Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Chuyên đề: ĐA THỨC Huỳnh Chí Hào – THPT Chuyên NQD CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC Đa thức : Đa thức một biến 1... Phép chia đa thức: Đị
Trang 1Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Chuyên đề: ĐA THỨC
Huỳnh Chí Hào – THPT Chuyên NQD
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC
Đa thức : (Đa thức một biến)
1 Định nghĩa: Đa thức bậc n theo x (n∈ ) là biểu thức có dạng
−
Các số a ,a , ,a gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức f(x) 0 1 n
Ví dụ: f(x) 2x= 3−9x 12x 42+ − là đa thức bậc ba
2 Đa thức đồng nhất:
a) Đa thức đồng nhất:
Định nghĩa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trị với bất cứ giá trị nào của biến số
• Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : f(x) g(x)≡
[f(x) g(x)≡ ]⇔ ∀ ∈[ x : f(x) g(x)= ]
b) Đa thức đồng nhất không:
Định nghĩa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trị nào của biến số
• Nếu f(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu : f(x) 0≡
f(x) 0 x : f(x) 0
Hệ quả:
n
n 1
0
−
−
−
=
=
=
Ví dụ 1: Tìm các hệ số a, b để đa thức f(x)= x4 +2x3 +ax2+2x+ là bình phương của một đa thức b
Bài giải:
Giả sử
x4 +2x3+ax2 +2x+b=(x2 +mx+n)2 với mọi x
(2m 2 x) 3 (m2 2n a x) 2 (2mn 2 x) n2 b 0
Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất khơng ta được:
Trang 2Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
2
2
− =
Giải hệ ta được:
=
=
x +2x +3x +2x+ =1 x +x+1
Ví dụ 2:
Bài 1: Tìm các số ,α β sao cho
− + =x 3 α(1+x)+β(1−x)
Bài 2: Tìm các số , ,α β γ sao cho
2 ( )2 ( 2 )
10x +3x+ =1 α 6x+1 +β x +3 + λ
Bài 3: Tìm các số , ,α β γ sao cho
3x2−8x+ =5 α(2x−1)+β(x−1)2+ λ
Bài 4: Tìm các số , ,α β γ sao cho
2x2−11x+21=α(4x−4)2+β(4x−4)+λ
Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho
2
2
Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho
( )
2
3 Nghiệm của đa thức:
• Nếu khi x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x)
[a là một nghiệm của f(x)] [⇔đn f(a) 0= ]
4 Phép chia đa thức:
Định lý: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) sao cho
f(x) g(x).q(x) r(x)= + Trong đó r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x)= ≠
Đa thức g(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia f(x) cho g(x)
Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) 2x= 3−9x 12x 42+ − cho đa thức x 1−
Ví dụ 2: Cho đa thức f(x)= x4−3x3+bx2+ax+ và b g(x)= x2− 1
Tìm a và b để f(x) chia hết cho g(x)
Bài giải:
Vì f(x) g(x) nên ta cĩ thể giả sử rằng f(x)=(x2−1 q(x)) (1) với mọi x
Thay x= vào hai vế của (1) ta được: f(1)1 = − +1 3 b+ +a b=0⇒a+2b=2 (2)
Trang 3Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Thay x= − vào hai vế của (1) ta được: f( 1)1 − = + + − +1 3 b a b=0⇒ − +a 2b= −4 (3)
Từ (2) và (3) ta suy ra được a 3; b 1
2
5 Định lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Định lý BEZOUT:
Định lý: Trong phép chia f(x) cho (x - a) thì số dư là R = f(a)
Chứng minh:
Chia đa thức f(x) cho (x - a), giả sử được thương là g(x) và dư là hằng số R Ta cĩ:
f(x)= x−a g(x)+R với mọi x
Do đĩ với x = a thì f(a)=0.g(a)+R⇒R=f(a) (đpcm)
Hệ quả: f(x) chia hết cho (x a)− ⇔[f(a) 0= ]
Hệ quả: Đa thức f(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi f(x) (x-a)
[f(a) = 0 ]⇔[f(x) = (x a).g(x), trong đó g(x) là một đa thức− ]
6 Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)
Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức
−
= + + + + cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây
n
Trong đó:
=
Khi đó:
−
0
f(x) (x a).g(x) r
Dư là : r b
Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) 2x= 3−9x 12x 42+ − cho đa thức x 1−
Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) 2x= 4−3x2+4x 5− cho đa thức x 1+
7 Phân tích đa thức ra thừa số
−
f(x)=a x−x x−x x−x
Ví dụ: Phân tích đa thức f(x)= x3 +9x2+11x−21 thành nhân tử
Trang 4Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC
Bài 1: Giải các phương trình
1) 2x4−6x3+5x2−3x+ = 2 0
2) 2x4+3x3−16x2+3x+ = 2 0
3) x4−4x3+3x2+2x− = 6 0
4) 5 9 4 13 2 22 8 0
2
5) x5−x4−x3−11x2+25x−14 0=
Bài 2: Giải phương trình
2x2−11x+21 3 4− 3 x−4 0=
Bài 3: Giải phương trình
− + =x 3 2 1− −x 1+ +x 3 1−x2
Bài 4: Giải phương trình
10x2+3x+ =1 (6x+1) x2+ 3
-Hết -