Ngời ta xếpcác phần tử của A và B lên một trục số.
Trang 1Thí dụ 7: Các phần tử của A sơn xanh, các phần tử của B sơn đỏ Ngời ta xếp
các phần tử của A và B lên một trục số Tìm m để A ∪ B có 4 phần tử và 2 phần
tử cùng màu của chúng không đứng kề nhau, với:
1) A= {x∈R|x2 − 6x+m= }( )1 ;B= {x∈R|x2 − 5x−m= }( )2
2) A= {x∈R|x2 −x+ 2m= 0 };B= {x∈R|x2 +x+m− 2 = }
Lời giải
Câu 1:
Cách 1: (Định lý đảo của tam thức bậc 2)
Gọi f1(x) = x2 -6x + m; g1(x) = x2 – 5x-m ∏= f1( ) ( )x1 f1 x2
Rõ ràng f1(x) = g1(x)-x + 2m
Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ ⇔ phơng trình g1(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn ∏= f1( ) ( )x1 f1 x2 < 0
4
25 0
4
25 + ∆ > ⇔ < − 1 = − ∈
=
∏= − − = − + +
2 1 2
1 2
Thay x1x2 = -m; x1 + x2 = 5 vào (3) có: ∏= 4m2 − 11m
Bởi thế: ∏< ⇔ − < ⇔ < <
4
11 0
0 11 4
Cách 2: (Dùng đồ thị để tìm miền gía trị)
Viết lại ( )1 ⇔m= f( )x = −x2 + 6x
( )2 ⇔m=h( )x =x2 − 5x
Vẽ các parabol (P): y = f(x); (Q): y = h(x)
4
11
; 2
11 , 0
; 0
A O
Căn cứ vào đồ thị suy ra tập hợp giá trị phải tìm của m là 0 < m <
4
11
Cách 3: (Tung độ giao điểm 2 parabol âm)
Vẽ các parabol (P): y = x2-6x + m;
(Q): y = g(x) = x2 – 5x-m (4) Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là:
x2-6x + m = x2-5x-m ⇔ x = 2m
Thay vào (4) có tung độ giao điểm là y = 4m2-11m
(P) và (Q) đều lõm nên 2 phơng trình có nghiệm xen kẽ
⇔ Tung độ giao điểm của (P) và (Q) có giá trị âm ⇔ h(2m) < 0
⇔ 4m2 − 11m< 0 ⇔ 0 <m<114
Câu 2:
Gọi ( )= + + − ( )= 2 − + ∏= 1( ) ( )1 1 2
1
2
f
Rõ ràng f1( )x = g1( )x + 2x+m− 2
Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ ⇔ Phơng trình g1(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn ∏= f1( ) ( )x1 f1 x2 < 0
8
1 0
8
1 − ∆ > ⇔ < 1 = + − ∈
=
2 1 2
1 2
=
Thay x1x2 = 2m; x1 + x2 = 1 vào (3) có: ∏ = m2-6m
Trang 2Bởi thế: ∏< 0 ⇔m2 − 6m< 0 ⇔ 0 <m< 6
Thí dụ 8:
1 Tìm a để phơng trình x2 + 4x− 2 |x−a| + 2 −a= 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt
2 Tìm a để phơng trình x|x+ 2a| + 1 −a = 0 có 1 nghiệm duy nhất
Lời giải
Câu 1: x2 + 4x− 2 |x−a| + 2 −a= 0 (1)
Tập xác định: R
( )
<
= + +
≥
=
− +
−
⇔
<
=
− + +
≥
= + + +
⇔
a x
a x
a x
a x
a x
a x
x
a x
a x
x
3
7 3 3 1
1 1
0 3
2 2 3
0 2
2
1
2
2
2 2
Vẽ các parabol
3
7 3 3
1 :
; 1 1 :
2 2
2 1
− +
=
=
− +
−
=
=
x x
g y
P
x x f y
P
Thấy rằng (P1) ∩ (P2) = {A; B}, trong đó A = (-2; -2), B = (-1; -1)
Căn cứ vào đồ thị suy ra phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt
−
>
−
<
⇔
2
7
a a
Câu 2: x|x+ 2a| + 1 −a= 0
TXĐ: R
Ta có ( )
−
<
=
− +
−
−
−
≥
=
− + +
⇔
a x
a ax x
a x
a ax x
2
0 1
2 2
0 1
2 1
2 2
1
2 2
2
− + +
x
f
a a
a
⇔
=
2
5 1
2 2
' 2
'
1
Ta có f(-2a) = f1(-2a) = f2(-2a)= 1 – a
Hoành độ đỉnh của các parabol (P1): y = f1(x), (P2): y = f2(x) đều bằng –a
Ta có bảng biến thiên của các hàm số f(x), f1(x), f2(x) trong từng trờng hợp nh sau:
Trờng hợp 1: a < 0 (⇒ -a < -2a)
x - ∞ -a -2a + ∞
f1(x)
f2(x)
f(x) - '
1
∆ +∞
1- a
Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất khi và
1
'
1 > ⇔ − ∆ <
∆
−
Trang 3
<
<
+
−
⇔ +
−
<
<
+
−
⇔
<
<
−
+
2
5 1 2
5 1 2
5 1 0
0 1
2
m a
a
a
Trờng hợp 2: a> 0(⇒ − 2a< −a). do ∆ > 0 , ⇔ − ∆ ' < 0 , ∀a
2
' 2
x - ∞ -2a -a + ∞
f1(x
)
f2(x
)
f(x) 1-a +∞
+∞ '
2
∆ Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất
Trờng hợp 3: a= 0 , f( )x :x|x| + 1 = 0 ⇔x= − 1 (3)
⊕ Từ (2), (3), (4) suy ra:
Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a >
-2 5
1 +
