Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi olympic

a thøc câ và tr‰ quan trång trong ki‚n thøcto¡n nâi chung, trong ch÷ìng tr…nh phŒ thæng, v °c bi»t Łi vîi c¡c lîpchuy¶n to¡n nâi ri¶ng... N‚u c¡c a thøc fx v gx nguy¶n tŁ còngnhau v c¡c

I H¯C QU¨C GIA H N¸I TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

TR N THÀ VI T THÕY

M¸TS¨D NGTO N V ATHÙCQUAC C KÝ THI

OLYMPIC

LU NV NTH CSßTO NH¯C

H N¸I-N M2017

I H¯C QU¨C GIA H N¸I

TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

TR N THÀ VI T THÕY

M¸TS¨D NGTO N V ATHÙCQUAC C KÝ THI

Möc löc

1.1 Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa a thøc 3

1.2 X¡c ành a thøc theo c¡c °c tr÷ng sŁ håc 5

1.3 X¡c ành a thøc theo c¡c °c tr÷ng nghi»m 13

1.4 X¡c dành a thøc theo ph†p bi‚n Œi vi ph¥n h m 19

2 ×îc l÷æng a thøc 28 2.1 a thøc Chebyshev v c¡c t‰nh ch§t 28

2.2 C¡c d⁄ng to¡n li¶n quan ‚n a thøc Chebyshev 32

2.3 ×îc l÷æng, gi¡ trà cüc trà cıa a thøc 36

3 Mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan 47 3.1 a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v a thøc nh“n gi¡ trà nguy¶n 47

3.2 a thøc vîi h» sŁ hœu t v ph¥n thøc hœu t 58

3.3 Ùng döng t‰nh ch§t nghi»m cıa a thøc 67

1

M— U

Mºt chuy¶n • cì b£n v quan trång trong ⁄i sŁ, trong to¡n håc nâichung l chuy¶n • a thøc a thøc câ và tr‰ quan trång trong ki‚n thøcto¡n nâi chung, trong ch÷ìng tr…nh phŒ thæng, v °c bi»t Łi vîi c¡c lîpchuy¶n to¡n nâi ri¶ng Trong c¡c k… thi chån håc sinh giäi to¡n, væ àchQuŁc gia, QuŁc t‚ v Olympic sinh vi¶n, c¡c d⁄ng to¡n v• a thøc th÷íngxu§t hi»n vîi møc º khâ v r§t khâ Nhi•u • thi còng ¡p ¡n ¢ ÷æc «ngt£i ðt⁄p ch‰ to¡n håc v tuŒi tr·, ð nhi•u s¡ch tham kh£o nh÷ng ch÷a th“t ƒy

ı Vîi mong muŁn câ mºt chuy¶n • gióp n¥ng cao ki‚n thøc v• a thøc vbçi d÷ïng håc sinh giäi to¡n, lu“n v«n "Mºt sŁ d⁄ng to¡n v• a thøc qua c¡c

• thi Olympic nh‹m t…m hi”u, thu th“p c¡c t i li»u bi¶n so⁄n gçm c¡c • thihåc sinh giäi to¡n THPT QuŁc gia, • thi to¡n QuŁc t‚, • thi Olympic sinhvi¶n

C¡c d⁄ng to¡n v• a thøc r§t phong phó, a d⁄ng v• th” lo⁄i v ph÷ìngph¡p, th÷íng r§t r§t phøc t⁄p n¶n khâ ph¥n lo⁄i v h» thŁng th nh c¡cchuy¶n • ri¶ng bi»t Tuy v“y, ” ¡p øng nhu cƒu v• gi£ng d⁄y, håc t“p, lu“nv«n "Mºt sŁ d⁄ng to¡n v• a thøc qua c¡c • thi Olympic công cŁ g›ng tŁi as›p x‚p theo tr…nh tü hæp l‰ nh‹m gióp ti‚p c“n tłng b÷îc , tłng møc ºki‚n thøc v luy»n t“p k¾ n«ng gi£i to¡n

Lu“n v«n ÷æc chia l m 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 X¡c ành v tçn t⁄i a thøc.

Ch÷ìng 2 ×îc l÷æng a thøc

Ch÷ìng 3 Mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan ‚n a thøc

” ho n th nh lu“n v«n n y, t¡c gi£ xin ÷æc gßi líi c£m ìn s¥u s›c tîiGS.TSKH Nguy„n V«n M“u ¢ d nh thíi gian h÷îng d¤n, ch¿ b£o t“n t…

nh, gióp ï trong suŁt qu¡ tr…nh x¥y düng • c÷ìng công nh÷ ho n th nhlu“n v«n T¡c gi£ xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c quþ thƒy cæ ¢

1

åc, ki”m tra, ¡nh gi¡ v ÷a ra nhœng þ ki‚n quþ b¡u ” lu“n v«n ÷æc ƒy ı vphong phó hìn.Qua ¥y, t¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m Hi»u, phÆng sau ⁄ihåc, khoa To¡n Tin tr÷íng ⁄i Håc Khoa håc Tü Nhi¶n

H Nºi ¢ gi£ng d⁄y, t⁄o i•u ki»n thu“n læi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p

Tuy b£n th¥n ¢ câ nhi•u cŁ g›ng, nØ lüc nghi¶n cøu, song do i•uki»n v tr…nh º cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n khâ tr¡nh khäi nhœng sai sât.T¡c gi£ k‰nh mong nh“n ÷æc sü âng gâp þ ki‚n cıa c¡c thƒy cæ ” b£nlu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn! T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn!

H Nºi, th¡ng 10 n«m 2016

T¡c gi£

Trƒn Thà Vi‚t Thıy

2

Ch֓ng 1

ành ngh¾a 1.1 (xem [2]) Cho v nh A l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và

Ta gåi a thøc b“c n bi‚n x l mºt bi”u thøc câ d⁄ng

Pn(x) = anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0(an 6= 0);

trong â c¡c ai 2 A ÷æc gåi l h» sŁ, an l h» sŁ b“c cao nh§t v a0 l h» sŁ

tü do cıa a thøc

N‚u ai = 0; i = 0; ; n 1 v a0 6= 0 th… ta câ b“c cıa a thøc l 0.

N‚u ai = 0 8i = 0; ; n 1 th… ta coi b“c cıa a thøc l vgåi l a thøc khæng.

T“p hæp t§t c£ c¡c a thøc vîi h» sŁ l§y trong v nh A ÷æc k‰ hi»u

Khi A = K l mºt tr÷íng th… v nh K[x] l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và

Ta th÷íng x†t A = Z;ho°c A = Q ho°c A = R: Khi â ta câ c¡c v nh a thøct÷ìng øng l Z[x]; Q[x]; R[x]:

T‰nh ch§t 1.1 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x) v g(x) nguy¶n tŁ còngnhau v c¡c a thøc f(x) v h(x) nguy¶n tŁ còng nhau th… c¡c a thøc f(x) vg(x)h(x) công nguy¶n tŁ còng nhau

T‰nh ch§t 1.2 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x); g(x); h(x) thäa m¢n i•uki»n f(x)h(x) chia h‚t cho g(x); g(x) v h(x) nguy¶n tŁ còng nhau th… f(x)chia h‚t cho g(x):

3

T‰nh ch§t 1.3 (xem [2]) N‚u a thøc f(x) chia h‚t cho c¡c a thøc g(x)

v h(x) vîi g(x) nguy¶n tŁ còng nhau th… f(x) chia h‚t cho g(x)h(x):

T‰nh ch§t 1.4 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x) v g(x) nguy¶n tŁ còngnhau th… [f(x)]m v [g(x)]n công nguy¶n tŁ còng nhau vîi måi m; nnguy¶n d÷ìng

ành lþ 1.1 (xem [7]) [ ành l‰ v• nghi»m cıa a thøc]

N‚u mºt a thøc b“c n v câ h» sŁ cıa sŁ h⁄ng câ b“c cao nh§t kh¡c

0 th… nâ câ khæng qu¡ n nghi»m

ành lþ 1.3 (Cæng thøc khai tri”n Abel) Cho bº sŁ æi mºt kh¡c nhau

x1; x2; : : : ; xn Khi â måi a thøc P(x) vîi degP(x) < n+1 •u vi‚t ÷æc d÷îid⁄ng

xn thäa m¢n

th… x1; x2; x3; : : : ; xn l c¡c nghi»m cıa a thøc

P (x) = xn S1xn 1 + S2xn 2 + : : : + ( 1)nSn:ành lþ 1.6 ( ành l‰ Lagrange) N‚u f(x) l h m li¶n töc tr¶n o⁄n [a; b];kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b) th… tçn t⁄i c 2 (a; b) sao cho

b aMºt h» qu£ r§t quan trång, ÷æc ¡p döng nhi•u trong gi£i to¡n cıaành l‰ Lagrange, â l ành l‰ Rolle:

ành lþ 1.7 ( ành l‰ Rolle ) Cho f(x) l h m li¶n töc tr¶n o⁄n [a; b]; kh£

vi tr¶n kho£ng (a; b) v f(a) = f(b) th… tçn t⁄i c 2 (a; b) sao cho

B i to¡n 1.1 (Mathemmatical Reflection issue 4, 2015) T…m t§t c£ c¡c

a thøc P (x) b“c 1 vîi h» sŁ nguy¶n v thäa m¢n i•u ki»n

a2 + b2 c2 j P (a) + P (b) P (c); 8a; b; c 2 Z; (a2 + b2 c2 6= 0):

Líi gi£i Ta câ

a2 + b2 c2 j P (a) + P (b) P (c); 8a; b; c 2 Z:

5

Chån b = c; trong (1.1) ta câ

. 2

; 8a 2 Z:

P (a).aSuy ra

P (a) = ma2; 8a 2 Z; m 2 Z: (1.2)Chån b = 0; trong (1.1) ta ÷æc

a2 c2 j P (a) + P (0) P (c); 8a; b; c 2 Z: (1.3)Theo ành lþ v• ph÷ìng tr…nh Pythagoras, luæn tçn t⁄i væ sŁ c¡c c°p sŁnguy¶n (a; b) sao cho a2 + b2 = m2; m 2 Z: Gåi t“p hæp gçm c¡c c°p sŁnguy¶n (a; b) nh÷ th‚ l S Theo (1.3) ta câ

a2 + b2 c2 j P ( p a2 + b2 ) + P(0) P (c); 8a; b 2 S; c 2 Z: (1.4)

Tł (1.1) v (1.4), ta suy ra

a2 + b2 c2 j P ( p a2 + b2 ) + P(0) P (a) P (b); 8a; b 2 S; c 2 Z:Hay

Gi£ sß r‹ng P (x) = anxn +an 1xn 1 +: : :+a1x+a0; ai 2 Z; 8i = 0; n,

sau â so s¡nh h» sŁ b“c cao nh§t t÷ìng øng ð hai v‚ ta ÷æc

an(p2)n = 2an ) n = 2:

N‚u Pn(xm) chia h‚t cho (x a)k th… nâ chia h‚t cho (xm am)k

Th“t v“y, gi£ sß ai l sŁ kh¡c khæng ƒu ti¶n, trong â 0 6 ai 6 k 1:

D„ th§y r‹ng Pn(xm) khæng chia h‚t cho (x a)i + 1; vîi i + 1 > k:Suy ra Pn(xm) khæng chia h‚t cho (x a)k; m¥u thu¤n.

Suy ra i•u ph£i chøng minh

°c bi»t khi k = a = 1; ta câ Pn(xm) chia h‚t cho x 1 th… nâ chia h‚t cho xm 1

B i to¡n 1.3 (Olympic SV, 2002) Tçn t⁄i hay khæng tçn t⁄i mºt a thøc

P (x) b“c 2002 sao cho P (x2 2001) chia h‚t cho P (x)?

Líi gi£i Ta gi£ sß tçn t⁄i a thøc P (x) vîi deg P (x) = 2002:

ho°c a thøc

ptho£ m¢n i•u ki»n b i to¡n

Líi b n: V… sao l⁄i x†t a thøc P (x) = (x + a)2002 nh÷ v¥y? Ta x†t tł

b i to¡n ìn gi£n tr÷îc "Tçn t⁄i hay khæng tçn t⁄i mºt a thøc P (x) b“c 2 saocho P (x2 1) chia h‚t cho P (x)? "

X†t a thøc P (x) = (x + a)2 v ch¿ ra ÷æc tçn t⁄i a thøc, do â b i to¡ntr¶n x†t P (x) = (x + a)2002:

Tł â câ th” n¥ng b i to¡n vîi b“c cıa a thøc P (x) cao hìn :

Tçn t⁄i hay khæng tçn t⁄i mºt a thøc P (x) b“c 2018 sao cho P (x2

2017) chia h‚t cho P (x)? "

Ph¡t tri”n th nh b i to¡n tŒng qu¡t hìn:

Câ tçn t⁄i hay khæng tçn t⁄i mºt a thøc P (x) b“c k sao cho P (x2 k)chia h‚t cho P (x) ( k l sŁ nguy¶n d÷ìng.)

B i to¡n 1.4 (HSGQG, 2015) Cho fn(x) l d¢y a thøc x¡c ành bði

fn(x) (x + 1)fn 1(x) = (2x 1)[fn 1(x) (x + 1)fn 2(x)]

fn 1(x) (x + 1)fn 2(x) = (2x 1)[fn 2(x) (x + 1)fn 3(x)]

fn 2(x) (x + 1)fn 3(x) = (2x 1)[fn 3(x) (x + 1)fn 4(x)]::::::::::::::::::::::::::::::::::::

f2(x) (x + 1)f1(x) = (2x 1)[f1(x) (x + 1)f0(x)]:

8

1)n 1(x 2 2x + 1)1)n 1]

1)0] = (x + 1)n:V“y fn(x) = (2x 1)n + (x + 1)n: °t Q(x) = x3 x2 + x = x(x2 x + 1)

9

t÷ìng øng, tøc l x†t d¢y sŁ

u0 = 2; u1 = 3x;

un = 3xun 1 + (1 x x2)un 2vîi x l tham sŁ thüc n o â

B i to¡n thuºc d⁄ng v• t‰nh chia h‚t cıa a thøc k‚t hæp vîi a thøc

x¡c ành bði h» thøc truy hçi

D÷îi ¥y l mºt b i t÷ìng tü: Cho fn(x) l d¢y a thøc x¡c ành bði cæng

thøc

f0(x) = 2; f1(x) = 2x + 2;

fn+2(x) = (2x + 2)fn+1(x) (x2 + 2x 3)fn(x); n 1

T…m t§t c£ c¡c gi¡ trà cıa n sao cho fn(x) chia h‚t cho x2 + 2x + 5:

B i to¡n 1.5 (IMO Shortlisted 2002) Cho m; n 2 N(m; n > 2) v c¡c sŁnguy¶n a1; a2; :::; an sao cho khæng câ sŁ n o trong chóng chia h‚t cho

mn1: Chøng minh r‹ng tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e1; e2; :::; en khæng çng

thíi b‹ng 0 sao cho jeij < m; 8i v e1a1 + e2a2 + + enan chia h‚t cho mn:

Líi gi£i Gi£ sß khæng tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e1; e2; :::; en khæng çng thíi

n y l“p th nh h» th°ng d÷ ƒy ı (mod mn) (v… n‚u khæng nh÷ v“y th… câhai sŁ còng sŁ d÷ khi chia cho mn v hi»u hai sŁ n y thäa m¢n • b i

ma

xxai

10

mn + n mnX†t sŁ phøc " = cos 2 i sin 2 : Do mn phƒn tß cıa A l“p

th nh h» th°ng d÷ ƒy ı (mod m ) n¶n ta ph£i câ f(") = 0: Do â tł(1.5)ta suy ra

11

K‚t hæp vîi i•u ki»n P (1) = 1 v P ( 1) = 1 ta thu ÷æc

8Thß l⁄i ta th§y nghi»m n y khæng thäa m¢n V“y khæng tçn t⁄i a th÷c b“c 5 thäa m¢n i•u ki»n b i ra

B i to¡n 1.8 T…m a thøc b“c 3 d⁄ng

f(x) = x3 + ax2 + bx + csao cho f(x) chia h‚t cho (x 2) v f(x) chia cho x2 1 th… d÷ 2x:

Líi gi£i V… f(x) chia h‚t cho x 2 n¶n

a + b + c = 1v

g( 1) = 1 + a b + 2 + c = 0hay a b + c = 1:

bi‚t r‹ng khi chia f(x) cho (x b1); (x b2); ; (x bn)(bi 2 Z; bi 6= bjn‚u i 6= j)

•u câ chung sŁ d÷ l m(m 2 Z):

12

Líi gi£i Tł gi£ thi‚t suy ra f(bi) = m(i = 1; 2; ; n):

°t f(x) m = g(x) th… deg g = n v h» sŁ cao nh§t cıa g(x) b‹ng

1 v g(x) câ n nghi»m ph¥n bi»t l b1; b2; ; b n :

B i to¡n 1.10 (K… thi chån ºi tuy”n HSG TPHCM, 2012 - 2013) T…m

t§t c£ c¡c a thøc P (x) h» sŁ thüc thäa m¢n i•u ki»n

P (x) P (x 3) = P (x2); 8x 2 R:

Líi gi£i TH1: P (x) C (C l h‹ng sŁ thüc) thäa m¢n (1.6) Suy ra c2 = cn¶n c = 0 ho°c c = 1 Do â P (x) = 0 ho°c P (x) = 1

TH2: deg P (x) 1:

Gåi l mºt nghi»m phøc tòy þ cıa P (x) Tł (1.6) thay x = ta câ P ( 2)

= 0; suy ra x = 2 công l mºt nghi»m cıa P (x): Tł â

câ ; 2; 4; : : : ; 2n công c¡c nghi»m cıa P (x) m P (x) ch¿ câ hœu h⁄nnghi»m (do ang x†t P (x) kh¡c a thøc khæng), suy ra

= 0h

tr¶n câ ( + 3)2; ( + 3)4; ( + 3)8; ( + 3)16; : : : l c¡c nghi»m cıa P (x) m P

(x) ch¿ câ hœu h⁄n nghi»m, suy ra

Nh÷ v“y, n‚u l nghi»m cıa P (x) th… ta câ thäa m¢n h» (I) v (II)

Tł bi”u di„n sŁ phøc thäa m¢n (I) v (II) tr¶n m°t phflng phøc ta th§yh» tr¶n khæng câ nghi»m Suy ra khæng tçn t⁄i a thøc h» sŁ thüc P (x)b“c lîn hìn ho°c b‹ng 1 thäa m¢n (1.6)

K‚t lu“n C¡c a thøc P (x) h» sŁ thüc thäa m¢n (1.6) l P (x) = 0 ho°c

B i to¡n 1.12 (Bulgary MO, 2004) T…m t§t c£ c¡c c°p a thøc P (x);

Q(x) thuºcR[x] b“c 1 v thäa m¢n i•u ki»n

Q(x)

= Q(x + 1) :R(x) R(x + 1)

Suy ra, vîi måi sŁ tü nhi¶n n; ta câ

Q(x) = Q(x + n):R(x) R(x + n)Cho n ! +1 th… Q(x + n)

B i to¡n 1.13 (Poland MO) Cho a thøc P (x) câ b“c n > 1 câ n nghi»m

thüc x1; x2; : : : ; xn ph¥n bi»t Chøng minh r‹ng

1+

15

f(x) = a0 + a1x + : : : + anxn = an(x + x1)(x + x2) : : : (x + xn):

Vîi måi xi 1; 8i = 1; n: °t

8 S1 = x1 + x2 + x3 + : : : + xn =

an1

an a

n 2

> S 2 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + : : : + x n 1 x n = a

Ta câ

a20 + a1an = a2n + a0an 1t÷ìng ÷ìng vîi a n 2 +

x1x2 : : : xn+ x +:::+ +x1+: : :+xn:( chøng minh theo qui n⁄p)

n x1x2 : : : xnD§u b‹ng x£y ra khi v ch¿ khi câ n 1 sŁ b‹ng 1:

V“y a thøc cƒn t…m l f(x) = an(x + 1)n 1(x + a) vîi a l h‹ng sŁ

lîn hìn ho°c b‹ng 1:

B i to¡n 1.15 (Olympic SV, 2000) Cho a; b 2 R: T…m t§t c£ c¡c a thøc

P (x) tho£ m¢n i•u ki»n

xP (x a) = (x b)P (x); 8x 2 R:Líi gi£i

P (x) = x; 8x 2 R:

b

b) N‚u a 2 N th… P (x) câ x = a; x = 2a; : : : ; x = (n 1)a l nghi»m.Suy ra P (x) = (x a)(x 2a) : : : (x (n 1)a)Q(x):

17

Th‚ v o i•u ki»n b i ra, ta ÷æc

Q(x a) = Q(x); 8x 2 R;hay Q(x) = const :

V“y n¶n

P (x) = (x a)(x 2a) : : : [x (n 1)a]:

B i to¡n 1.16 (Olympic 30-4, THPT chuy¶n Ti•n Giang • nghà) Gåi xi; i

flng i thøc

P2011

i 4

Bi‚n Œi

t÷ìng tü, ta thu ÷æc

PP

M°t kh¡c, xi = 2011; n¶n tł (1:8) suy ra b§t flng thøc Cauchy x£y

18

1.4 X¡c dành a thøc theo ph†p bi‚n Œi vi ph¥n h m

Trong phƒn n y ta kh£o s¡t mºt sŁ d⁄ng to¡n v• x¡c ành a thøc theo ph†p bi‚n Œi vi ph¥n h m

B i to¡n 1.17 (Olympic SV, 1993) Cho p(x) (6= const) l a thøc vîi h»

0 0

198

Do â

p21(x) + p22(x) (a2 + b2) = 0:Gåi Y l t“p nghi»m cıa a thøc

Q(x) = p21(x) + p22(x) (a2 + b2):

20

Suy ra X Y Tł deg Q = 2n suy ra jXj 6 jY j 6 2n Tøc X ch¿ câ hœu h⁄nphƒn tß.

B i to¡n 1.18 (Olympic SV,1994) a) Cho h m sŁ f : [a; b] ! [a; b]; vîi

a < b v thäa m¢n i•u ki»n

jf(x) f(y)j < jx yj; 8x; y 2 [a; b] v x 6= y:

Chøng minh r‹ng ph÷ìng tr…nh f(x) = x câ duy nh§t mºt nghi»m thuºc [a; b]

b) Cho h m sŁ f(x) kh£ vi tr¶n [a, b], câ khæng i”m tr¶n [a, b] v thäa m¢n jf0(x)j < jf(x)j; 8x 2 [a; b]:

f(x0) < jf(x0) x0j:

f(x0) < g(x0)

21

i•u n y m¥u thu¤n vîi (1.9), ngh¾a l f(x0) = x0: Gi£ sß ph÷ìng tr…nh

f(x) = x cÆn câ nghi»m x1 vîi x0 6= x1 2 [a; b] Ta câ

x1 6= x0

x1 2 [a; b]:

Suy ra

jf(x1) f(x0)j = jx1 x0j;

M¥u thu¤n vîi b§t flng thøc ¢ cho.

Tâm l⁄i, ph÷ìng tr…nh f(x) = x câ duy nh§t nghi»m tr¶n [a; b]

b) Gi£ sß x0 l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 vîi x0 2 [a; b]

Theo khai tri”n Taylor t⁄i x0, th…

n¶n f(x) ⁄t cüc ⁄i tr¶n o⁄n âng G Gi£ sß

jf(xm)j = max jf(x)j; xm 2 G:

x2GSuy ra

jf(xm)j = jf0(cm)j jxm x0j 6 jf(cm)j jxm x0j

6 jf(c2 m)j 6 2jf(xm)j:

Hay f(x) = 0 vîi måi x 2 G:

Nh÷ v“y, n‚u t⁄i mºt i”m tr¶n [a; b] m f(x) = 0 th… f(x) = 0 tr¶n to n bº

l¥n c“n vîi b¡n k‰nh b‹ng 1=2 cıa i”m â B‹ng vi»c x†t c¡c i”m x0 kh¡c

nhau (m t⁄i â f(x0) = 0) lan dƒn v• hai ph‰a cıa o⁄n [a; b] th… sau mºt sŁ

hœu h⁄n b÷îc ta s‡ ÷æc f(x) = 0 vîi 8x 2 [a; b]:

f(x)P n (x)dx = 0:

1

22

Líi gi£i Sß döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn

1

Z1

B i to¡n 1.20 (Olympic SV, 1996) Cho g(x) l mºt a thøc b“c 1996 Bi‚t

r‹ng, øng vîi måi x 2 R, ta •u câ

23

Suy ra

g00(x) (x; h) + 0(h (x; h)) =

h12

B i to¡n 1.21 (Olympic SV, 1997) Chøng minh r‹ng, vîi måi t > 0,

ph÷ìng tr…nh x3 + tx 8 = 0 luæn câ nghi»m d÷ìng duy nh§t, kþ hi»u l

1

24

B i to¡n 1.22 (Olympic SV, 1998) X†t c¡c a thøc P (x) vîi h» sŁ thüc

thäa m¢n c¡c i•u ki»n

Do P (x) li¶n töc t⁄i x0, n¶n suy ra

1

Z

jP 0(x)jdx = 1:

0V“y i•u gi£ sß l sai

25

Ta s‡ chøng minh r‹ng

[Q0(x)]2 Q(x)Q00(x) > 0; 8x 2 R; (1.10)øng vîi Q(x) 2 R(x), deg Q(x) = m v Q(x) câ m nghi»m thüc ìn

m[Q0(x)]2 Q(x)Q00(x) 1

=1a) N‚u vîi t 2 R m Q(t) = 0 th…

[Q0(t)]2 Q(t)Q00(t) = [Q0(t)]2 > 0(do Q0(t) 6= 0 v do t l nghi»m ìn)

b) N‚u vîi t 2 R m Q(t) 6= 0 th… tł (1.11) suy ra (1.10) B¥y gií ta

x†t a thøc

Q(x) = P (k)(x); k = 0; 1; : : : ; n 1:

C¡c a thøc â •u câ nghi»m thüc ìn ( ành lþ Role) Suy ra

P (k 1)(0)P (k+1)(0) < [P (k)]2hay

(k 1)!ak 1(k + 1)!ak+1 < (akk!)2n¶n

[a; b] v tho£ m¢n i•u ki»n

[f(x)]2 + [f0(x)]2 > 0; 8x 2 [a; b]:

26

Chøng minh r‹ng sŁ c¡c nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 tr¶n o⁄n [a; b]

6M°t kh¡c,

f0( ) =

y ho n to n câ th” x¡c ành ÷æc b‹ng cæng thøc truy hçi giŁng nh÷ d¢y

sŁ Fibonacci v d¢y sŁ Lucas

a thøc n y gçm câ hai lo⁄i l :

Ta kþ hi»u a thøc Chebyshev lo⁄i I l Tn Chœ T ÷æc chån l m kþhi»u v… t¶n cıa Chebyshev trong ti‚ng Ph¡p l Tchebycheff v trong ti‚ng

øc l Tschebyscheff

Ta kþ hi»u a thøc Chebyshev lo⁄i II l Un

ành ngh¾a 2.1 ( a thøc Chebyshev lo⁄i I) C¡c a thøc Tn (x) ÷æc x¡c

ành bði: T n+1 (x) = 0 2x:T n (x) 1 T n 1 (x) ; n 1 ÷æc gåi l a thøc

T (x) = 1; T (x) = xChebyshev lo⁄i I

ành ngh¾a 2.2 ( a thøc Chebyshev lo⁄i II) C¡c a thøc Un (x) ÷æc

x¡c ành bði: U n+1 (x) = 2x:U n (x) U n 1 (x) ; n 1 ÷æc gåi l a

U0 (x) = 1; U1 (x) = 2xthøc Chebyshev lo⁄i II

B‹ng ph÷ìng ph¡p quy n⁄p to¡n håc, ta d„ d ng chøng minh ÷æc:

Tn (cos ) = cos n ; 8 2 R; Un (cos ) =

sin (n + 1)

; 8 6= k ; k 2 Z:sin

T‰nh ch§t 2.1 Tn (x) = cos (n arccos x) ; 8x 2 [ 1; 1] ;

28