Chương I: Hính học ( Véctơ)

Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác... Hoặc các quy tắc ba điểm , quy

CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1/Định nghĩa:

 Vec tơ là đoạn thẳng có hướng

 Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó

Ký hiệu độ dài của vec tơ ABuuur là: ABuuur

 Vec tơ – không (Ký hiệu: 0r) là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau 0 0r =

 Hai vec tơ cùng phương là hai vec tơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vec tơ bằng nhau là hai vec tơ cùng hướng và cùng độ dài.

Ký hiệu ar và br bằng nhau là a br r=

2/ Tổng của hai vec tơ:

a) Định nghĩa: Cho ar và br Từ điểm A nào đó, vẽ ABuuur=ar, rồi từ B vẽ BC buuur r=

Khi đó: ACuuur gọi là tổng của ar và br Ký hiệu : AC a buuur r r= +

ar

ar br

br

ar+br

Phép toán tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ

b) Các tính chất của phép cộng vectơ : Với ba véctơ , ,a b cr r r tuỳ y, ta có :

 Tính chất giao hoán : a b b ar+ = +r r r

 Tính chất kết hợp (a+b) +c=a+ (b+c)

 Tính chất của vec tơ – không: a+ 0= 0+a=a

3/ Hiệu của hai vec tơ:

a) Véctơ đối của một vec tơ: Véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với ar được gọi là

véctơ đối của véctơ ar Ký hiệu véctơ đối của véctơ ar là: - ar

* a br+ = ⇔ = −r 0r ar br

* Véctơ đối của véctơ 0r là véctơ 0r

b) Định nghĩa hiệu của hai vec tơ :

Hiệu của ar và brtheo thứ tự đó là tổng của ar và vec tơ đối của br

Kí hiệu : a b ar r r− = + −( )buur

Phép toán tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ

4/ Tích của một số với một vec tơ:

a) Định nghĩa : Cho số k ≠0r

và vectơ ar≠0r

Tích của số k với vectơ ar là mộât vectơ Kí hiệu là k ar

+ Vectơ k arcùng hướng với ar nếu k>0, ngược hướng với ar nếu k<0

+ |k ar| = |k| | ar|

* Quy ước: 0 ar =0r , k ar =0r

A

B

C

b) Tính chất của phép nhân một số với một vec tơ: ∀ar

,br; ∀k, h∈R, ta có:

1) k( ar ± br) = k ar ±kbr

2) (h ±k) ar = h ar ±k ar

3) h(k ar) = (hk) ar

4) 1 ar= ar ; (-1) ar = - ar

5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý:

• AB BC ACuuur uuur uuur+ = (qui tắc cộng)

• ABuuur - AC CBuuur uuur= (qui tắc trừ)

6/ Qui tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD là hình bình hành⇔ uuur uuur uuurAB AD AC+ =

7/ Các ứng dụng:

a) I là trung điểm đoạn AB :

• IA IBuur uur r+ =0

• MA MBuuur uuur+ =2MIuuur (Với mọi điểm M)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC :

• GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0

• MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3MGuuuur (Với mọi điểm M)

c) ar và br (br ≠0r) cùng phương ⇔ ∃k∈ ¡ / ar =kbr

d) A, B, C phân biệt thẳng hàng ⇔ ∃k≠0 / ABuuur=k ACuuur.

B BÀI TẬP:

1) Phương pháp : ABuuur= AB

Ví dụ: Cho hình vuơng ABCD cạnh a và điểm E sao cho DB CEuuur uuur= Gọi I là trung điểm đoạn CE

a) Tính DEuuur

b) Chứng minh 1

2

uur uuur

Giải:

a) Xét tứ giác DBEC: Vì DB CEuuur uuur= (gt) nên DBEC là hình bình hành

Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC

2

⇒ uuur =

Xét tam giác vuơng DCO, ta cĩ:

DO2=DC2+CI2

2

Vậy DE=a 5

b) Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a

⇒∆BCE vuơng cân tại B

DẠNG : XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ

D

A

BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE

Do đĩ : BI=1

2BD

1 2

⇔ uur = uuur

2) Phương pháp xác định và tính độ dài của ar+br, ar-br:

1/ Xác định: ar+br= ABuuur, ar-br=CDuuur

2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vuơng, tam giác đều, hình vuơng, … để tính cạnh của nĩ hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp.

3) Các ví dụ:

Bài1: Chứng minh rằng: | ar+br| ≤ | ar|+| br|

Giải:

Giả sử: ABuuur= ar, BCuuur= br.

+ Nếu ar và brkhơng cùng phương thì A, B, C là 3 đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC

Vì ar + br= ABuuur+ BCuuur= ACuuur nên | ar+br| < | ar|+|br|

+ Nếu ar và br khơng cùng hướng, ta cĩ :

| ar+br| < | ar|+|br|

+ Nếu ar và br cùng hướng, ta cĩ: | ar+br| = | ar|+|br|

Vậy : | ar+br| ≤ | ar|+|br| (đpcm)

Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Tính :

a) | AB ACuuur uuur+ | b) | AB ACuuur uuur− |

Giải:

a) | AB ACuuur uuur+ | =?

* Xác định AB ACuuur uuur+ : Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc hình bình

hành ta có: AB ACuuur uuur+ = AEuuur

*Tính | AB ACuuur uuur+ |=uuurAE

=AE=?

Vì ABEC là hình bình hành mà AB=ACnên ABEC là hình thoi

Gọi I=AE ∩BC, ta có: AE=2AI Mà AI= 3

2

a nên AE= a 3

Vậy: | AB ACuuur uuur+ | = a 3

b) ĐS: | AB ACuuur uuur− | = CBuuur

= a

4) Bài tập tương tự:

1/ Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a Tính độ dài các vectơ BA−BC,CA+CB.

2/ Cho hình vuơng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo Tính :OA CB AB DC CD DAuuur uuur uuur uuur uuur uuur− , + , −

3/ Cho hình thoi ABCD cĩ BAD· = 60 0và cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Tính :

AB AD BA BC OB DC+ − −

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

B

A

E

1) Phương pháp:

Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một trong các cách sau:

C 1 : Biến đổi vế này thành vế kia

C 2 : Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau.

C 3 : Biến đổi đẳng thức cần CM đĩ tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là đúng.

2) Các ví dụ:

VD1:

Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ Chứng minh rằng: AC DB AB DCuuur uuur uuur uuur+ = + (1)

Giải:

C1: Biến đổi vế trái: AC DB AB BC DB AB DCuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ = + + = +

C2:Biến đổi vế phải: AB DC AC CB DC AC DBuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ = + + = +

C3: Ta cĩ : (1) ⇔uuur uuur uuur uuurAC AB DC DB− = − ⇔BC BCuuur uuur= là đẳng thức đúng.

Vậy (1) được chứng minh

VD2:

Cho G là trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA Chứng minh rằng :uuuur uuur uuur rAM BN CP+ + =0

Giải: Biến đổi vế trái:

0

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

3) Bài tập tương tự:

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD, MN.CMR:

a) AB CD AD CBuuur uuur uuur uuur+ = + b)IA IB IC IDuur uur uur uur r+ + + =0 c) OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + =4OIuur Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng :uuur uuur uuur uuur uuur uuurAD BE CF+ + =AE BF CD+ +

Bài

3 : Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:

a/ MN +PQ=MQ+PN b/ MP+NQ+RS=MS+NP+RQ

Bài

4 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và

CA Chứng minh rằng :

a)uuur uuur uuuur rAN BP CM+ + =0 b)GM GN GPuuuur uuur uuur r+ + =0

c)Tam giác ABC và tam giác MNP cĩ cùng trọng tâm

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh:

a/ AB+ 2AC+AD= 3AC.

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh: 2MNuuuur =uuur uuurAC+BD =BCuuur uuur+AD

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác CMR:

a/ GA+GB+GC= 0 b/ MA+MB+MC= 3MG với M là một điểm bất kỳ c/ OA+OB+OC=OH =3OG. d/ HA+HB+HC= 2HO= 3HG.

e/ OH =2OI.

f/v= 3MA− 5MB+ 2MC là khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

1) Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Cho ,a br r

không cùng phương, x∀r, ,∃k h∈R/x ka hbr = r+ r

DẠNG : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ

DẠNG : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO NHIỀU VEC TƠ

Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác.

2) Ví dụ:

Cho AK vàBM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích các vec tơ uuur uuur uuurAB BC CA, , theo hai vec tơ ur uuur r uuuur=AK v BM; =

Giải:

Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có:

2uuur uuur uuur uuuur uuur uuurAK =AB AC+ ; 2BM =BA BC+

2 (1)

2 (2)

 − =



⇒ 



uuur uuur ur

uuur uuur r

Từ (1) và (2), ta có: −CA BCuuur uuur+ =2ur+2vr (3)

Mà: uuur uuur uuur rAB BC CA+ + =0 (4)

Từ (2) và (4), ta có: 2BC CAuuur uuur+ =2vr (5)

Từ(3) và (5), ta có:3 2 4 2 4

BC= u+ v⇔BC= u+ v

(6) Từ (5) và (6), ta có: 4 2

CA= − u− v

Từ (7) và (1) ta có: 2 2

3) Bài tập :

Bài

1 :Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI.

uuur uuur uur

uuur uuur uuur

Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Phân tích AMuuuur theo BAuuur và CAuuur

HD:Sử dụng tính chất trung điểm 1( )

2

uuuur uuur uuur

Bài 3 : Cho tam giác ABC Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện IA+ 2IB+ 3IC= 0

a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đĩ D là trung điểm cạnh AC

b/ Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB và AC

Bài

4 : Cho t/giác ABCD cĩ M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC CMR:

a/ MN = (AB+DC)

2

1

; b/ PQ= (AB−DC)

2

1

; c/ OA+OB+OC+OD= 0 (O là t/điểm của MN) d/ MA+MB+MC+MD= 4MO (O là trung điểm của MN)

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

a) OMuuuur=OA OBuuur uuur+

b) ONuuur=OB OCuuur uuur+

c) OPuuur=OC OAuuur uuur+

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của C,A,B

C B

A

Bài 6: Cho tam gíac OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB Tìm các số m, n sao cho:

a) OM mOA nOBuuuur= uuur+ uuur b) AN mOA nOBuuur = uuur+ uuur c) MN mOA nOBuuuur= uuur+ uuur d) MB mOA nOBuuur= uuur+ uuur

2

a OMuuuur= OAuuur+ OBuuur / 1

2

b ANuuur= OB OAuuur uuur− / 1 1

c MNuuuur= OBuuur− OAuuur / 1

2

d MBuuur= OA OBuuur uuur+

1) Phương pháp: Sử dụng các tính chất:

• Ba điểm A B C thẳng hàng⇔ uuurAB và uuurAC cùng phương ⇔ uuurAB k AC= uuur.

• Nếu uuurAB kCD= uuur và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB // CD

2) Ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC và trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải: Đặt ur uuurr uuur=BA v, =BC ta phân tích BKuuur và BIuur theo hai vec tơ , u vurur

BK =BA AK+

uuur uuur uuur

=

= (1)

Từ (1) và (2) ⇒

Vậy3uuurBK =4uurBI hay

Do đó: Ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các biểu thức :

DẠNG : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐƯỜNG

THẲNG SONG SONG.

1

( ) 3

u v u

1

3

1 3

u r + uuur AC

1

( )

2

BI = BA BM+

uur uuur uuuur

2 u 2 v 2 u 4 v

= r + r = r + r

4 3

BK= BI

uuur uur

2 u v r r + = 3 uuur r r BK u v ,2 + = 4 uur BI

1

AK AC 3

=

0, 3 0

BC MA+ = AB NA− − AC =

uuur uuur r uuur uuur uuur r

Chứng minh : MN // AC.

Giải: Ta có: BC MA AB NAuuur uuur uuur uuur+ + − −3uuur rAC =0

⇔ BC AB MA ANuuur uuur uuur uuur+ + + −3uuur rAC =0

⇔uuur uuuurAC MN+ −3uuur rAC =0

⇔MNuuuur=2uuurAC

Vậy MNuuuur cùng phương với uuurAC.

Theo giả thiết ta có BC AMuuur uuuur= , mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM là hình bình hành.

⇒ M ∈ AC và MN // AC

3) Bài tập tương tự

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh

AC sao cho AJ=2

5AC Chứng minh I, J, G thẳng hàng

Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC

Chứng minh G, O, H thẳng hàng

HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O

CM: BHCA’ là hình bình hành

OB OCuuur uuur+ = ODuuur uuur uuur= AH OH = OGuuur

(OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác)

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

3DBuuur−2DCuuur r uur=0;IA+3IBuur−2ICuur r=0

a) Tính AD theo ABuuur uuur và ACuuur

b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng

1) Phương pháp:

Để dựng điểm M thỏa mãn một đẳng thức vec tơ, ta biến đổi đẳng thức vec tơ về dạng AM vuuuur r= (Với

điểm A cố định; vr là một vec tơ đã biết)

2) Ví dụ : Cho tam giác ABC Hãy dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IAuur+2IBuur r=0

Giải:

1 3

3

uur uur r uur uuur uur r

uur uuur uur uuur

Dựng điểm I trên đoạn AB sao cho 1

3

Vậy I là điểm cần dựng

3) Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Dựng điểm M sao cho : 4MAuuur+3MBuuur+2MC MDuuuur uuuur+ =0

Bài 2: Cho tam giác ABC Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

DẠNG: DỰNG MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG

THỨC VEC TƠ

/ 2 0

uuur uuur uuuur r

uuur uuur uuur r

uuur uuur uuur r

Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý Hãy dựng điểm D sao cho

uuur uuur uuur uuuur

HD: Biến đổi MAuuur+2MBuuur−3MC MA MCuuuur uuur uuuur= − +2(MB MCuuur uuuur− ) =CAuuur+2CBuuur

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt Hãy xác định các điểm P, Q, R biết :

2PAuuur+3PBuuur r= −0; 2QA QBuuur uuur r uuur+ =0; RA−3uuur rRB=0

Bài 5:Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

uuur uuur uuuur uuuur r

HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC