giải pt bậc cao(GV Trần Mai Ninh)

Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Những phương pháp giải phương trình bậc cao.” Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại được một số dạng toán giải

Phần I

Đặt vấn đề

Toán học là môn khoa học tự nhiên có từ rất lâu đời Nó tồn tại và pháttriển cùng với sự tồn tại và phát triển của xã hội loài người Từ 2000 năm trướccông nguyên người Cổ đại đã biết cách giải các phương trình bậc nhất, người cổBabilon đã biết giải phương trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giảiphương trình bậc ba

Nhưng để giải các phương trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhàToán học Nauy là Abet ( 1802 – 1829) chứng minh được rằng phương trình tổngquát bậc 5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải được bằng các phương tiện thuần tuýđại số Sau cùng nhà toán học Pháp là Galoa ( 1811 – 1832) đã giải quyết mộtcách trọn vẹn về vấn đề phương trình đại số

Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấymảng giải phương trình bậc cao được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rấtkhiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời giangiành cho nó là quá ít ỏi Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rấtphong phú, đa dạng và phức tạp Các phương trình bậc cao là một nội dungthường gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thituyển sinh vào Đại học và cao đẳng

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trởngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình bậc cao Cùng với sựtích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp vớinhững kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học Toán mà đặcbiệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài

“Những phương pháp giải phương trình bậc cao.”

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,

tự phân loại được một số dạng toán giải phương trình bậc cao, nêu lên một sốphương pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơntrong việc giải phương trình bậc cao Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh pháthuy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá bài tập nhỏ Từ đóhình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập

Phần II :

Nội dung đề tài nghiên cứu

Để giải một bài toán đòi hỏi người giải phải biết phân tích để khai thác hếtgiả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán để từ đó địnhhướng cách giải Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan trọng cầnthiết của việc phân tích và nhận định hướng giải, nhiều em không học lý thuyết đãvận dụng ngay, không giải được thì chán nản, bỏ không giải hoặc giở sách giải rachép v.v

Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chương phương trình ta thấycác dạng phương trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năngbiến đổi đại số như sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức

mở rộng, dùng các phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi đại số, phântích đa thức thành nhân tử

Công cụ giải phương trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán cấphai là đủ Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sựlập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trường hợp cụ thể củatừng vấn đề Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sứcsáng tạo, linh hoạt trong khi giải phương trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoánhững vấn đề cần thiết

Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinhphải thực sự đúng quy trình các bước biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống,không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹnăng giải bài tập hợp lôgíc toán học

Việc giải phương trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chương trình bậcnhất một ẩn phần cuối chương, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trungbình và học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít

* Đối với giáo viên : Phải hệ thống được các khái niệm và các định nghĩa

cơ bản của các dạng phương trình, các tính chất và các cách giải phương trình từđơn giản đến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm được những ứngdụng đa dạng, phong phú của phương trình Mặt khác phải lựa chọn các phươngpháp thích hợp đối với từng đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ củagiáo viên

* Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định

nghĩa, các phép biến đổi tương đương, các tính chất và các hệ quả Từ đó pháttriển khả năng tư duy, lôgíc cho người học Giúp cho học sinh có một khả năngđộc lập, suy diễn và vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh Đồng thời cho họcsinh thấy được sự thuận tiện hơn rất nhiều trong giải phương trình

II- Những kiến thức cơ bản trong giải phương trình :

1- Các định nghĩa :

1.1 Định nghĩa phương trình :

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x Khi nói A(x) = B(x) làmột phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng củahai biểu thức này bằng nhau

Biến x được gọi là ẩn

Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương

1.2 Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn :

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 được gọi

là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do

1.3 Tập xác định của phương trình :

Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa

1.4 Định nghĩa hai phương trình tương đương :

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

1.5 Các phép biến đổi tương đương :

Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành nhữngphương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn) Phép biến đổi như thếđược gọi là phép biến đổi tương đương

1.6 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn :

Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0;trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a  0

1.7 Định nghĩa phương trình bậc cao :

Ta gọi phương trình đại số bậc n trên trường số thực là các dạng phươngtrình được đưa về dạng :

anxn + an-1xn-1 + + a1 + a0 = 0Trong đó n nguyên dương; x là ẩn; a1, a2, a3, , an là các số thực xác định( an  0)

2- Các định lý biến đổi tương đương của phương trình :

1 2

III- Một số cách giải phương trình bậc cao :

A- Phương hướng :

ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phương trình bậc ba, bậcbốn còn phương trình bậc 5 không có phép giải tổng quát Tuy nhiên trong một sốtrường hợp đặc biệt có thể đưa phương trình cần giải về những phương trình bậc

1, bậc 2 Ta phải dựa vào đặc thù của phương trình cần giải để có phương phápthích hợp

Giải và giảng dạy các bài toán về giải phương trình bậc cao quy về bậc nhấtmột ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phương trình bậc nhất, bậc 2 Nóichung bao gồm nhiều dạng và phong phú được các nhà toán học và sư phạm quantâm và đề cập tới trong nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn cứ vào mục đích

ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chương phương trình Trong quátrình giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạyhọc, các phương pháp đặc trưng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đưa cácphương trình bậc cao về bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách

Các dạng cơ bản của phương trình bậc cao thường gặp là các phương trìnhtrùng phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch

B- Các bài toán và phương pháp giải :

1- Phương pháp đưa về phương trình tích :

1.1 áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử :

Để giải các phương trình dạng này trước hết ta phải nắm vững các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đưa phương trình đã cho vềdạng tích

f(x).g(x) h(x) = 0 <=> f(x) = 0

g(x) = 0 = 0h(x) = 0

Vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 phần tử bằng 0 Nghiệm củaphương trình đã cho chính là tập hợp nghiệm của các phương trình :

f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = 0

* Bài toán 1 : Giải phương trình (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1)

Giải : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3

Với học sinh lớp 8 ta làm như sau:

Do x2 + x + 1  0 nên phương trình có một nghiệp x – 4 = 0 <=> x = 4Với học sinh lớp 9 :

(2) <=> x2 + x + 1 = 0 (*)

x – 4 = 0 (**)Giải phương trình (*) :  = 1 – 4 = -3 < 0 nên (*) vô nghiệm

Giải (**) : x = 4

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 4

1.2 Nhẩm nghiệm rồi dùng lược đồ Hoócne để đưa về phương trình tích.

bn – 2 = x0bn – 1 + an – 1

Việc nhẩm nghiệm các phương trình dựa trên các cơ sở sau :

1.2.1 Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa

thức, đa thức chứa thừa số x –1

1.2.2 Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng

các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa

số ( x + 1)

1.2.3 Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ước số của hệ số tự do a0

1.2.4 Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên :

Kiểm tra thấy x = 4 là 1 nghiệm

áp dụng lược đồ Hoocne ta đưa phương trình (3) về dạng

(x – 4) ( x2 – x + 4) = 0

<=> x – 4 = 0 (*)

x2 – x + 4 = 0 (**)(*) <=> x – 4 = 0 <=> x = 4(**) <=> x2 – x + 4 = 0

∆ = 1 – 4.4 = 1 – 16 = - 15 < 0 => (**) vô nghiệmVậy nghiệm của pt (3) là x = 4

* Bài toán 4: Giải pt: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 ( 4)

Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 không thể giải quyếtđược vấn đề ( vì ở phương trình này không có nghiệm nguyên) Ta nghĩ đến cơhội cuối cùng nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ và áp dụng nhận xét ở mục 1.2.4

(4) <=> 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = 0

<=> (2x)3 – 5 (2x)2 + 16(2x) – 12 = 0Đặt y= 2x ta có:

(**) <=> y2 – 4y + 12 = 0 vô nghiệm vì

<=> ( y – 2)2 + 8 > 0  yVậy phương trình ( 4) có một nghiệm và x = 1/2

1.2.5 Việc nhẩm nghiệm như ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng

tạ do a0 lớn và có nhiều ước số Trong trường hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau

để đi loại trừ bớt các ước không là nghiệm của phương trình một cách nhanhchóng

- Nếu x0 là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1)  0; f(-1)  0 thì

đều là các giá trị nguyên

*Bài toán 5 : Giải phương trình : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 0 (0)

Giải : U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Hiển nhiên –1, 1 không là nghiệm của (5) =>f(1) 0, f(-1) 0

Ta thấy : f    Z

2

18 1 3

) 1 (

3

) 1 (`

=> Phương trình (5) có khả năng có nhiệm là x1 = 3

áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa (5) về dạng sau :

(x-3) ( 4x2 – x + 6 ) = 0

<=> x – 3 = 0 (*)

4x2 – x + 6 = 0 (**)(*) <=> x = 3

Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c.

* Bài toán 8 : Giải phương trình

Ta được phương trình : y ( y+8) = 9

x = - 1; x = -3

Dạng 4: Phương trình đối xứng bậc chẵn có dạng:

a0x2n + a1x2n-1 + + an – 1xn + anxn –1 + + a1x + a0 = 0

Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của

phương trình cho x2 rồi đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x

* Bài toán 10: Giải phương trình

2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1)

Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1)

Với x  0 chia 2 vế của (1) cho x2 ta được phương trình tương đương

02333

x

0 5 )

1 ( 3 )

1 ( 2

0 5 )

1 ( 3 )

1 2 ( 2

2

2 2

x

x

x x

7 3

;1 4

7

3

2 1

2

1 4

3 5

x

a0x2n-1 + an-1x2n + + anxn -1 + anxn + + a1x + a0 = 0

Cách giải: Phương trình này bao giờ cũng có nghiệm x0 = -1 và khi chia 2

vế của phương trình cho ( x +1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn 2n

* Bài toán 11: Giải phương trình

2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0 ( 3)

Dễ dàng thấy rằng x = 0 không là nghiệm của (3)

Chia cả 2 vế của ( 3) cho x2  0, ta có phương trình tương đương

2x 2 + 3x – 16 + 3 1  2 12  0

x x

020)

1(3)

1(

13 3

4

13 3

3 2

2

5 1





x x

3 2

* Dạng 6: Phương trình có dạng:

(x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2

Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 hoặc y = (x + a) (x + d)

*Bài toán 12: Giải phương trình

x

(2) <=> 4y ( y + 1) = 3

<=> 4y2 + 4y – 3 = 0

<=> y1 = 1/2 ; y2 = -3/2Với y = 1/2 ta có : 2x2 + 31x + 120 = 0

<=> x1 = - 8; x2 = -15/2Với y = -3/2 ta có :2x2 + 35x + 120 = 0

3 4

3 5

x

2

1 4

3 5

x

3 2

265 35

*Bài toán 13: Giải phương trình

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x = 3 ; x = 4

* Dạng 7: Phương trình có dạng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx

Trong đó:

2

c b a

d    ; m = (d – a)(d – b)(d – c)

* Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + d, một nghiệm của phương trình là y = 0

* Nhận xét: Một số thiếu sót thường mắc khi biến đổi phương trình:

- Khi chia 2 vế cho một đa thức của phương trình

f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thành f1(x) = f2(x)

- Khử luỹ thừa bậc chẵn ở 2 vế của phương trình f2n(x) = g2n(x) (2)

thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm

- Đối với phương trình đầu nên chuyển vế để đưa về phương trình tíchhoặc giải phương trình f1(x) = f2(x)

- Đối với phương trình (2) giải 2 phương trình f(x) = g(x) và f(x) = -g(x)

*Bài toán 14 : Giải phương trình : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*)

Đặt y = x + a/3 = x + 3 => x = y – 3

(*) <=> y3 – 9y + 28 = 0 ( **)

Đặt y = u + v (**) <=> (u + v )3 – 9 ( u + v) + 28

Vậy phương trình (*) có một nghiệm là x = 7

3 – Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc

* Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi

từ đó đưa hai vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc Sau đó vận dụng cáchằng đẳng thức đã học để giải phương trình

622

2

2

x x

x x

Giải (2): x2 + 2 = 2x + 6

<=> x2 – 2x – 4 = 0

’ = 1 + 4 = 5 > 0 => phương trình có 2 nghiệm

x1 =  1 5; x2 =  1 5Giải (3): x2 + 2 = - 2x – 6

(2)(3) <=>

0 ) 4 (

2

2 2

x x

0 4 2

2

x x

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

*Bài toán 17: Giải phương trình:

* Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng

* Bài toán 18: Giải phương trình:

1 9

85   6 

Giải: Viết phương trình dưới dạng

1 9

85   6 

Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (1)

Xét các giá trị còn lại của x

+) Với x < 8 thì 9  x  1  9  x6  1

x 85  0Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm

+) Với x > 9 thì x 8  1  x 85  1

0

9  x6 Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm

5 – Phương pháp dùng điều kiện dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt:

* Bài toán 19: Giải phương trình

3 2

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d vàchỉ thử với các giá trị nguyên

*Bài toán 20: Giải phương trình:

x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)Giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng:

(x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0

14

37 10 4

2 1

2 1

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

b b

b b

b a b a

b b a a

a a

Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = 0

Tiếp tục giải các phương trình bậc hai: x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x – 7 = 0 ta

có nghiệm của phương trình (1) là :

Dạy cho học sinh các phương pháp tìm lời giải cho các bài tập có ý nghĩa vô cùngquan trọng Đòi hỏi người giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tậntuỵ với học sinh, tạo cho học sinh có thói quen tư duy và khả năng lập luận

Phương pháp giảng môn Toán của bậc THCS về môn đại số trong phầnchương trình Bản thân tôi đã đúc rút được trong quá trình giảng dạy ở một chừngmực nào đó vấn đề dạy và học Phương pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự

có tác dụng giúp học sinh làm quen với phương pháp tư duy, phương pháp làmbài Tìm cách giải trong đó xác định rõ các bước cần tiến hành theo một trình tựlôgíc để hoàn thành bài giải

Một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậchai trong chương trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trìnhgiảng dạy Trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phương pháp tìmlời giải các bài tập thực sự có tác dụng cho các dạng bài tập giúp học sinh làmquen với phương pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối vớitừng đối tượng học sinh, tăng cường công tác kiểm tra bài cũ, có biện pháp khích

lệ những cách giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỉ nại vàchờ giáo viên chữa bài tập

Bản thân tôi lần đầu tiên nghiên cứu đề tài này, tôi cũng đã trao đổi thamkhảo, bàn bạc, xin ý kiến của các thầy cô đi trước và các thầy cô giáo dạy trong

bộ môn Toán của nhà trường Song đây là một vấn đề mới mà một bài toán có vôvàn cách giải khác nhau Bản thân tôi kính mong các thầy cô đi trước tạo điềukiện giúp đỡ tôi, đóng góp cho tôi nhiều ý kiến hay và bổ ích để tôi tiếp tục giảngdạy cho các em học sinh đạt kết quả cao nhất trong suốt quá trình dạy học của tôi

Xin chân thành cảm ơn!