b Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.. a Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.. a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
Trang 1Chuyên đề Phương trình bậc hai
1 Cho phương trình x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2
2 Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m
b) Đặt A = 2(x1 + x2) - 5x1x2
+ Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9
+ Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
3 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm giá trị của m để biểu thức P = 10x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
4 Cho phương trình x2 + mx + n - 3 = 0 (m, n là tham số)
a) Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn hệ:
5 Cho phương trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Giải phương trình với m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m
6 Cho phương trình
có 2 nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
7 Cho phương trình x2 + mx + m - 2 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
8 Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng
Trang 29 Cho phương trình (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện 2x1 - x2 = 3
10 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
d/ CMR biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m
11 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phương trình khi m = 129
b) Tìm giá trị của m sao cho các nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn :
2(x1 +x2) - 3x1x2 + 9 = 0
c) Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m
12 Cho phương trình (m - 3)x2 - 2(m + 1)x - 3m + 1 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Cho m = 5, không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
A = x1 + x2 và B = x1 + x2
c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên
13 Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2
14 Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn:
15 Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m
16 Cho phương trình x2 - 6x + m = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 = 2x2
b) Tính theo m giá trị của biểu thức:
Trang 317 Cho phương trỡnh x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Giải phương trỡnh khi m = 3
b) Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1
c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm nhỏ hơn 2
18 Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0
a) Tỡm m để cỏc nghiệm x1, x2 của phương trỡnh thỏa món (2x1 + 1)(2x2 +1) = 8
b) Tỡm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m
19 Cho phương trỡnh x2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
a) Chứng minh rằng phương trỡnh cú nghiệm với mọi m
b) Chứng minh rằng phương trỡnh khụng thể cú nghiệm bằng - 1
c) Biểu thị x1 theo x2
20 Cho cỏc phương trỡnh x2 + mx - 1 = 0 (1) và x2 - x + m = 0 (2) Tỡm m để hai phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm chung Tỡm nghiệm chung đú
Giải bài toỏn bằng cỏch lập PT bậc hai
1/ Một người đi từ TP A đến TP B cỏch nhau 60 km., sau đú trở về A Tỡm vận tốc lỳc đi Biết rằng thời gian đi và t/g về ( Khụng kể t/g nghỉ ) là 5 h và v/tốc lỳc đi nhanh hơn v/tốc về 10 km/h
2/ Một Ca nụ chạy trờn một con sụng dài 30km T/g ca nụ đi xuụi dũng ngắn hơn t/g ca nụ đi ngược dũng
là 1 h 30 phỳt Tỡm v/tốc thực của ca nụ, biết vận tốc của dũng nước là 5 km/h
Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Đến ngày làm việc có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
3/ Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m Nếu tăng thêm cho chiều dài 1
4 của nó, thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3 m2 Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu
4/ Nhà trờng tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan Ngời ta dự tính : Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, nếu loại xe đó đợc huy động
5/Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút Tính vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên nặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h
6/ Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đờng 120km trong một thời gian đã
định Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nới đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa còn lại của quãng đờng Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng
7/ Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vời thứ hai trong 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
8/ Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định Do tăng năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên ngời ấy đã hoàn thành kế hoạh sớm hơn thời gian quy định 1 giờ 40 phút Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định
Trang 4Bài tập Hình tổng hợp Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H và M đối xứng nhau qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Chứng minh ED =
2
1BC.
4 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
5 Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm
Bài 3 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp
điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB là hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng
kính của đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH
3 Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH)
Chứng minh BE = BH + DE
Bài 5 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn
Bài 6 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E)
1 Chứng minh AC AE không đổi
2 Chứng minh ∠ ABD = ∠ DFB
3 Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp
Bài 7 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E,
F BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M Chứng minh :
1 Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC 3 Tứ giác BDFC nội tiếp 4
CF
BM CB BD
=