa thức với hệ số thực để đa thức có các nghiệm đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2019

2.1 Mối liên hệ giữa nghiệm thực của đạo hàm và nghiệm

thực của đa thức 272.2 Một số bài toán sơ cấp liên quan 32

2

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS TS Lê ThịThanh Nhàn đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này Mặc dùrất bận rộn trong công việc nhưng Cô vẫn dành nhiều thời gian và tâmhuyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thờigian tôi thực hiện đề tài Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trìnhhoàn thiện luận văn Cô luôn tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhấtnhất cho tôi hoàn thành luận văn Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ củatôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Cô

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin và PhòngĐào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xintrân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thứcquý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thànhluận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trườngTHPT Gia Viễn A - Ninh Bình nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡtôi hoàn thành công việc chuyên môn tại nhà trường để tôi hoàn thànhchương trình học tập cao học

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn

bè, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

hệ số thực có số nghiệm thực cho trước cũng như công thức nghiệm theocác hệ số Tuy nhiên chúng ta mới chỉ giải quyết một số bài toán cụ thểhay lớp đa thức đặc biệt nào đó.

Việc nghiên cứu điều kiện trên các hệ số của đa thức với hệ số thực để

đa thức có các nghiệm đều thực được trình bày trong bài báo [3] và [4].Bài báo [3]: "A sufficient condition for all the roots of a polynomial to

be real" trình bày một điều kiện đủ của các hệ số để đa thức hệ số thực

có tất cả các nghiệm đều thực, bài báo [4]: "Some necessary conditionsfor a real polynomial to have only real roots" trình bày một vài điều kiệncần của các hệ số để đa thực hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực.Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong các bàibáo trên Ngoài ra, luận văn còn quan tâm khai thác mối liên hệ giữanghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm đa thức đó thông qua đánhgiá bất đẳng thức, nội dung này được trình bày lại từ bài báo [5]: "Onthe roots of the derivative of a polynomial with real roots" Luận văn cònkhai thác một số ứng dụng các kết quả để giải quyết những bài toán sơcấp về tính chất nghiệm thực của đa thức với hệ số thực

Luận văn chia làm hai chương

Chương 1 gồm 3 phần Phần thứ nhất trình bày một số kiến thức cơbản về nghiệm của đa thức như Định lý cơ bản của Đại số, Công thức

Viete, Định lý Rolle, số nghiệm của đa thức khi hệ số tự do thay đổi vàĐiều kiện không lồi của Newton Phần thứ hai dành để trình bày mộtvài điều kiện cần cho một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực, thểhiện trong các Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.8, Định lý 1.2.11.Ngoài ra, ở mỗi Định lý sau phần chứng minh còn có một số phản ví dụ

để chỉ ra rằng các điều kiện đó không phải là điều kiện đủ để đa thức

có tất cả các nghiệm đều thực Phần cuối trình bày một điều kiện đủ đểmọi nghiệm của đa thức là số thực, thể hiện trong Định lý 1.3.2 Định

lý 1.3.2 là một kết quả rất đẹp mở rộng tiêu chuẩn có đủ 2 nghiệm thựccủa đa thức bậc hai thành tiêu chuẩn có đủ n nghiệm thực của đa thứcbậc n

Chương 2 gồm hai phần Phần đầu trình bày về mối liên hệ giữanghiệm thực của đạo hàm và nghiệm thực của đa thức, thể hiện trongĐịnh lý 2.1.1 Phần tiếp theo đưa ra một số bài toán sơ cấp để áp dụngcác định lý ở Chương 1

Điều kiện để đa thức với hệ số thực có các nghiệm đều là thực

Mục đích của Chương này là trình bày một số kết quả về đa thức hệ sốthực có các nghiệm đều thực Tài liệu tham khảo chính của Chương là[1], [3], [4]

Mục tiêu của tiết này là nhắc lại một số khái niệm, tính chất quen biết

về nghiệm của đa thức, trong đó có Công thức Viete, Bất đẳng thứcgiữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM Inquality), Định lýRolle, số nghiệm của đa thức khi hệ số tự do thay đổi, Điều kiện khônglồi của Newton

Cho số nguyên dương n Đa thức p(x) bậc n, hệ số thực là biểu thức

có dạng

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

với a0, a1, , an là các số thực và an 6= 0 Đa thức được viết dưới dạngcác hạng tử bậc giảm dần như trên được gọi là dạng chính tắc của đathức

Trong toàn bộ luận văn này, nếu không có giải thích gì thêm thì taluôn quy ước p(x) là đa thức bậc n hệ số thực có dạng như trên

Khi n = 1 thì p(x) = a1x + a0 được gọi là nhị thức bậc nhất, khi

6

n = 2 thì p(x) = a2x2 + a1x + a0 được gọi là tam thức bậc hai Đây làcác đa thức được nghiên cứu nhiều trong chương trình phổ thông.Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực Số phức a được gọi là nghiệm của

đa thức p(x) nếu p(a) = 0 Nếu a là số thực ta gọi a là nghiệm thực của

đa thức p(x)

Về tính chất nghiệm phức của đa thức p(x) bậc n hệ số phức, ta cóĐịnh lý cơ bản của đại số

1.1.1 Định lý Cho đa thức p(x) bậc n hệ số phức Trên tập số phức C,

đa thức p(x) có đủ n nghiệm, mỗi nghiệm được tính với số bội của nó

Rõ ràng khi đa thức p(x) bậc n có hệ số thực thì đa thức p(x) có đủ

n nghiệm phức (mỗi nghiệm được tính với bội của nó) Tuy nhiên, Định

lý 1.1.1 trên chưa làm rõ được số nghiệm thực và số nghiệm không thựccủa đa thức p(x) Luận văn này sẽ làm sáng tỏ một phần vấn đề trên.Liên quan đến các nghiệm của đa thức, ta có Định lý Viete về mốiquan hệ giữa các nghiệm và các hệ số của đa thức Nội dung Định lýnhư sau

1.1.2 Định lý (Định lý Viete) Cho đa thức p(x) = anxn+ an−1xn−1+

· · · + a1x + a0 bậc n với hệ số phức và n ≥ 2 Giả sử p(x) có n nghiệmthực hoặc phức, gọi là x1, x2, , xn Khi đó

1.1.3 Định lý (Định lý Rolle) Nếu có hai số thực a < b thỏa mãnp(a) = p(b) thì tồn tại số thực c thuộc khoảng (a, b) sao cho p0(c) = 0.

Do đó nếu a < b là các nghiệm của đa thức p(x) thì luôn tồn tại sốthực c ∈ (a, b) là nghiệm của đa thức đạo hàm p0(x) Vì vậy nếu đa thứcp(x) có tất cả các nghiệm đều là thực thì đa thức p0(x) cũng có tất cảcác nghiệm đều là thực Vì thế ta có Hệ quả sau

1.1.4 Hệ quả Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất cả các nghiệmđều thực Khi đó đạo hàm cấp k của đa thức p(x) cũng có tất cả cácnghiệm đều thực, với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1

Chứng minh Ta ký hiệu p(k)(x) là đạo hàm cấp k của đa thức p(x) vớimỗi 1 ≤ k ≤ n − 1 Hiển nhiên rằng p(k)(x) cũng là đa thức bậc n − k

hệ số thực

Giả sử đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực.Bằng quy nạp theo k, ta chỉ cần chứng minh rằng đa thức p0(x) cũng cótất cả các nghiệm đều thực

Nếu đa thức p(x) có a là nghiệm bội m thì a là nghiệm bội m − 1của đa thức p0(x) Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp đa thức p(x) có nnghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần là x1, x2, , xn Đa thức

p0(x) có bậc n − 1 nên có tối đa n − 1 nghiệm thực

Theo Định lý Rolle, tồn tại số thực ck thuộc khoảng (xk, xk+1) sao cho

p0(ck) = 0 với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1 Do đó c1, c2, , cn−1 là các nghiệmthực của đa thức p0(x) Vậy đa thức p0(x) có n − 1 nghiệm thực

Điều ngược lại của Hệ quả 1.1.4 không đúng Chẳng hạn, đa thứcp(x) = x4 − 4x2+ 5 không có nghiệm thực, nhưng đạo hàm

p0(x) = 4x3 − 8x2

có tất cả các nghiệm đều thực

Với một đa thức, khi hệ số thay đổi thì số nghiệm cũng như cácnghiệm của đa thức đều thay đổi Tuy nhiên, nếu chỉ có hệ số tự dothay đổi trên một miền nào đó thì số nghiệm của đa thức đó không đổi.

Đó là nội dung của Bổ đề 1.1.5 sau đây

1.1.5 Bổ đề Cho đa thức p(x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 hệ

số thực có n nghiệm thực phân biệt Khi đó, tồn tại số thực  > 0 saocho với mọi 0 ≤ λ < , đa thức p(x) + λ cũng có n nghiệm thực phânbiệt

Chứng minh Giả sử đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt theo thứ

tự tăng dần là x1, x2, , xn Theo Hệ quả 1.1.4, đa thức p0(x) có n − 1nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần là t1, t2, , tn−1 và ti ∈(xi, xi+1) với mỗi i = 1, 2, , n − 1 Ngoài ra, t1, t2, , tn−1 cũng chính

là các điểm cực trị của hàm số p(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 Do

đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt nên các giá trị cực trị p(ti) 6= 0với mỗi i = 1, 2, , n − 1 Đặt  = min{|p(t1)|, |p(t2)|, , |p(tn−1)|} Rõràng  > 0 và với mọi 0 ≤ λ <  thì đa thức p(x) + λ cũng có n nghiệmthực

Ngoài ra, trong một số chứng minh, ta cần sử dụng Bất đẳng thứcgiữa trung bình cộng và trung bình nhân sau đây

1.1.6 Mệnh đề (Bất đẳng thức AM - GM) Với n số thực không âm

a1, a2, , an ta có bất đẳng thức

a1 + a2 + + an

a1a2 an

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

1.1.7 Định lý (Điều kiện không lồi Newton) Cho đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a0

là đa thức có bậc n ≥ 2 với hệ số thực Nếu mọi nghiệm của đa thứcp(x) là thực thì các hệ số của p(x) thỏa mãn điều kiện sau.

a2i − n − i + 1

n − i .

i + 1

i .ai−1.ai+1 ≥ 0, với i = 1, 2, , n − 1

Đây là điều kiện được cho là của Newton, gọi là Điều kiện không lồi.Chứng minh của Định lý này có thể xem trong tài liệu [2]

các nghiệm đều thực

Như đã biết, chúng ta không có công thức cũng như phương pháp giảiphương trình bậc cao hệ số thực một cách tổng quát Chúng ta chỉ biếtđược phương pháp giải và công thức nghiệm của phương trình bậc đến

4 Do đó với một đa thức hệ số thực tổng quát, ta không thể kiểm tratất cả các nghiệm của đa thức đều thực bằng cách giải phương trình bậccao bất kỳ

Chú ý rằng, đối với đa thức bậc 3, 4 với hệ số thực, chúng ta có côngthức nghiệm biểu diễn qua các hệ số của đa thức (xem Tiết 1.6 trongtài liệu [1]) Tuy nhiên, nếu dựa vào công thức này, chúng ta không thểbiết nghiệm của các đa thức là thực hay không (xem Chú ý 1.6.6 trongtài liệu [1]) Vì vậy, bài toán tìm điều kiện để để đa thức hệ số thực bậc

3, 4 có tất cả các nghiệm đều thực vẫn là bài toán được quan tâm, đặcbiệt là trong chương trình toán sơ cấp

Nội dung của tiết này tập trung trình bày một số điều kiện của các

hệ số sao cho khi đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực thìcác hệ số của đa thức thỏa mãn điều kiện trên Đó được gọi là điều kiệncần của các hệ số để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực Ngoài

ra, trong mỗi điều kiện cần, đều có các ví dụ cụ thể để chứng minh rằngđiều kiện đưa ra không đồng thời là điều kiện đủ Nội dung của tiết nàyđược viết dựa vào tài liệu [4]

1.2.1 Định lý Cho n ≥ 2 và cho a0, a1, a2, , an là các số thực với

an 6= 0 Nếu mọi nghiệm của đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

là thực thì (n − 1).a21 ≥ 2n.a0.a2

Chứng minh Giả sử đa thức p(x) có mọi nghiệm đều thực Nếu a0 = 0thì bất đẳng thức (n − 1).a21 ≥ 2n.a0.a2 luôn đúng Vì vậy chúng ta cóthể giả sử rằng a0 6= 0 Do đó mọi nghiệm của p(x) là khác 0 Với mỗi

số tự nhiên k ≥ 1, ký hiệu q(k)(x) là đạo hàm bậc k của đa thức q(x).Xét đa thức

Rõ ràng, nếu n = 2 thì bất đẳng thức ở Định lý 1.2.1 có thể được viếtdưới dạng a21 ≥ 4.a0.a2, đây cũng là điều kiện đủ để mọi nghiệm của đathức p(x) bậc hai là thực

Tuy nhiên, điều kiện trên không còn là điều kiện đủ khi n ≥ 3

1.2.2 Ví dụ Đa thức

p(x) = x xn−1+ xn−2+ · · · + x + 1

có bậc n và thỏa mãn điều kiện (n − 1).a21 ≥ 2n.a0.a2 Tuy nhiên p(x) cónghiệm 0 và e2πikn với 1 ≤ k ≤ n − 1 Khi n ≥ 3, các nghiệm e2πikn khôngthực với mọi k = 1, 2, · · · , n − 1

1.2.3 Ví dụ Xét đa thức p4(x) = x4+ x3+ x2− x − 2 có các hệ số thỏamãn (4 − 1) (−1)2 ≥ 2.4.1 (−2) nhưng đa thức chỉ có đúng 2 nghiệmthực x = −1, x = 1

Định lý 1.2.1 chỉ đưa ra điều kiện cho 3 hệ số cuối cùng của đa thức

Do đó việc kiểm tra một đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực sẽrất hạn chế do các hệ số còn lại có thể thay đổi tùy ý

Tuy nhiên, sử dụng kết quả của Định lý 1.2.1, chúng ta có thể mởrộng Định lý 1.2.1 cho ba hệ số liên tiếp bất kỳ Khi đó điều kiện củacác hệ số sẽ chặt hơn Đó là nội dung của Định lý 1.2.5 sau đây

1.2.5 Định lý Cho n ≥ 2 và cho a0, a1, a2, , an là các số thực với

an 6= 0 Nếu mọi nghiệm của đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

là thực thì

(n − k − 1).(k + 1).a2k+1 ≥ (n − k).(k + 2).ak.ak+2 (1)

với mỗi k, 0 ≤ k ≤ n − 2

Chứng minh Do mọi nghiệm của p(x) đều là thực nên theo Hệ quả 1.1.4,đạo hàm bậc k của đa thức p(x)

!k!amxm−k

có tất cả các nghiệm là thực, với mỗi k, 0 ≤ k ≤ n − 2 Ở đây ta ký

(n−k−1)

"

k + 1k

!k!ak+1

#2

≥ 2(n−k)

"

kk

!k!ak

# "

k + 2k

!k!ak+2

#

Do đó

(n − k − 1)(k + 1)a2k+1 ≥ (n − k)(k + 2)akak+2.Định lý được chứng minh

Như vậy, Định lý 1.2.5 đã đưa ra điều kiện cần cho tất cả các hệ sốbằng cách kiểm tra điều kiện của bộ 3 hệ số liên tiếp nhau trong đathức

Chú ý rằng điều kiện các hệ số trong Định lý 1.2.5 chỉ là điều kiệncần, không nhất thiết là điều kiện đủ

1.2.6 Ví dụ Xét đa thức p3(x) = x3+ 5x2 + 4x + 1 có các hệ số thỏamãn (3 − 1) 42 ≥ 2.3.5.1, (3 − 2) 2.52 ≥ 2.3.1.4 nhưng đa thức chỉ cóđúng 1 nghiệm thực

Do đó điều kiện

(n − k − 1) (k + 1) a2k+1 ≥ (n − k) (k + 2) akak+2

chỉ là điều kiện cần không phải điều kiện đủ

1.2.7 Hệ quả Cho n ≥ 2 và cho a0, a1, a2, , an là các số thực dương.Nếu mọi nghiệm của đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

là thực thì a1an−1 ≥ n2a0an.

Chứng minh Do các hệ số a0, a1, a2, , an dương nên các nhân tử ở hai

vế của n − 1 bất đẳng thức (1) trong phát biểu Định lý 1.2.5 đều dương

Tiếp theo, chúng ta có một chứng minh thú vị cho một phiên bản yếuhơn của Định lý 1.2.1

1.2.8 Định lý Cho n ≥ 2 và cho a0, a1, a2, , an là các số thực với

an 6= 0 Nếu mọi nghiệm của đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

là thực thì n.a21 ≥ 8.a0.a2

Chứng minh Nếu a0a2 = 0 thì hiển nhiên Định lý 1.2.8 thỏa mãn Do

đó ta có thể giả sử a0a2 6= 0 Vì vậy, mọi nghiệm của p(x) là thực và

khác 0 Ta gọi các nghiệm đó là α1, α2, , αn Với mỗi j ta đặt

mj = anαn−2j + an−1αn−3j + · · · + a3αj + a2

Khi đó ta có

0 = p (αj) = mjα2j + a1αj + a0 (2)Xét phương trình bậc hai hệ số thực mjx2 + a1x + a0 = 0 Theo (2),phương trình này có nghiệm thực là αj Do đó

Chú ý rằng điều kiện các hệ số trong Định lý 1.2.8 chỉ là điều kiệncần, không nhất thiết là điều kiện đủ.

1.2.9 Ví dụ Xét đa thức p3(x) = x3+ 5x2 + 4x + 1 có các hệ số thỏamãn 3.42 ≥ 8.1.5, (3 − 2) 2.52 ≥ 2.3.1.4 nhưng đa thức chỉ có đúng 1nghiệm thực Do đó điều kiện na21 ≥ 8a0a2 chỉ là điều kiện cần, khôngphải điều kiện đủ

n ≥ 2 thì 2(n − 2)

2

n(n − 1) ≥ 0 Vì vậy, nếu a0a2 > 0 thì điều kiện ở Định lý1.2.8 là hệ quả của điều kiện ở Định lý 1.2.1 Vì vậy Định lý 1.2.8 làmột phiên bản yếu hơn của Định lý 1.2.1

Như vậy, điều kiện trong Định lý 1.2.1 và Định lý 1.2.8 chỉ liên quanđến 3 hệ số cuối cùng của đa thức Do đó việc kiểm tra một đa thức hệ

số thực có các nghiệm đều thực cũng sẽ hạn chế do các hệ số còn lại cóthể thay đổi tùy ý

Tuy nhiên, sử dụng kết quả của Định lý 1.2.8, với cách xây dựngtương tự như Định lý 1.2.5 và Hệ quả 1.2.7, chúng ta có thể mở rộngĐịnh lý 1.2.8 cho ba hệ số liên tiếp bất kỳ, đó là nội dung của Định lý1.2.11 sau đây

1.2.11 Định lý Cho n ≥ 2 và cho a0, a1, a2, , an là các số thực với

an 6= 0 Nếu mọi nghiệm của đa thức

p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

là thực thì

(n − k).(k + 1).a2k+1 ≥ 4.(k + 2).ak.ak+2 (7)

(n − k)

"

k + 1k

!k!ak+1

#2

≥ 8

"

kk

!k!ak

# "

k + 2k

!k!ak+2

#,

Chứng minh Do các hệ số a0, a1, a2, , an đều dương nên các nhân tử

ở hai vế của n − 1 bất đẳng thức (7) trong phát biểu Định lý 1.2.11 đềudương Từ bất đẳng thức (7) trong phát biểu Định lý 1.2.11, ta có

từng vế với nhau ta được

đa thức đó có tất cả các nghiệm là thực hay không

Để kết luận được đa thức có tất cả các nghiệm là thực, ta sẽ tiếp tụcnghiên cứu ở phần tiếp theo

1.3 Điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức là thực

Trong phần trước, chúng ta đã trình bày một số điều kiện cần để đathức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực Với các điều kiện cần đó,chúng ta có thể loại bỏ được đa thức hoặc một lớp đa thức hệ số thực

mà không có tất cả các nghiệm đều thực

Tuy nhiên, chúng ta lại chưa thể khẳng định được liệu đa thức đó cótất cả các nghiệm đều thực hay không Nội dung của tiết này đưa ramột điều kiện đủ theo các hệ số để mọi nghiệm của đa thức đều là sốthực Nội dung của Tiết này được viết dựa theo tài liệu [3] Cảm nhậnrằng việc tìm được một điều kiện đủ là khó hơn rất nhiều so với việctìm một điều kiện cần

Trước khi phát biểu và chứng minh một điều kiện đủ để đa thức hệ

số thực có tất cả các nghiệm đều thực, chúng ta cần Bổ đề sau đây.1.3.1 Bổ đề Cho đa thức có bậc n ≥ 2 với hệ số thực

p(x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,

trong đó an > 0 và mọi nghiệm của p(x) đều có phần thực âm Nếu p(x)

có một nghiệm thực kép thì

a2i − 4ai−1ai+1 ≤ 0, với i = 1, 2, , n − 1 (1)

Chứng minh Khi n = 2, Bổ đề trên là đúng Thật vậy, khi n = 2, nếup(x) có một nghiệm thực kép thì a21− 4a0a2 = 0, thỏa mãn điều kiện (1)của Bổ đề 1.3.1 Giả sử rằng n > 2 và p(x) có một nghiệm thực kép là

−a Theo giả thiết ta có a > 0 Ta viết được

p(x) = (x + a)2 bn−2xn−2+ bn−3xn−3+ · · · + b0

Đồng nhất hệ số cao nhất ta suy ra bn−2 > 0 (vì an > 0) Giả sử cácnghiệm phức của đa thức

q(x) = bn−2xn−2+ bn−3xn−3+ · · · + b0