ÔN TOÁN THI THPT

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nha

Câu 1 (Đề chính thức 2017)Xét các số thực dương a, b thỏa mãn     



2

1log ab 2ab a b 3



min

2 10 52



min

3 10 72



min

2 10 12

P

Lời giải Chọn A

Câu 2 (Đề Minh Họa 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A

sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

A

3100.(1, 01)3

3 3

(1, 01)(1, 01) 1

Cách 1:Công thức: Vay số tiền A lãi suất r% / tháng Hỏi trả số tiền a là bao nhiêu để n

1 100.0,01 1 0,01

n n

Cách 2: Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông A hoàn nợ 3 lần

Với lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1%

Hoàn nợ lần 1:

-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0, 01 100 100.1, 01  (triệu đồng)

- Số tiền dư : 100.1, 01 m (triệu đồng)

Câu 3 (Đề chính thức 2018)Cho phương trình 7x m  log7 x m   với m là tham số Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m    25;25  để phương trình đã cho có nghiệm?

Lời giải Chọn C

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m g    log ln 77     0,856 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì xm 7x 0)

Do m nguyên thuộc khoảng   25; 25 , nên m    24; 16; ; 1   

Câu 4 (Đề chính thức 2018) Cho a0,b 0 thỏa mãn

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết suy ra  2 2 

4 5 1log a b 16a b 1 0 và log8ab1 4 a  5 b  1   0

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log2a2b14ab1log4ab12a2b12 Dấu ‘

 ’ xảy ra khi log2a2b14ab114ab 1 2a2b1  2

Câu 6 (Đề chính thức 2018)Cho phương trình 3x  log (3  )

m x m với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  15;15 để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 7 (Đề chính thức 2017)Xét các số nguyên dương ,a bsao cho phương trình aln2x b lnx 5 0

có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 5log2x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt

3,

x x4 thỏa mãn x x1 2 x x3 4 Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S2a3b

A Smin 30 B Smin 25 C Smin 33 D Smin 17

Lời giải Chọn A

Điều kiện x 0, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2

20

b  a Đặt tln ,x ulogx khi đó ta được at2bt 5 0 (1), 5t2bt a 0(2)

Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x

Câu 8 (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017; 2017 để phương

trình logmx2 logx1 có nghiệm duy nhất?

Lời giải Chọn C

11

0

1

x x

Câu 9 (Đề chính thức 2018)Cho phương trình 2xmlog2xm với m là tham số Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m  18;18 để phương trình đã cho có nghiệm?

m t

m x2x 2t

x t  1

Do hàm số f u 2uu đồng biến trên  , nên ta có  1  t x Khi đó:

2xmxm x 2x Xét hàm số g x x2x g x 1 2 ln 2 x 0 x log2ln 2 Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi mglog2ln 2  0,914 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x m 2x 0)

Do m nguyên thuộc khoảng 18;18, nên m  17; 16; ; 1  

Câu 10 (Đề chính thức 2018) Cho a 0, b 0 thỏa mãn

Các giá trị nguyên của m   20; 20 là 19; 18; ; 1  , có 19 giá trị m thỏa mãn

Câu 12 (Đề chính thức 2017) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 



min

9 11 199



min

18 11 2921



min

9 11 199

P

Lời giải Chọn A

Với x y, dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức 

y ta được  

30

2

y

t t

f t

m với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất

cả các giá trị của m sao cho f x  f y 1 với mọi số thực x y, thỏa mãn   

Lời giải

Chọn A

x x

x x

2

x  và x 4 TH2: m 1, khi đó (*) xlog3m0

Mà m nguyên dương nên ta có m 3, 4, ,80, có 78 giá trị của m

Vậy có 79 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

Câu 15 (Đề chính thức 2019)Cho phương trình  2 

2 log xlog x1 4xm 0 (m là tham số thực)

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt?

Lời giải Chọn B

Ta có điều kiện

4

0log

Suy ra m3; 4;5;;63

Vậy từ cả 2 trường hợp ta có: 63 3 1 1 62    giá trị nguyên dương m

Câu 16 (Đề chính thức 2019)Cho phương trình  2 

4 log xlog x5 7x m (0 m là tham số thực)

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Lời giải Chọn B

4

x x

22

22log

x x

x x  thỏa mãn điều kiện

+ Xét m 1, khi đó điều kiện của phương trình là xlog7m

Vì

5 4

22 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

5 4 7

2log m25

Trường hợp này m 3; 4;5; ; 48, có 46 giá trị nguyên dương của m

Tóm lại có 47 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn

Chọn phương án B

Câu 17 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Một anh sinh viên nhập học đại học vào

tháng 8 năm 2014 Bắt đầu từ tháng 9 năm 2014, cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay

ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định0,8% /tháng Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo( lãi kép) Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9/2016

về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2 triệu đồng do có việc làm thêm Hỏi ngay sau khi kết thúc ngày anh ra trường 30 / 06 / 2018 anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền( làm tròn đến hàng nghìn đồng)?

A 49.024.000 đồng B 47.401.000 đồng

C 46.641.000đồng D 45.401.000 đồng

Lời giải Chọn C

Đặt r0,8%0, 008 ; V o3.000.000

+) Tính tổng số tiền anh sinh viên vay từ 01/09/2014 đến hết 30/08/2016 (24 tháng)

- Số tiền anh vay sau tháng thứ nhất, thứ hai, thứ 3,., tháng thứ 24 lần lượt là:

Lời giải Chọn D

TH1: m 0 ta có bảng biến thiên của g x như sau:  

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn

TH2: m 2 tương tự

TH3: 0m2, bảng biến thiên g x  như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi

m m

Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3

Câu 20 (HSG - TP Đà Nẵng - 2019)Cho phương trình 1 1 2   1 1 2

25 x  m2 5 x 2m 1 0, với m

là tham số Giá trị nguyên dương lớn nhất của tham số m để phương trình trên có nghiệm là:

Lời giải Chọn C

Đặt t 1 1x2 với x   1;1 ta được t 1; 2

Phương trình trở thành 2  

5t m2 5t2m 1 0 với t 1; 2 Đặt a5t  a 5; 25 và

2

m a

Vậy giá trị nguyên dương lớn nhất của m bằng 25

Câu 21 (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Cho các số thực dương x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện

f t

t t

Điều kiện: xy0 (do

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x8,y3 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1

Câu 23 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 1 - 2019)Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là 1; 2; 3

Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án của câu này ta chỉ cần mở MOD7 của máy tính cầm tay, nhập

vế trái của bất phương trình và cho biến chạy từ 1 đến 6 là tìm được đáp án ngay

- HẾT -

Câu 24 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - Lần 1 - 2019) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A P không có giá trị nhỏ nhất B P không có giá trị lớn nhất

C Giá trị nhỏ nhất của P là 3 D Giá trị lớn nhất của P là 1

Phương trình  2 có nghiệm khi

3

;2

2019

ln khi x ( ) ln 4038 khi e < x e3ln khi x > e

Từ đó suy ra bảng biến thiên của f 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy các phương trình f x0( )0, f x0( ) 2, ,f x0( ) 2018 mỗi phương trình có 3 nghiệm (có 2019 phương trình như vậy) Mặt khác 2 phương trình

( ) 2020; ( ) 2020

f x  f x   mỗi phương trình chỉ có một nghiệm nên tổng số nghiệm là:

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm.

Câu 28 (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019)Số nghiệm nguyên thuộc khoảng 0;12 của bất phương 

Vậy trên khoảng 0;12 có 5 nghiệm nguyên thỏa yêu cầu bài toán

Câu 29 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019)Tìm số nghiệm của phương trình  2 1

Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Cho số thực mvà hàm số y f x  có đồ thị

như hình vẽ dưới đây

Phương trình f2x2xm có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2?

Từ đồ thị trên ta thấy phương trình f 2x2xm có số nghiệm nhiều nhất khi và chỉ khi

phương trình f t m có 2 nghiệm t t , trong đó có 1, 2 1 2;5 , 2 5 17;

t   t  

phương

trình f2x2xm có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2

Câu 31 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Sau khi tốt nghiệp đại học,anh Nam thực hiện

mộtt dự án khởi nghiệp.Anh vay vốn từ ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng.Phương án trả nợ của anh Nam là:Sau đúng một tháng kể từ thời điểm vay anh bắt đầu trả nợ,hai lần trả liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền trả của mỗi lần là như nhau và hoàn thành sau đúng 5 năm kể từ khi vay.Tuy nhiên,sau khi dự án có hiệu quả và trả được nợ 12 tháng theo phương án cũ anh Nam muốn rút ngắn thời gian trả nợ nên từ tháng tiếp theo, mỗi tháng anh trả nợ cho ngân hàng 9 triệu đồng Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực

tế của tháng đó.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng từ thời điểm vay anh Nam trả hết nợ?

A 32 tháng B 31 tháng C 29 tháng D 30 tháng

Lời giải Chọn A

Gọi X là số tiền anh Nam hoàn nợ mỗi tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay

Số tiền anh Nam nợ ngân hàng sau một tháng là: SS r S1r (triệu đồng)

Sau khi hoàn nợ lần thứ 1 thì số tiền anh Nam còn nợ là: S1rX (triệu đồng)

Sau khi hoàn nợ lần thứ 2 thì số tiền anh Nam còn nợ là:

+ Giả sử anh Nam trả nợ theo phương án ban đầu thì n 60,S  n 0

Khi đó số tiền anh Nam phải trả hàng tháng là: (1 )

3,98

n n

Sr r X

n

Vậy số tháng để anh Nam trả hết nợ là:12 20 32 (tháng)

Câu 32 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

Vậy bài toán trở thành tìm m để phương trình  * có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Nhận thấy, nếu t là một nghiệm của o  * thì  cũng là nghiệm của t o  *

Suy ra, điều kiện cần để phương trình  * có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là  * có nghiệm

Câu 33 (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019)Phương trình sin2 cos2

9 x9 x 10 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 2019;2019?

A 2571 B 1927 C 2570 D 1929

Lời giải Chọn A

Từ  1 và  2 ta được nghiệm phương trình là ,

Vậy phương trình có 2571 nghiệm thuộc đoạn 2019;2019

Câu 34 (Sở GD Hưng Yên - 2019)Cho các số thực a b m n, , , sao cho 2mn0 và thoả mãn điều kiện:

Câu 35 (Sở GD Nam Định - 2019)Tìm tham số mđể tồn tại duy nhất cặp số x y; thỏa mãn đồng

thời các điều kiện sau log2019xy0 và x y 2xym1

Với x  ta có 0 g x 0 suy ra g x g 0 g x  0 f x 0, x 0

Do đó hàm số   1 1

x a

Trở lại bài toán:

- Trường hợp 1: Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt và phương trình  2 có 1 nghiệm

m m

m m

a d

Giả thiết  

2 1

Tính giá trị nhỏ nhất T min của biểu thức sau T log2a blogab a36

A T min  2 B T min 19 C T min 16 D T min 13

Lời giải Chọn C

Vậy Tmin16 khi 0 b2 a 1

Đặt log x3 t  x 3t, phương trình đã cho trở thành

1 2

2 2

2

2 0

42

x

x x

x

x

x x

Câu 42 (Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2019)Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log21 xy 2xy x y 3

x y



 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5

12

Câu 43 (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Cho hàm số    2 

Xét bất phương trình flna f a 10  1 Điều kiện: a 0

Với điều kiện trên,  1  flna f a 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 0;1

Câu 44 (Sở GD Quảng Nam - 2019)Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn  1

e

2 ln 2

Lời giải Chọn C



Lời giải Chọn C

Câu 46 (THPT Ninh Bình - Bạc Liêu - 2019) Cho các số thực dương a b, thỏa mãn

loga logblog alog b100 và log a, logb, log a, log b đều là các số nguyên dương Tính Pab

A 10164 B 10100 C 10200 D 10144

Lời giải Chọn A

Đặt log a x; log b  y vì log a , log b nguyên dương nên , x y nguyên dương

Khi đó a10 ;2x b102y

loga logblog alog b100 2x 2y x y100  1

Mặt khác 2x ; 2 ynguyên dương nên phải có x2u2;y2v2 với ;u v nguyên dương

Từ  1 ta có 2u2v2u22v2100u v u2v250  2

Để thỏa mãn  2 thì ;u v nguyên dương và ; u v  Ta có các trường hợp như sau: 6

+ Trường hợp 1: Khi u6v2  v 8 0 (loại vì phương trình không có nghiệm nguyên) + Trường hợp 2: Khi u 5 v2 v 200 v 4 (nhận)  v 5 (loại) Trường hợp này

1 12

52

xy   x y  Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin 3 B ymin  3 C ymin 1 D ymin 2

Lời giải Chọn D



 Xét hàm số

22

x y x





 ,

12

x 

2 2

2 2

Suy ra giá trị nhỏ nhất của y là ymin 2

Câu 49 (Sở Lào Cai - 2019) S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a thỏa mãn mỗi nghiệm của bất

51

x x

Với x 1, ta có:   2 2 2

12

32

a    a thì bài toán được thỏa mãn

Câu 50 (Sở GD Bắc Ninh - 2019)Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;9 sao cho bất phương trình

Cách 1: Trắc nghiệm:

Vì

3 23

59

4 01

3

00

3

00

+ TH 5: Với

2

2 2

51

4 09

ĐK:   1 x 5, y   Ta có: 4

2

2 2





Dâu " " xảy ra khi và chỉ khi x2;y6S3.2 2.6 18  .Chọn đáp án C

Câu 55 (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( )(x1) (2 x24 )x Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số thực m để hàm số g x( ) f(2x212xm) có đúng 5 điểm cực trị?

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có f '( )x 0 (x1) (2 x24 )x 0

0

1 4

x x x

g h g h

1818

22

m m

m m

Vậy có 17 giá trị nguyên dương của tham số thực m thỏa mãn đề bài

log x 2x m 4 log x 2x m 5 Biết

 a b ;  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình thỏa mãn với mọi x thuộc đoạn

 0;2  Giá trị của biểu thức a b  bằng

A a b   4 B a b   2 C a b   0 D a b   6

Lời giải Chọn D

log x 2x m 4 log x 2x m  5 0 (1)

+ Điều kiện (I):  2 

4 2

max  x  2 x  1  2 nên (2)  m  2 (3)

4

log x 2x m t  t  0 (1) trở thành 2

t t

 

,do đó f t  nghịch biến trên (1; ]3

2 Bất phương trình có nghiệm đúng

 3 (1; ] 2

  Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu

cầu bài toán

Câu 58 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm xác định trên  và thỏa

Vậy  3 có tất cả 45 nghiệm nguyên dương

Câu 59 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Biết rằng có số thực a 0 sao cho 3cos 2 2

BPT đã cho tương đương với a3cos 2x  1 cos 2x  1

Đặt tcos 2x, vì x  nên t   1;1 Khi đó,  1 trở thành: 3 3

a   t a    t  2 Đặt   3

Vậy giá trị lớn nhất của ln x  1 ln  y bằng 2 ln 3 ln 2

Câu 61 (Sở GD KonTum - 2019)Cho các số thực a b x y, , , thỏa mãn điều kiện ax by  3 Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức Pa2b2x2y2bxay bằng

Lời giải Chọn A

Khi đó:

231

b x a y

b x a y

Do 3 là số dương nhỏ nhất trong 4 đáp án nên suy ra minP 3

Câu 62 (Sở GD KonTum - 2019)Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên âm của giá trị tham số m để đồ thị hàm số

3x 3'(x)

g

x



 g'(x)0 x  1Bảng biến thiên g(x)