Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học

Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học; Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học; Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học; Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học; Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học Sáng kiến Toán vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN

VẬN DỤNG CÁC PHÉP TÍNH VỀ ĐA THỨC ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI

TOÁN SỐ HỌC.

BỘ MÔN: TOÁN

Năm học: 2017 - 2018

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Sáng kiến: VẬN DỤNG CÁC PHÉP TÍNH VỀ ĐA THỨC ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN SỐ HỌC

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học Đại số lớp 8

3 Tác giả

Họ và tên: Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh:

Trình độ chuyên môn:

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Điện thoại:

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

6 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng cho dạy học Đại số bắt đầu từ khối lớp 8, trong quá trình học chương "Phép nhân và phép chia các đa thức"

7 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018 - 2019

ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.

Bài toán số học là dạng toán mà học sinh trung học cơ sở thường xuyên gặp phải trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, trong các bài kiểm tra định kì hay trong đề thi của nhiều kì thi đối với học sinh

Các bài tập của dạng toán này thường phân chia thành hai mức độ khá rõ ràng Bài tập ở mức dễ (hay trung bình) thông thường các em học sinh chỉ cần thực hiện thành thạo các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nắm vững tính chất của các phép tính này là có thể giải quyết tốt bài toán Đối với bài tập ở mức khó hơn (hay bài tập nâng cao) việc vận dụng các phép tính cơ bản về số để giải quyết thường gặp khó khăn, mất nhiều thời gian, đôi khi có bài toán còn không tìm ra được cách giải Học sinh khi gặp các bài toán này thường có tâm

lí e ngại và bị lúng túng trong việc tìm cách giải cũng như cách trình bày lời giải

Đối với học sinh lớp 6 và lớp 7 do các em chủ yếu được làm quen với các phép tính về số chính vì vậy khi giải quyết các bài toán số học các em thường chỉ sử dụng đơn thuần các phép tính và tính chất đối với số để thực hiện nên nảy sinh khó khăn khi gặp các bài toán có số lớn, số phức tạp Đối với các bài toán này thì học sinh thường làm sai hoặc bỏ không làm

Cuối lớp 7 và ở lớp 8, khi đã được trang bị đầy đủ hơn các phép tính về

đa thức, các em học sinh có thêm công cụ mới để giải các bài toán số học Việc vận dụng các phép tính về đa thức giúp cho học sinh giải các bài toán số học đơn giản hơn, nhanh hơn, trình bày dễ dàng hơn Các em học sinh cảm thấy bình tĩnh, tự tin trước các bài toán số học nâng cao và luôn tìm ra hướng giải quyết chúng Đôi khi các em còn tìm ra nhiều cách giải ngắn và hay

Chính vì những lí do trên mà tôi đã lựa chọn giải pháp "vận dụng các

phép phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài toán số học" áp dụng vào

giảng dạy thực tế cho học sinh các lớp do tôi phụ trách của nhà trường bắt đầu

từ năm học 2018-2019

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến.

Sáng kiến này được vận dụng cho dạy học đại số 8 trong các tiết luyện tập và trong các buổi bồi dưỡng đại trà cũng như các chuyên đề dạy học tự chọn về nội dung đại số

Phần lớn bài tập và ví dụ đưa ra có nội dung tương đối khó, chính vì vậy

nó phù hợp cho việc giảng dạy đối tượng học sinh khá giỏi ở các trường bình thường Riêng đối với trường chất lượng cao có thể áp dụng cho dạy đại trà đối với tất cả mọi đối tượng học sinh

3 Nội dung sáng kiến.

Sáng kiến đi sâu và nhấn mạnh việc vận dụng các phép tính về đa thức vào giải quyết các bài toán số học So sánh giữa việc dùng các phép tính đơn thuần với số (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) với việc vận dụng các phép tính về đa thức vào giải quyết cùng một bài toán rồi đánh giá để thấy được

sự ưu việt của giải pháp "vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải

quyết bài toán số học".

Hầu hết các phép tính về đa thức vận dụng vào để giải quyết các bài tập đều là các phép tính rất cơ bản về đa thức và phân thức đại số mà học sinh lớp

8 được giới thiệu trong sách giáo khoa nên việc vận dụng giải pháp vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá đơn giản Trước hết giáo viên cần dạy cho học sinh nắm chắc các phép tính về đa thức, sau đó giới thiệu các dạng bài toán

có vận dụng giải pháp đã nêu

Giải pháp "vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải quyết bài

toán số học" khi được áp dụng đã mang lại những lợi ích rất thiết thực Việc

hướng dẫn học sinh giải bài tập của giáo viên trở nên dễ dàng hơn, hiệu quả hướng dẫn cao hơn Các em học sinh đã không còn e ngại khi gặp các bài toán

số học khó, thời gian làm bài được rút ngắn, hiệu quả cao hơn

4 Giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến.

Sau khi áp dụng sáng kiến này tôi đã cho các em học sinh làm bài kiểm tra tổng hợp và đối chứng với kết quả trước khi áp dụng, kết hợp với việc nhận xét các bài kiểm tra 45 phút và thi học kì tôi nhận thấy hiệu quả thiết thực của

sáng kiến mang lại là rất lớn Các em không còn lúng túng khi giải quyết bài toán, thời gian làm bài được rút ngắn, điểm kiểm tra đa số là khá giỏi

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.

Để áp dụng được sáng kiến giáo viên cần lên kế hoạch giảng dạy chi tiết

về nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức dạy học ngay từ đầu năn học theo chuyên đề Sau đó soạn giáo án theo chuyên đề và thực hiện theo đúng kế hoạch giảng dạy đã đề ra

Để áp dụng tốt sáng kiến này người giáo viên cần soạn giáo án phù hợp với khả năng nhận thức của đối tượng học sinh Độ khó của bài tập tăng dần theo cấp độ: thông hiểu, nhận biết, vận dụng cấp thấp, vận dụng cấp cao Kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức của các em thường xuyên để có sự điều chỉnh giáo án phù hợp

Đối với các trường có nhiều lớp 8 và có nhiều giáo viên cùng dạy thì cần

có sự thống nhất ngay từ đầu năm về kế hoạch giảng dạy, nội dung các chuyên

đề giảng dạy, nội dung kiểm tra đánh giá

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.

Trong năm học 2018-2019 khi dạy học sinh lớp 8 chương I "PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC", tôi có giao một số bài tập về nhà cho học sinh làm có nội dung như sau:

Bài 1:

Cho a và b là hai số tự nhiên Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2 Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2

(Bài 9 - Trang 6 - Bài tập toán 8 tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam)

Bài 2:

Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1

(Bài 15 - Trang 6 - Bài tập toán 8 tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam)

Bài 3:

Tính giá trị của biểu thức sau

A =

315 651 105 651 315.651 105  

(Bài 4 - Trang 6 - Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục)

Tôi dành cho các em thời gian một vài ngày về nhà để giải quyết ba bài toán trên Kiểm tra vở bài tập của các em tôi nhận thấy một số vấn đề sau: Đa

số các em học sinh có lời giải bị sai, một số em không biết cách làm do đó các

em viết lời giải theo cảm tính mà không có logic toán học Với bài 3, các em chọn cách tính như học sinh lớp 6 và lớp 7 vẫn thường làm với phân số Tuy nhiên, khi làm được một đoạn thấy gặp phải số lớn việc quy đồng mẫu số gặp khó khăn nên các em đã bỏ dở không làm nữa

Sau đây tôi xin minh họa bài làm của một số em học sinh mà tôi đã chụp lại được

2 Thực trạng việc giải bài tập số học của học sinh lớp 8.

Năm học 2018-2019 trước khi áp dụng sáng kiến vào dạy cho chuyên đề

tự chọn và bồi dưỡng đại trà, tôi đã điều tra thực trạng học tập số học của các

em học sinh thông qua các câu hỏi nhanh như: Em thấy giải bài tập số học khó hay dễ? Các em có biết cách tìm lời giải và trình bày lời giải một bài tập số học mới hay không? Em có cảm giác như thế nào khi bắt tay vào giải một bài tập số học? Đa số các câu trả lời nhận được cho thấy các em lúng túng, gặp khó khăn

và nhiều em không tìm ra cách giải và trình bày một bài tập số học, đặc biệt là bài tập nâng cao Các em thường vận dụng ngay công thức mà không có quá trình lập luận logic để tìm ra vấn đề

Bên cạnh việc điều tra các em qua câu hỏi, trước khi áp dụng sáng kiến tôi đã cho hai lớp thực nghiệm là 8B và 8C làm một bài kiểm tra 45 phút với đề

và kết quả thu được như sau:

ĐỀ BÀI Câu 1 (6,0 điểm): Tính giá trị của mỗi biểu thức sau.

a) M x3 30x2 31x 1 tại x = 31

b)

1 1 116 118 5

117 119 117 119 119

Câu 2 (2,0 điểm): Rút gọn biểu thức.

1 2 3 4 99 100

Câu 3 (2,0 điểm): Chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương.

2

11 1 22 2

KẾT QUẢ Lớp (số lượng)

Từ 8,0 đến 10 điểm

Từ 6,0 đến dưới 8,0 điểm

Từ 0 đến dưới 6,0 điểm

Kết quả nhận được đa số là điểm trung bình, nhiều em học sinh bấm máy tính tìm được đáp số mà không biết cách giải và trình bày ra sao

Với câu 2 chỉ có một vài em làm làm được Riêng câu 3, không có em học sinh nào làm được trọn vẹn

3 Các bước thực hiện giải pháp.

3.1 Bước 1: Ôn tập các phép biến đổi đại số cơ bản.

3.1.1 Nhân đơn thức với đa thức.

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau

3.1.2 Nhân đa thức với đa thức.

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

3.1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ.

4

Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)

Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Lập phương của một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

3.1.4 Các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

3.2 Bước 2: Dạy học sinh "vận dụng các phép tính về đa thức trong việc giải

quyết bài toán số học".

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức.

A = 164 - 17.163 + 17.162 - 17.16 + 20

Giải

Cách 1: Sử dụng các phép tính đối với số

A = 164 - 17.163 + 17.162 - 17.16 + 20 = 65536 – 69632 + 4352 – 272 + 20 = 4

Vậy giá trị của biểu thức: A = 4 Cách 2: Vận dụng các phép biến đổi đại số

Đặt: x = 16, suy ra 17 = x + 1 và 20 = x + 4 Khi đó: A = x4 - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 - (x + 1)x + x + 4

= x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + x + 4 = 4 Vậy giá trị của biểu thức: A = 4

Trong ví dụ 1 này nếu chỉ quan sát bằng mắt mà không nhận xét và đánh giá vấn đề theo chiều sâu thì chúng ta dễ nhầm tưởng rằng việc dùng các phép

tính với số nhanh hơn và đơn giản hơn vận dụng các phép tính về đa thức Thực tế với các em học sinh, nếu không có máy tính hỗ trợ thì cách 1 các em làm mất nhiều thời gian hơn cách 2.

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức.

B 112  113.112 113.112  113.112 113.112  113.112 113

Giải

Đặt: x = 112 => x + 1 = 113, thay vào biểu thức B, ta có:

B = x6 - (x + 1)x5 + (x + 1)x4 - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 - (x + 1).x - (x + 1)

B = x6 - x6 - x5 + x5 + x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x - x - 1

B = - 2x - 1, mà x = 112

Suy ra: B = (- 2).112 - 1 = - 225

Vậy giá trị của biểu thức B = - 225

Nhiều bài toán có số nhỏ, có thể dùng máy tính để tính Tuy nhiên, nếu bấm cùng một lúc tất cả các phép tính có trong biểu thức để tính thì thao tác bấm máy lại rất phức tạp, mất thời gian Đôi khi biểu thức dài quá dẫn đến việc bấm nhầm phím, làm sai kết quả của bài toán Sau đây xin đưa ra một số

ví dụ minh họa dẫn chứng cho điều này như sau:

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức.

B =

315 651 105 651 315.651 105  

Giải

* Ta có: B =

315 651 105 651 315.651 105  

=

* Đặt: x =

1

315 và y =

1

651, khi đó: B = (2 + x)y - 3x(4 - y) - 4xy + 12x

 B = 2y + xy - 12x + 3xy - 4xy + 12x = 2y, mà y =

1 651

 B =

2 651

6

Nếu sử dụng máy tính để tính thì học sinh phải thao tác ấn nhiều nút, với thao tác khá phức tạp theo trình tự sau:

Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau.

a) P =

1235.2469 1234 1234.2469 1235



4002 1000.1002 999.1001 

Giải

a) Ta có: P =

1235.2469 1234 1234.2469 1235



1234 1 2.1234 1 1234

* Đặt x = 1234, khi đó: P =

=

2 2

1



  (do 2x2 2x  1 0) Vậy: P = 1

b) Ta có: Q =

4002 1000.1002 999.1001  =      

4.1000 2



* Đặt y = 1000, khi đó: Q =      

x



=

2

    (do 2x  1 0) Vậy: Q = 2

Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức.

H =

2003 2013 31.2004 1 2003.2008 4 2   

2004.2005.2006.2007.2008

Giải

* Đặt a = 2003, khi đó:

H =

=

   

               



=

2 2

1



Vậy giá trị của biểu thức: H = 1

Một khía cạnh nữa của vấn đề khi giải các bài toán này là, nếu học sinh

sử dụng máy tính để tìm ra đáp số của bài toán mà không trình bày các thao tác giải bài toán thì các em chỉ được một phần điểm của bài toán mà thôi Do

đó, lựa chọn vận dụng các phép tính về đa thức vào giải các ví dụ 3, 4, 5 là điều tất yếu.

Đối với những bài toán tính giá trị của biểu thức số có nhiều số mang tính chất quy luật ở các ví dụ sau đây, việc sử dụng máy tính là không khả thi

vì mất rất nhiều thời gian để bấm máy Ngoài ra cần phải tìm được quy luật của các số mà điều này chỉ có thể vận dụng các phép tính về đa thức mới giải quyết được.

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức.

M =

       

       

Giải

* Xét biểu thức: x4   4  x2 2 2 .2 2x2  2  2x2

x2  22 2x2 x2  2x 2 x2  2x 2

8

* Áp dụng:

4

1   4 1.5; 5 4   4 17.37; 94  4 65.101; ; 21 4   4 401.485

4

3   4 5.17; 7 4   4 37.65; 11 4   4 101.145; ; 23 4   4 485.577

* Suy ra: M =

1.5.17.37.65.101 401.485 1 5.17.37.65.101.145 485.577 577

Vậy giá trị của biểu thức: M =

1 577

Ví dụ 7: Tính giá trị của biểu thức.

A = 1 + 2 + 3 + 4 + + n với n  N*

Giải

Vì:  

- Khi x = 1, ta có: (1 + 1) 2 = 1 2 + 2.1 + 1

- Khi x = 2, ta có: (2 + 1) 2 = 2 2 + 2.2 + 1

- Khi x = 3, ta có: (3 + 1) 2 = 3 2 + 2.3 + 1

- Khi x = n, ta có: (n + 1) 2 = n 2 + 2.n + 1

 2 2 + 3 2 + 4 2 + + (n + 1) 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 + 2.A + n

 (n + 1) 2 = 1 2 + 2.A + n  2.A = (n + 1) 2 - (n + 1)  A =

2

n n 

Vậy: A = 1 + 2 + 3 + 4 + + n =

2

n n 

, với n  N*

Ví dụ 8: Tính giá trị của biểu thức.

B = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 với n  N*

Giải

* Vì: (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 với mọi giá trị của x.

- Khi x = 1, ta có: (1 + 1) 3 = 1 3 + 3.1 2 + 3.1 + 1

- Khi x = 2, ta có: (2 + 1) 3 = 2 3 + 3.2 2 + 3.2 + 1

- Khi x = 3, ta có: (3 + 1) 3 = 3 3 + 3.3 2 + 3.3 + 1

- Khi x = n, ta có: (n + 1) 3 = n 3 + 3.n 2 + 3.n + 1

 2 3 + 3 3 + 4 3 + + (n + 1) 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 + 3.B + 3.A + n

(trong đó: A = 1 + 2 + 3 + 4 + + n =

2

n n 

, với n  N* ở ví dụ 7)

 (n + 1) 3 = 1 3 + 3.B + 3

2

n n 

+ n

 6.B = 2.(n + 1) 3 - 3n(n + 1) - (n + 1)  B =

 1 2  1

6

Vậy: B = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 =

 1 2  1

6

với n  N* Không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc vận dụng vào tính giá trị của các biểu thức số Các phép tính về đa thức còn được vận dụng trong việc giải quyết nhiều dạng toán khác, sau đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 9: Chứng minh mỗi số sau là số chính phương.

a) 99 9 00 0 25 n  n

A 

44 488 89

B





Giải

a) Đặt 99 9 n

a



thì 10n  a 1, khi đó: 99 900 0 25  .10 100 25n

Vì A là bình phương của một số tự nhiên nên A là số chính phương

Vậy A là một số chính phương

b) Đặt 11 1n

a



thì 10n  9a 1, khi đó:   1



1

B



Vì B là bình phương của một số tự nhiên nên B là số chính phương

Vậy B là một số chính phương

3.3 Bước 3: Bài tập học sinh tự giải.

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau.

10