skkn pt bac cao

Trong chơng trình đại số THCS, việc giải phơng trình chỉ dừnglại ở phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai là chủ yếu.. Điều đó cũng dễ hiểu bởi do nhiều lí do màsách giáo khoa không

Trong chơng trình đại số THCS, việc giải phơng trình chỉ dừnglại ở phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai là chủ yếu Khigặp phơng trình bậc cao học sinh gặp rất nhiều khó khăn, thậm tríkhông có phơng án giải Điều đó cũng dễ hiểu bởi do nhiều lí do màsách giáo khoa không đa ra các phơng pháp giải phơng trình bậc.Chính vì vậy việc nhận dạng, phân loại và có phơng pháp giảI chotừng dạng phơng trình bậc cao, giúp cho học sinh định hớng và giải đ-

ơc các phơng trình bậc cao là hết sc cần thiết Đó chính là lí do tôichọn đề tài này

II – nhiệm vụ nghiên cứu :

- Phân loại các dạng phơng trình bậc cao

- Tìm phơng pháp giải các dạng phơng trình bậc cao

- Các ví dụ minh họa

- Các bài luyện tập

II - Đối tợng nghiên cứu :

Học sinh lớp 9 trờng THCS Nghĩa Phúc, huyện Nghĩa Hng, tỉnh Nam

Định

III - Phạm vi nghiên cứu:

Phơng trình bậc cao một ẩn với hệ số nguyên

Phần II : Nội dung

I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn:

Khi dạy giải phơng trình bậc cao, phần bài tập trong SGK vàSBTĐS lớp 9 là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh Nhng thực

tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng

Để giải đợc các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinhcác phơng pháp giải cho từng thể loại bài tập Qua quá trình dạy phơngtrình bậc cao, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đathức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp

Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêucầu học sinh nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau:

- Các khái niệm : Phơng trình, phơng trình bậc nhất,

ph-ơng trình bậc hai, phph-ơng trình bậc bậc cao Nghiệm của phph-ơngtrình

- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số

- Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng, các phép biến

II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể:

A - Nội dung lý thuyết cơ sở:

1 Phơng trình, nghiệm của phơng tình :

A(x1,x2,…,xn) = B( x1,x2,…,xn) và gọi đẳng thức đó là một phơng

trình.

Các biến x1,x2,…,xn gọi la các ẩn của phơng trình

Tập xác định của phơng trình: là những giá trị của biến làm cho

mọi biểu thức trong phơng trình đều có nghĩa

Mỗi phần tử (a1,a2,….,an) R thỏa mãn đẳng thức :

A(a1,a2,….,an) = B(a1,a2,….,an) đợc gọi là một nghiệm của phơngtrình

Việc tìm nghiệm thuộc R đợc gọi là giải phơng trình.

ax2 + bx + c = 0 ( a0)

Tính a + b + c

Ph ơng trình có 2 nghiệm

x1 = 1 ; x2 =

Tính a - b + c

Ph ơng trình có 2 nghiệm

x1 = -1 ; x2 = Tính

Ph ơng Ph ơng trình có nghiệm Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

= 0

= 00

= 0

- Phơng trình bậc cao : là pt dạng anxn + an - 1x n - 1 + +a1x + a0 = 0

(anxn + an - 1x n - 1 + +a1x + a0 là đa thức bậc n ( n 3) ) Trong đó xlà ẩn ; an,an - 1, ….,a1,a0 là các hệ số

Cách giải phơng trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và đợc nghiên cứu ở phần sau.

2 Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình gọi

là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của

một phơng trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì đợc phơng trìnhmới tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9

2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 )

Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một

phơng trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đãcho

Ví dụ : - 4x + x2 -5 = 2x + x2

- 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x2 ở hai vế )

b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng

trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ : x2 - 3x =

2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )

4 Hệ quả định lí Bơdu:

x =  là nghiệm của đa thức f(x)  f(x) chia hết cho nhị thức x - 

Định lí này giúp chúng ta đa Pt bậc cao về phơng trình tích ( quy

bn-3(= bn-2 +an-2)

…… b0

(= b1 +a1)

r(= b0 +a0)

6 Nghiệm (nếu có) của một phơng trình:

Phơng trình anxn + an - 1x n - 1 + + a1x + a0 = 0

-Nghiệm nguyên của Pt phải là ớc của a0

-Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng ( trong đó p là ớc của a0; q là ớc

B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:

- Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên

Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x = , nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ có nhân tử 3x + 1 Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân

tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1:

(*) 3x3 + x2 - 15x2 - 5x+ 9x + 3 = 0 x2(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0

Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dơng và n 2

- Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phơng trình trùng

Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ

+ Với t2 = 3 = > x2 = 3

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x1 = - ; x2 = -1; x3 = 1; x4 =

- Khi n > 2 Đặt xn = t , để tìm nghiệm của phơng trình ta giải hệ :

trong đó vế trái là đa thức bậc n đợc gọi là phơng trình đối xứng nếu

các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là :

an= a0, an - 1 = a1,……

Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ

x2 + 6x+ 11 + + = 0

(x2 + ) + 6( x+ ) + 11 = 0

Đặt x+ = t  x2 + + 2 = t2  x2 + = t2 - 2

 Pt có dạng : t2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)2 = 0 => t = -3x+ + 3 = 0 => x2 + 3x+1 = 0 Nghiệm Pt : x1,2 =

Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5), ta không thể giải ngay

t-ơng tự nh VD1 và VD2 Ta nhận thấy Pt đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là x = -1

x 2 + x +1 = 0 Pt vô

nghiệm

Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ

Khi đó (*) (x + 1)( 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0

x + 1 = 0

2x4 + x3 - 6x2 + x + 2 = 0 ( Pt đối xứng bậc chẵn đã biết cách giải )

Chú ý: Nếu m là nghiệm của phơng rình đối xứng thì cũng là

y2 + 25y + 150 = 0Giải Pt ta đợc y1 = -10; y2 = -15 =>

x2 + x + 1 = 0

x2 + 3x - 1 = 0

x2 + 2x + 8=

0

x2 - 2x - 4= 0

số bất định để đa Pt về Pt tích)

Giả sử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = ( x2 + ax + b) ( x2 + cx + d)

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = x4 + (a+ c)x3 + ( ac + b + d) x2 + ( ad + bc) x + bd

a + c = -6

ac = 8

b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 1; x2 = 2;x3 = -3

c = -2

a = -4

c = -2 3a + c = -

14

d, ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7) + 15 = 0

[( x + 1)( x + 7)][ ( x + 3) ( x + 5)] + 15 = 0

§Æt x2 + 8x + 11 = t NghiÖm: x1 = -2 ; x2 = -6; x3,4= -4

b) x2 + 4x -12c) 2x3 - 5x2 - 3xd) x4 + 4x2 - 5e) x3 - 7x + 6f) 3x3 - 7x2 + 17x - 5g) 4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 33)Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24b) ( x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 2) - 6c) ( x2 + 4x + 8)2 + 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x2d) x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128

e) 4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y2z2f) x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1

g) x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1

Phơng pháp: Dự đoán nhân tử dạng tổng quát , sau đó đồng nhất

hệ số 2 vế tìm các hệ số cha biết

b) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3c) x5 - 2x4 - 10x3 - 13x2 - 16x + 4d) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1e) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1

Một số bài tập áp dụng:

6) Tìm nghiệm của đa thức:

a) x2 - 7x+ 6b) x3 + 5x2 + 8x + 4c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4d) ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12

e) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +17) Giải phơng trình:

a) 6x2 - 11x + 3 = 0b) x3 - 7x - 6 = 0c) x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0d) x3 - x2 - x = 2

e) 2x3 - x2 + 5x + 3 = 0

Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§

f) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0g) (x2 + 8x + 7) ( x 2 + 8x + 15) + 15 = 0h)

i) 4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x2 = 0j) ( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3

8) Rót gän

a) b)

= ( x + 1) ( x + 4) ( x - 1) ( x + 6)

h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c)i) ( a - b)( b - c) ( a - c)

j) ( a2 - b) ( b2 - c) ( c2 - a)k) D¹ng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz KÕt qu¶ (x + y) ( y + z) ( x + z)

l) 3( x + y) ( y + z) ( x + z)a)

b) ( x+ 2) ( x 4 - 4x 3 - 2x 2 - 9x + 2) = ( x+ 2) ( x2 + x + 2) ( x2 - 5x + 1)d) D¹ng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d)  kÕt qu¶ ( 3x + y + 5) ( x + 7y + 2)

PhÇn III : KÕt luËn :

Qua nghiên cứu và thực tiễn giảng dạy tôi thấy việc dạy cho họcsinh các kiến thức cơ bản về đa thức, nhất là các phơng pháp phântích đa thức thành nhân tử là hết sức cần thiết, bởi nó có tầm quantrọng đặc biệt trong toán học Tuy nhiên vấn đề đặt ra là cần đacung cấp cho học sinh ở mức độ nào, học thế nào còn tuỳ thuộc vào khảnăng nhận thức của học sinh

Đề tài này đợc viết từ nhận thức của bản thân đợc đúc kết trongquá trình giảng dạy, không tránh khỏi thiếu sót Rất mong các thầy cô,bạn đồng nghiệp góp ý để đề tài đợc hoàn hảo có tính thực tiễn hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Ngời viết đề tài

Nguyễn Văn Minh

Môc lôc

Trang

II - Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¸p cô thÓ 4

B - VËn dông lÝ thuyÕt vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y 6

Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§