Đề bài Bài 1 4đ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.. d, Tìm m để d cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.. Bài 32đ: Giải phương trình nghiệm nguyên.. Lấy điểm G trung điểm của AB.. Từ đ
Trang 1TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP ĐỀ THI ĐỘI TUYỂN LỚP 8
Họ tên học sinh: ……….Số báo danh……….
Đề bài
Bài 1( 4đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a, A= x4 + 4x2 − 5
b, B= (a−b) 3 + (b−c) 3 + (c−a) 3
Bài 2(4đ): Cho đường thẳng (d): 2 (m− 1 )x+ (m− 2 )y = 1 (m tham số)
a, Vẽ đường thẳng (d) với
2
1
=
m
b, Tìm m biết (d) song song đường thẳng y = 2x− 1
c, CMR (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định ∀m
d, Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất
Bài 3(2đ): Giải phương trình nghiệm nguyên.
9 7
15x2 − y2 =
Bài 4(4đ): Giải các phương trình sau:
a, x3 − 2x2 − 2x+ 1 = 0
b, 2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x+ 2 = 0
Bài 5(3đ): Cho hình vuông ABCD; O là giao điểm của hai đường chéo Lấy điểm G trung điểm
của AB
CMR a, ∆HOD ~ ∆OGB
b, ∆AHD ~ ∆GMB
c, MG // AH
Bài 6(3đ): Cho tam giác ABC Từ điểm D bất kỳ trên cạnh BC, ta dựng đường thẳng (d) song
song với trung tuyến AM, (d) cắt AB ở E, cắt AC tại F
MCR a,
AC
AB A
AE
= F
b, DE + DF = 2 AM
Bài làm
Trang 3Đáp án
Bài 1: Bài 1 : (4 điểm)
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 ⇒2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 ⇒A + (x – y + 1)2 = 2
⇒ A = 2 – (x – y + 1)2 ≤2 (do (x – y + 1) ≥0 (với mọi x ; y) ⇒A ≤ 2 (0,5đ)
+ A = 2 khi ( )
x y 1 0
− + =
≠ ± ≠
⇔
1 x 2 3 y 2
=
=
+ A = 1 khi ( )
2
≠ ± ≠
Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y,
chẳng hạn:
2 1 x
2
2 3 y
2
=
+
=
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a) x 11 x 22 x 33 x 44
0
⇔
x 126 0
⇔ = −
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
⇔2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
x y 0
y z 0
z x 0
− =
⇔ − =
− =
x y z
⇔ = =
⇔x2009 = y2009 = z2009
Trang 4Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
⇔ z2009 = 32009
⇔ z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n M 10
- Chứng minh : n5 - n M 2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M 2 ( vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)
- Chứng minh: n5 – n M 5
n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n M 2.5 tức là n5 – n M 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau
Bài 4: 6 điểm
I P
Q
H
E
D A
M
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)
- Chứng minh ∆EBD đồng dạng với ∆ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra EB ED EA EB ED EC
* Chứng minh EAD ECB ã = ã (1 điểm)
- Chứng minh ∆EAD đồng dạng với ∆ECB (cgc) 0,75 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ ãBMC = 120o ⇒ ãAMB = 60o ⇒ ãABM = 30o 0,5 điểm
- Xét ∆EDB vuông tại D có àB= 30o
Trang 5⇒ ED = 1
2 EB ⇒
1 2
ED
- Lý luận cho
2
EAD ECB
S ED
S EB
= ữ từ đó ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆DHC (gg) 0,5 điểm
2 2
- Chứng minh ∆DPB đồng dạng với ∆CQD (cgc)
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC
Câu d: 1 điểm
- Chứng minh ∆BMI đồng dạng với ∆BCD (gg)
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2