Các bài toán vô tỷ hay và khó

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ HAY VÀ KHÓ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về phương trình vô tỷ Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về phương trình vô tỷ thường được ra trong các kì thi gần đây Chuyên đề gồm 2 phần:

- Phần 1: Phân tích bình luận, tìm lời giải cho bài toán phương trình vô

tỷ

- Phần 2: Tuyển tập các bài toán Phương trình vô tỷ trong các kì thi học

sinh giỏi và lớp 10 chuyên môn toán.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng chuyên đề phương trình

vô tỷ này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

PHẦN 1 PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

Trong các nội dung trước chúng ta đã được tìm hiểu về các phương phápgiải một phương trình vô tỷ cũng như một phương trình vô tỷ có nhiều phưngpháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên khi đứng trước một bài toán phương trình vô tỷlàm thế nào để tiếp cần và đưa ra được một lời giải cho nó là một câu hỏi lớn vàđang còn bỏ ngỏ Với mục đích mở ra một hướng đi, một suy nghĩ cần có trướcmột phương trình vô tỷ thì trong chủ đề này chúng tôi xin đưa ra một số phântích và suy luận để giải thích lại giải bài toán như thế Trong chủ chúng tôi xingiới thiệu một số nội dung

Phân tích và lời giải

Trước một phương trình vô tỷ, cho dù chúng ta chọn phương pháp nàothì mục đích cuối cùng cũng là làm cho phương trình thoát đi các căn thức mộtcách đơn giản và đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều nữa khi giảiphương trình vô tỷ đó là cần cố gắng nhẩm được một nghiệm để có thể phánđoán hướng đi một cách đúng đắn Không quá khó khăn ta nhân thấy phươngtrình đang xét có một nghiệm x 1=

Phương trình chỉ chứa một dấu căn thứcbậc hai nên có thể loại bỏ căn thức bậc hai bằng phương pháp nâng lên lũythừa, đặt ẩn phụ,…

•

Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là

1x2

≥

x x +6x 3− > ∀ ≥0, x

Hướng 2 Phương trình có chứa căn thức 2x 1−

do đó ta biến đổi phươngtrình và thực hiện đặt ẩn phụ Để ý rằng phương trình đã cho tương đương với

Hướng 4 Phương trình đã cho có đại lượng 4x 2x 1−

nên ta nghĩ đến phân tích phương trình về dạng

≥ Phương trình đã cho tương đương với

≥ , kết luận tập nghiệm S= −{9 6 2;1;9 6 2+ }

Nhận xét Qua ví dụ trên ta nhận thấy khi đứng trước một phương trình vô tỷ

thì lối đi giải bài toán đặt trong tâm vào nhiều hướng tư duy Tuy nhiên việc lựa

như thế nào cho hiệu quả Trong các lời giải trên mỗi lời giải đều có điểm thú vị của nó Do phương trình có nghiệm kép x 1=

nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là cách giải gọn gàng hơn cả.

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 x( 2− +1 4x 4x 4x 3) = −

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho trong ví dụ 2 có hình thức tương tự như trong ví dụđầu nên ta có các hướng tiếp cận lời giải cho phương trình trên như sau Nhẩmmột số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp là x 1=

và x 3=

•

Hướng 1 Phương trình đã cho có chứa một căn thức bậc hai và biểu thức

ngoài căn có dạng tam thức bậc hai Do đó khi thực hiện phep nâng lên lũythừa thì phương trình thu được có bậc 4 Chú ý rằng phương trình có hainghiệm là x 1=

≥ Phương trình đã cho tương đương với

2

9x −4x 3 0+ =

vô nghiệm do ∆ <0

.Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm S={ }1;3

•

Hướng 2 Hoàn toàn tương tự như ví dụ thứ nhất, do phương trình chứa căn

Phương trình đã cho tương đương với

2

3x +4x 3 4x 4x 3− = −

.Đặt 4x 3 y y 0− = ( ≥ )

, khi đó ta thu được phương trình

Hướng 4 Phương trình có hai nghiệm x 1=

và x 3=

nên ta có thể sử dụngphương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân tử

≥ Phương trình đã cho tương đương với

Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy được nhiều hướng đi trong tìm lời giải

cho bài toán Các hướng phân tích đều có tính hợp lý dựa trên mỗi liên hệ giữa các đại lượng cho trong phương trình và các lời giải đều có tính tự nhiên.

Ví dụ 3 Giải phương trình 3x2+2x 7 3 x 1 x+ = ( + ) 2+3

Phân tích và lời giải

Phương trình có chứa một căn thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên khitiếp cận phương trình đó làm triệt tiêu căn thức bậc hai Chú ý rằng các đạilượng ngoài căn là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêucăn thức bậc hai ta có thể sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa hoặc phépđặt ẩn phụ Nhẩm một số giá trị ta nhận được x 1=

là một nghiệm của phươngtrình Do đó với phương trình này ta có một số hướng tiếp cận như sau

•

Hướng 1 Nhận thấy các đại lượng có ngoài căn có bậc nhât và bậc hai, còn

phương trình thu được là phương trình bậc ba Mà phương trình lại có mộtnghiệm là x 1=

nên phương trình bậc ba giải được Đến đây ta giải được bàitoán

Điều kiện xác định của phương trình là x≥ −1

Hướng 2 Chú ý đến đại lượng 3 x 1 x( + ) 2+3

, để làm triệt têu căn thức ta cóthể sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình được viết lại thành

ta viết phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là x≥ −1

Phương trình đã cho tươngđương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1=

là nghiệm duy nhất của phương trình

•

Hướng 3 Lại để ý đến đại lượng 3 x 1 x( + ) 2+3

ta nghĩ đến phân tích phương trình về dạng hiệu của hai bình phương

Phương trình đã cho tương đương với

.+ Với a 2b=

ta được hệ vô nghiệm

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1=

là nghiệm duy nhất của phương trình

•

Hướng 4 Chú ý rằng phương trình có nghiệm duy nhất là x 1=

nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo ra nhân tử chung x 1−

Phươg trình đã cho tương đương với

Nhận xét Về mặt hình thức thì phương trình cho trong ví dụ ba hoàn toàn

tương tự như các ví dụ trên nên các hướng tiếp cận phương trình như trên là hoàn toàn tự nhiên.

Ví dụ 4 Giải phương trình

22

7x 1 7 x x 2x

Phân tích và lời giải

Phương trình được cho trong ví dụ 4 có hình thức tương tự như ví dụ 3 do

đó ta có các hướng tiếp cận phương trình như sử dụng phép nâng lên lũy thừa,đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thànhtích,…

•

Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 0>

Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

1 281x

Phân tích và lời giải

Phương trình chỉ chứa một dấu căn và để ý rằng

.Đặt a= x2−5x 6;b+ = x 1 a 0;b 0− ( ≥ ≥ )

Khi đó phương trình trên trở thành

a 2b 2ab a b a 2b 0  =

không phải là nghiệm của phương trình và với điều kiện xác định thì x 1 0− >

.Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình chứa hai căn thức bậc hai do đó ta cần đơn giản hóa tối đaphương trình bằng cách làm triệt tiêu các căn thức Ta có thể loại bỏ một căn

Hướng 1 Đầu tiên ta tiếp cận với phương trình với hướng nâng lên lũy thừa.

Để ý rằng sau lần nâng lên lũy thừa thứ nhất phương trình chưa triệt tiêu hếtcăn thức Do đó ta có thể xử lý tiếp bằng cách nâng lên lũy thừa hai vế tiếp.Chú ý rằng phương trình có một nghiệm là x 0=

Điều kiện xác định là

2

2x 1 03x 8x 4 0

2 2

++

= − không phải là nghiệm của phương trình

+

++

Nhận xét Phương trình chứa hai căn thức bậc hai nên hoàn toàn tự nhiên

khi ta chọn phương án ẩn phụ hóa phương trình Có hai cách ẩn phụ hóa như trên nhưng về mặt bản chất hai cách đó là một và chỉ khác nhau ở hình thức trình bày lời giải.

Ví dụ 7 Giải phương trình

x +5x 3+ + x +5x 2 5− =

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình đã cho thì suy nghĩ đâu tiên khi tiếp cận phươngtrình đó là nhân lượng liên hợp đưa phương trình về hệ tạm Ngoài ra để ý ta

thấy (x2+5x 3+ −) (x2+5x 2− =) 5

thì ta lại có các hướng tiếp cận như đặt ẩn phụhoặc nâng lên lũy thừa

Trong cả ba lời giải trên ta đều không đi sâu vào giải các điều kiện phức tạp

mà lại dùng phép thử lại nghiệm để kết luận.

Phân tích và lời giải

Phương trình chứa hai căn thức bậc bốn, do đó ta không không thể sửdụng pháp nâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Để ý rằng x 2 x 2+ − =

nên tanghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng hệ phươngtrình Ngoài ra từ điều kiện xác định 0 x 2≤ ≤

và nhẩm thấy phương trình có mộtnghiệm là x 1=

nên ta có thể xử lý phương trình bằng phương pháp đánh giá

Để ý rằng x 2 x 2+ − =

nên khi đặt a= 4x;b=42 x a 0;b 0− ( ≥ ≥ )

thì ta thuđược phương trình

ta được ab 1=

Khi đó ta có hệ phương trình

4 4

vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1=

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

4x+42 x 2− =

có nghiệm thì các bất đẳng thức trên đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là

4x= 42 x 1− = ⇒ =x 1

.Thử x 1=

vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1=

•

Hướng 3 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2≤ ≤

.Lại thấy do x 1=

4x+42 x 2− =

có nghiệm thì các bất đẳng thức trên đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là

4x= 42 x 1− = ⇒ =x 1

.Thử x 1=

vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1=

Nhận xét.

•

Trong lời giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình

về hệ phương trình, tuy nhiên việc giải hệ phương trình tương đối phức tạp

•

Trong lời giải thứ hai và thứ ba ta sử dụng phương pháp đánh giá bằng ác

phương pháp này dường như phương trình cần có sự đặc biệt nào đó về mặt hình thức.

Ví dụ 9 Giải phương trình (x 3 48 x+ ) − 2−8x x 24= −

Phân tích và lời giải

Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là − ≤ ≤12 x 4

Phươngtrình chỉ chứa một căn thức bậc hai, do đó khi thực hiện nâng lên lũy thừa thì tathu được phương trình bậc bốn, do ta không nhẩm nên ta phân tích phươngtrình bậc bốn thành tích của hai phương trình bậc hai, để xử lý điều này ta sửdụng phương pháp hệ số bất định, tuy nhiên hướng đi này gây cho ta có nhiềukhó khăn

hay 2ab 2x 48= −

Như vậy kết hợp hai kết

quả trên thì ta thu được phương trình ( )2

hay 2ab 2x 48= −

.Kết hợp hai kết quả trên ta được ( )2

a b+ = ⇔ + = ±9 a b 3

hay ta được 2

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta có tập nghiệm

x −8x 48 2 x 3+ + + − −x 8x 48+ + + = ⇔ − −x 3 9 x 8x 48 x 3+ + + =9

Như vậy phương trình đã cho giải được

Điều kiện xác định của phương trình là − ≤ ≤12 x 4

Phương trình đã cho tương đương với

(x 3+ ) ( 48 8x x− − 2+ =x) x2+4x 24−

x 4x 24 02x 6

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có chứa gai căn bậc lệch nhau nên để loại bỏ căn thức ta có thể sử dụng ẩn phụ hoặc sử dụng phép nhân đại lượng liên hợp, ngoài ra ta cũng có thể sử dụng phương pháp đánh giá Để ý là nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x 1=

là một nghiệm của phương trình

•

Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là

2x3

≥

33 2x 2 3x 2 1− − + x≥2

≥ nên 2 3x 2 1 0− + >

=không phải là nghiệm của phương trình đã cho

2 33

là nghiệm nên ta sử dụng phép đánh giá phương trìnhxoay quanh nghiệm x 1=

Điều kiện xác định của phương trình là

3x2

≥ Phương trình đã cho tương đương với

là nghiệm duy nhất của phương trình.

•

Nhận xét Trong hai hướng tìm lời giải trên ta thấy hướng thứ nhất tự nhiên

hơn và cũng dễ phát hiện hơn Hướng giải thứ hai sử dụng phương pháp đánh giá chỉ thực sự được hình thành sau khi nhẩm được nghiệm của phương trình

Ví dụ 11 Giải phương trình

2

4x + 2x 9 9+ =

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy phương trình chỉ chứa một dấu căn bậchai, do đó để lạo bổ căn thức ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa hoặcphương pháp đặt ẩn phụ Trước hết ta ta tìm được điều kiện xác định của

phương trình là

9x2

≥ −

Với phương

trình này ta chưa thể giải được nên ta chú ý đến phép đặt ẩn phụ y= 2x 9+

≥ − Đặt y= 2x 9,y 0+ ≥

24x + =y 9

Từ đó ta có hệ phương trình2

, từ đó ta được

1 x

33 12

42x 1 2x 9

1 37 33 1

S  − ; − 

Hướng 2 Cũng là ý tưởng đặt ẩn phu để loại căn thức, nhưng ở đây ta thử

đặt ẩn phu để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với mỗi ẩn rồikiểm tra xem biệt thức ∆

Điều kiện xác định của phương trình là

9x2

≥ −

Ta viết phương trình lại thành

, từ đó ta được

1 x

33 12

42x 1 2x 9

4 nên khi nhân thêm hệ số ta chọn số chính phương Do đó ta viết phương trìnhlại thành

≥ − Biến đổi tương đương phương trình đã cho

2 2

2

4x 2x 9 9 16x 4 2x 9 3616x 8x 1 4 2x 9 4 2x 9 1 4x 1 2 2x 9 14x 1 2 2x 9 1 2x 2x 9

42x 1 2x 9

1 37 33 1

Hướng 4 Sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để đưa phương trình về

dạng phương trình bậc 4 Do không có nghiệm đẹp nên khi phân tích phươngtrình bậc 4 thành tích ta được hai nhân tử là các tam thức bậc hai Để tìm đượccác tam thức bậc hai đó ta sử dụng phương pháp hệ số bất định

Thực hiện nâng lên lũy thừa ta được

2x 9 9 4x+ = − ⇔8x −36x − +x 36 0=

.Giả sử 8x4−36x2− +x 36 0= =(ax2+bx c mx+ ) ( 2+nx k+ )

Khai triển và đồng nhất hệ

số hai vế ta được am 8;bm an 0;ak cm bn= + = + + = −36;bk cn+ = −1;ck 36=

Ta khôngtiến hành giải hệ trên mà đi chọn các giá trị nguyên của từng cặp hệ số tươngứng thử vào hệ trên để tìm bộ số thỏa mãn Chẳng hạn ta chọn a 4;m 2= =

thayvào rồi thử tiếp các cặp hệ số tương ứng tiếp Qua một thời gian thử ta chọnđược bộ số thỏa mãn là a 4;b= = −2;c 9;m 2;n 1;k= = = = −4

≥ −.Phương trình đã cho tương đương với

4x 94x 9

4x 2x 9 2x x 4 08x 36x x 36 0

x

44x 2x 9 0

x

42x x 4 0

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có hình thức đơn giản tuy nhiên nó

khá thú vị vì nó mở ra nhiều hướng tiếp cận phương trình Với mục đích thoát căn nên với phép đặt ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng hệ phương trình gần đối xứng dạng 2 Khi dó phương trình được giải một cách nhẹ nhàng.

Ví dụ 12 Giải phương trình (x 1 x 3+ ) ( + =) 5 5x 11+

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hình thức tương tự như phương trình cho trong ví

dụ 11 Do đó ta có các hướng tiếp cận phương trình như đặt ẩn phụ đưa phươngtrình về hệ phương trình đối xứng dạng 2, biến đổi phương trình về dạng

thì ta viết phương trình lại thành

2

t − =1 5 5t 1+

Đến đây ta cóthể chuyển phương trình về hệ phương trình đối xứng dạng 2 bằng phép đặt

≥ − Phương trình đã cho tương đương với

2

x +4x 3 5 5x 11+ = + ⇔ x 2+ − =1 5 5 x 2 1+ +

.Đặt t x 2= +

, khi đó phương trình trên trở thành

2

t − =1 5 5t 1+

Hướng 2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình về dạng tích

Trước hết ta viết phương trình lại thành

Điều kiện xác định của phương trình là

11x5

≥ − Phương trình đã cho tương đương với

ta được 5x 11 x 2+ = +

hay ta được

1 29x

, phương trình vô nghiệm

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

2

4x +36x 81 4 5x 11 20 5x 11 24+ = + + + + ⇔ 2x 9+ = 2 5x 11 5+ +

Như vậy phương trình giải được

Điều kiện xác định của phương trình là

11x5

≥ − Phương trình đã cho tương đương với

( ) ( ) ( )

2 2

≥ − Phương trình đã cho tương đương với

2 2

2 2

Nhận xét Trong cách giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa

phương trình về dạng hệ đối xứng kiểu II Các bước thực hiện có thể hiểu đơn giản như sau:

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho được viết lại thành

2

2x −6x 3− = 4x 9+

, hoàn toàn tương tự nư trên ta có các hướng giải cho phương trình

•

Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là

9x4

≥ − Phương trình đã chotương đương với

hay

t y=, khi đó ta được

≥ − Phương trình đã chotương đương với

2 2

2x 6x 3 4x 9 4x 8x 4 4x 9 2 4x 9 1

2x 2 4x 9 1 2x 3 4x 92x 2 4x 9 1

≥ − Phương trình đã chotương đương với

Nhận xét Phương trình đã cho có dấu hiệu khả quan về việc đưa về hệ

phương trình đối xứng loại hai, khi đó ta có thể xử lí như sau:





+ Để hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại hai thì các hệ số của các ẩn

tương ứng trong hai phương trình tuân theo dãy tỉ số

Lời giải Cách 1 Điều kiện xác định của phương trình là x≥ −2

Phương trình đã cho tương đươg với

x 2 2 x 2 4x+ + + − −7x 3 0− =Đặt t= x 2,t 0+ ≥

Khi đó phương trình trên trở thành

2 2

2

y +2y x 1 0− − =

Phương trình đã cho trở thành2

4x +7x 2y 1 0− − =

Từ đó ta có hệ phương trình

2 2