tuyen tap cac bai toan phuong trinh vo ty hay va kho

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ HAY VÀ KHÓ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về phương trình vô tỷ Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về phương trình vô tỷ thường được ra trong các kì thi gần đây Chuyên đề gồm 2 phần:

- Phần 1: Phân tích bình luận, tìm lời giải cho bài toán phương trình vô tỷ

- Phần 2: Tuyển tập các bài toán Phương trình vô tỷ trong các kì thi học sinh giỏi và lớp

10 chuyên môn toán.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng chuyên đề phương trình vô tỷ này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

PHẦN 1 PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

Trong các nội dung trước chúng ta đã được tìm hiểu về các phương pháp giải mộtphương trình vô tỷ cũng như một phương trình vô tỷ có nhiều phưng pháp tiếp cận xử lý.Tuy nhiên khi đứng trước một bài toán phương trình vô tỷ làm thế nào để tiếp cần và đưa

ra được một lời giải cho nó là một câu hỏi lớn và đang còn bỏ ngỏ Với mục đích mở ramột hướng đi, một suy nghĩ cần có trước một phương trình vô tỷ thì trong chủ đề nàychúng tôi xin đưa ra một số phân tích và suy luận để giải thích lại giải bài toán như thế.Trong chủ chúng tôi xin giới thiệu một số nội dung

 Phân tích và suy luận đứng trước một phương trình vô tỷ

 Lựa chọn phương án hợp lý để tìm được lời giải tối ưu

 Những hướng tiếp cận khác nhau – khó khăn và hướng khắc phục

Ví dụ 1 Giải phương trình x26x 3 4x 2x 1  

Phân tích và lời giải

Trước một phương trình vô tỷ, cho dù chúng ta chọn phương pháp nào thì mụcđích cuối cùng cũng là làm cho phương trình thoát đi các căn thức một cách đơn giản vàđơn giản hóa tối đa phương trình Một điều nữa khi giải phương trình vô tỷ đó là cần cốgắng nhẩm được một nghiệm để có thể phán đoán hướng đi một cách đúng đắn Khôngquá khó khăn ta nhân thấy phương trình đang xét có một nghiệm x 1 Phương trình chỉchứa một dấu căn thức bậc hai nên có thể loại bỏ căn thức bậc hai bằng phương pháp nânglên lũy thừa, đặt ẩn phụ,…

 Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là

1x2

 Nhận xét  2  1

x x 6x 3 0, x

2

    

Phương trình đã cho tương đương với

x  4xy 3y 0

, đây là phương trình đồng bậc 2 và chú ý đếncác hệ số thì ta phân tích được

 Hướng 4 Phương trình đã cho có đại lượng 4x 2x 1 nên ta nghĩ đến phân tích

phương trình về dạng A2 B2 hoặc A2B2  Với định hướng đó ta viết phương trình 0

đã cho vè các dạng như sau

+ Khi viết phương trình về dạng A2 B2 ta thấy có các khả năng sau

 Khả năng biến đổi viết phương trình về dạng A2B2  không thực hiện được nên ta 0trình bày lời giải cho phương trình như sau

Điều kiện xác định của phương trình là

1x2

 Phương trình đã cho tương đương với

 , kết luận tập nghiệm S9 6 2;1; 9 6 2  

Nhận xét Qua ví dụ trên ta nhận thấy khi đứng trước một phương trình vô tỷ thì lối đi giải bài

toán đặt trong tâm vào nhiều hướng tư duy Tuy nhiên việc lựa chọn hướng đi nào cho đúng đắn phụ thuộc vào quá trình phân tích và gỡ rối như thế nào cho hiệu quả Trong các lời giải trên mỗi lời giải đều có điểm thú vị của nó Do phương trình có nghiệm kép x 1  nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là cách giải gọn gàng hơn cả.

Ví dụ 2 Giải phương trình  2 

3 x  1 4x4x 4x 3

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho trong ví dụ 2 có hình thức tương tự như trong ví dụ đầu nên

ta có các hướng tiếp cận lời giải cho phương trình trên như sau Nhẩm một số giá trị đặcbiệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp là x 1 và x3

 Hướng 1 Phương trình đã cho có chứa một căn thức bậc hai và biểu thức ngoài căn có

dạng tam thức bậc hai Do đó khi thực hiện phep nâng lên lũy thừa thì phương trình thuđược có bậc 4 Chú ý rằng phương trình có hai nghiệm là x 1 và x3 nên khi phân tíchphương trình thành tích thì phương trình có chứa nhân tử x 1 x 3    

và nhân tử còn lại

là tam thức bậc hai nên ta giải được

Điều kiện xác định của phương trình là

3x4

 Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm S1; 3

 Hướng 2 Hoàn toàn tương tự như ví dụ thứ nhất, do phương trình chứa căn 4x 3

nên ta có thể thực hiện phép đặt 4x 3 y y 0  

để đưa phương trình về dạng đồng bạc hai,

Phương trình đã cho tương đương với 3x24x 3 4x 4x 3

 Phương trình đã cho tương đương với

Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy được nhiều hướng đi trong tìm lời giải cho bài toán Các

hướng phân tích đều có tính hợp lý dựa trên mỗi liên hệ giữa các đại lượng cho trong phương trình

và các lời giải đều có tính tự nhiên.

Phân tích và lời giải

Phương trình có chứa một căn thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên khi tiếp cậnphương trình đó làm triệt tiêu căn thức bậc hai Chú ý rằng các đại lượng ngoài căn là nhịthức bậc nhất và tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu căn thức bậc hai ta có thể sử dụngphương pháp nâng lên lũy thừa hoặc phép đặt ẩn phụ Nhẩm một số giá trị ta nhận được

x 1 là một nghiệm của phương trình Do đó với phương trình này ta có một số hướngtiếp cận như sau

 Hướng 1 Nhận thấy các đại lượng có ngoài căn có bậc nhât và bậc hai, còn đại lượng

trong căn là một đa thức bậc hai Ngoài ra để ý đến hệ số cao nhất của các đại lượng thì tathấy nên nếu sử dụng pháp nâng lên lũy thừa thì phương trình thu được là phương trìnhbậc ba Mà phương trình lại có một nghiệm là x 1 nên phương trình bậc ba giải được.Đến đây ta giải được bài toán

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Dễ thấy phương trình 6x2 4x 22 0  vô nghiệm Do đó từ phương trình trên ta được

x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Hướng 2 Chú ý đến đại lượng 3 x 1   x23

, để làm triệt têu căn thức ta có thể sửdụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình được viết lại thành

 2   2  2 

x 1  3 x 1 x  3 2 x 3 0

và thực hiện đặt ẩn phụ a x 1; b x23thì ta

viết phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là x Phương trình đã cho tương đương 1với

 2   2  2 

x 1  3 x 1 x  3 2 x 3 0

Đặt a x 1; b x23 Khi đó phương trình trên trở thành 0

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Hướng 3 Lại để ý đến đại lượng 3 x 1   x23

ta nghĩ đến phân tích phương trình về dạng hiệu của hai bình phương

Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Hướng 4 Chú ý rằng phương trình có nghiệm duy nhất là x 1 nên ta nghĩ đến

phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo ra nhân tử chung x 1

Phươg trình đã cho tương đương với

+ Khi

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1

 Nhận xét Về mặt hình thức thì phương trình cho trong ví dụ ba hoàn toàn tương tự như các ví

dụ trên nên các hướng tiếp cận phương trình như trên là hoàn toàn tự nhiên.

Ví dụ 4 Giải phương trình

2

27x 1 7 x x 2x

Phân tích và lời giải

Phương trình được cho trong ví dụ 4 có hình thức tương tự như ví dụ 3 do đó ta cócác hướng tiếp cận phương trình như sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưaphương trình về dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,…

 Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 0 Phương trình đã cho tương đương với

70





 Hướng 2 Phương trình đã cho tương đương với

1 281x

70





là nghiệm duy nhất của phương trình

 Hướng 4 Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình chỉ chứa một dấu căn và để ý rằng

     

x  6x 11x 6  x 1 x 2 x 3  

Cũng từ phân tích như trên ta có điều kiện xác định

là x3 hoặc 1 x 2  , khi đó ta viết được căn thức bậc hai thành

   

x  6x 11x 6  x 11. x 2 x 3 

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phântích được 2      

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm

Phân tích và lời giải

Phương trình chứa hai căn thức bậc hai do đó ta cần đơn giản hóa tối đa phươngtrình bằng cách làm triệt tiêu các căn thức Ta có thể loại bỏ một căn thức hoặc lại bỏ haicăn thức Từ đó ta thấy có các định hướng xử lý như sau

 Hướng 1 Đầu tiên ta tiếp cận với phương trình với hướng nâng lên lũy thừa Để ý rằng

sau lần nâng lên lũy thừa thứ nhất phương trình chưa triệt tiêu hết căn thức Do đó ta cóthể xử lý tiếp bằng cách nâng lên lũy thừa hai vế tiếp Chú ý rằng phương trình có mộtnghiệm là x 0

Điều kiện xác định là

2

2x 1 03x 8x 4 0

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x0

 Hướng 2 Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích

Phương trình đã cho tương đương với x 1  2x 1  3 x 1  22x 1

Do a0 nên từ phương trình trên ta được ab

2x 1







để giải phương trình đã cho Chú ý xét các trường hợp để phép chia thực hiện được

Phương trình đã cho tương đương với x 1  2x 1  3 x 1  22x 1

Nhận thấy

1x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x0

 Nhận xét Phương trình chứa hai căn thức bậc hai nên hoàn toàn tự nhiên khi ta chọn phương

án ẩn phụ hóa phương trình Có hai cách ẩn phụ hóa như trên nhưng về mặt bản chất hai cách đó

là một và chỉ khác nhau ở hình thức trình bày lời giải.

Ví dụ 7 Giải phương trình x25x 3  x25x 2 5

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình đã cho thì suy nghĩ đâu tiên khi tiếp cận phương trình đó lànhân lượng liên hợp đưa phương trình về hệ tạm Ngoài ra để ý ta thấy

Hay ta được

2

2 2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1 và x6

 Hướng 2 Đặt

2 2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1 và x6

 Hướng 3 Chú ý rằng x2 5x 3  x25x 2 với mọi x thuộc điều kiện xác định

Do đó ta biến đổi phương trình như sau

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1 và x6

 Trong cách giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đường bằng cách nâng lên lũy thừa hết sức thuần túy mặc dù phương trình hệ quả thu được không được đẹp co lắm Ở đây ta

không đi giải điều kiện x25x 2  để tránh việc đối chiếu nghiệm phức tạp.5

 Lời giải thứ hai thực hiện bằng phép đặt ẩn phụ để đưa phương trình về thành hệ và ở đây có sử dụng một hằng đẳng thức hết sức quan thuộc.

 Lời giải thứ ba sử dụng cách nhân lượng liên hợp với chú ý A B A B A B 0

Ví dụ 8 Giải phương trình 4 x4 2 x  2

Phân tích và lời giải

Phương trình chứa hai căn thức bậc bốn, do đó ta không không thể sử dụng phápnâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Để ý rằng x 2 x   nên ta nghĩ đến phương2pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng hệ phương trình Ngoài ra từ điều kiện xácđịnh 0 x 2  và nhẩm thấy phương trình có một nghiệm là x 1 nên ta có thể xử lýphương trình bằng phương pháp đánh giá

 Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2 

Để ý rằng x 2 x   nên khi đặt 2 a4 x; b4 2 x a 0; b 0    

thì ta thu đượcphương trình a4b4  Phương trình đã cho trở thành 2 a b 2  Chú ý rằng a 0; b 0 nên ta suy ra được 0 a, b 2  Từ đó dẫn đến 0 ab 4 Kết hợp hai phương trình trên ta

Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng dạng 1 nên biến đổi tương

đương hệ phương trình ta được

Khi đó ta có hệ phương trình

4 4

 Hướng 2 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2 

Để ý rằng với x 1 thì ta có x 1 2 x  và x 1 2 x  4 Đồng thời lại có 2 x 1 2 2 x   

và 2 x 1 2 2 x   4  Do đó ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá phương trình

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm ta được

x 11

Thử x 1 vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

 Hướng 3 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2 

Lại thấy do x 1 nên ta có 4 x 4 2 x n do đó để hạ bậc căn thức ta có thể sử dụng bất

Như vậy để phương trình 4 x42 x  có nghiệm thì các bất đẳng thức trên đồng thời 2xẩy ra dấu bằng, tức là 4 x 4 2 x  1 x 1

Thử x 1 vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 9 Giải phương trình x 3  48 x 2  8x  x 24

Phân tích và lời giải

Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là 12 x 4   Phương trình chỉchứa một căn thức bậc hai, do đó khi thực hiện nâng lên lũy thừa thì ta thu được phươngtrình bậc bốn, do ta không nhẩm nên ta phân tích phương trình bậc bốn thành tích của haiphương trình bậc hai, để xử lý điều này ta sử dụng phương pháp hệ số bất định, tuy nhiênhướng đi này gây cho ta có nhiều khó khăn

Để ý ta nhận thấy 48 x 2 8xx 3 2 57 2x

Như vậy khi ta thực hiện phép đặt

ẩn phụ a x 3; b 48 8x x  2b 0 

thì ta thu được a2 b2 57 2x Mặt khác ta lại có ab x 24 hay 2ab2x 48 Như vậy kết hợp hai kết quả trên thì

ta thu được phương trình a b 2 9

Như vậy ta giải được phương trình

 Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là 12 x 4  

Đặt a x 3; b 48 8x x  2 b 0 

Khi đó ta được a2 b2 57 2x

Phương trình đã cho trở thành ab x 24 hay 2ab2x 48

Kết hợp hai kết quả trên ta được a b 2  9 a b 3

hay ta được

2 2

Ta xét hai trường hợp sau

+ Nếu t x 0, suy ra t , do đó ta được x

 Hướng 3 Để ý đến đại lượng   2

Như vậy phương trình đã cho giải được

Điều kiện xác định của phương trình là 12 x 4   Phương trình đã cho tương đương với

đã cho ta thấy x 2 7 2  không thỏa mãn

Hay

2 2

2 2

x 4x 24 02x 6

S 2 7 2; 5   31

Ví dụ 10 Giải phương trình 3 3 2x 2 3x 2 1     3 4x 3  

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có chứa gai căn bậc lệch nhau nên để loại bỏ căn thức ta có thể

sử dụng ẩn phụ hoặc sử dụng phép nhân đại lượng liên hợp, ngoài ra ta cũng có thể sử dụng phương pháp đánh giá Để ý là nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x 1 là một nghiệm của phương trình

 Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là

2x3

 Phương trình đãcho có chứa tích 3 3 2x 2 3x 2 1    

Để ý rằng với

2x3

 thì 2 3x 2 1 0   , do đó

phương trình đã cho được viết lại thành

  Để loại bỏ căn thức dưới

2 3x 2 1 2 3x 2 1       4 3x 2  1 3 4x 3   

, như vậy ta viết được đã cho phươngtrình lại thành 3 3 2x 2 3x 2 1 

Chú ý là phép nhân lượng liên hợp thực hiện được ta xét các trường hợp

2 3x 2 1 0   và 2 3x 2 1 0   Đến đây ta có các cách trình bày lời giải cho phươngtrình

+ Cách 1 Do

2x3

 nên 2 3x 2 1 0  

không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

 Xét 2 3x 2 1 0   , khi đó phương trình đã cho tương đương với

Từ đó dẫn đến 3 2x 1   x 1 Kết hợp với điều kiến xác định của phương trình ta được

x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

+ Cách 2 Để ý rằng phương trình có nghiệm là x 1 nên ta có thể biến đổi phương trình thành

 Hướng 2 Từ phân tích trong hướng thứ nhất ta thu được phương trình

3 3 2x 2 3x 2 1  hay ta viết lại thành 3 2x 3 2 3x 2   1 Nhận thấy khi x 1 thì

ta có 3 2x 3 2 3x 2   1 và khi x 1 thì ta lại có 3 2x 3 2 3x 2   1, mà phương

trình lại có x 1 là nghiệm nên ta sử dụng phép đánh giá phương trình xoay quanhnghiệm x 1

Điều kiện xác định của phương trình là

3x2

 Phương trình đã cho tương đương với

+ Trường hợp 1 Với x 1 , khi đó ta có 2x 3  1 và 3x 2 1 

Từ đó dẫn đến 3 2x 3 2 3x 2     1 2.1 1 hay phương trình 3 2x 3 2 3x 2   1 vô nghiệm

+ Trường hợp 2 Với x 1 , khi đó ta có 2x 3  1 và 3x 2 1 

Từ đó dẫn đến 3 2x 3 2 3x 2     1 2.1 1 hay phương trình 3 2x 3 2 3x 2   1 vô nghiệm

+ Trường hợp 3 Với x 1 , khi đó ta có 2x 3 1 và 3x 2 1 

Từ đó dẫn đến 3 2x 3 2 3x 2    1 2.1 1 hay phương trình 3 2x 3 2 3x 2   1 có nghiệm là x 1

Kết hợp với điều kiến xác định của phương trình ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Nhận xét Trong hai hướng tìm lời giải trên ta thấy hướng thứ nhất tự nhiên hơn và cũng dễ

phát hiện hơn Hướng giải thứ hai sử dụng phương pháp đánh giá chỉ thực sự được hình thành sau khi nhẩm được nghiệm của phương trình

Ví dụ 11 Giải phương trình 4x2 2x 9 9

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy phương trình chỉ chứa một dấu căn bậc hai, do đó

để lạo bổ căn thức ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa hoặc phương pháp đặt ẩn

phụ Trước hết ta ta tìm được điều kiện xác định của phương trình là

9x2



 Hướng 1 Để loại bỏ căn thức trong phương trình ta có thể đặt y 2x 9 , y 0  Khi đó phương trình đã cho trở thành

ta giải được hệ phương trình và xem như phương trình đã cho được giải quyết

Điều kiện xác định của phương trình là

9x2



Đặt y 2x 9 , y 0 

Khi đó ta cóphương trình y2 2x 9

Phương trình đã cho trở thành 4x2y 9 Từ đó ta có hệ phương trình

2 2

Ta xét hai trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Nếu 2x y 0   y2x, từ đó ta được

 Hướng 2 Cũng là ý tưởng đặt ẩn phu để loại căn thức, nhưng ở đây ta thử đặt ẩn phu

để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với mỗi ẩn rồi kiểm tra xem biệt thức  có chính phương không

Với ý tưởng đó ta viết phương trình lại thành 2x 9  2x 9 4x  2 2x 0

Đặt t 2x 9 , t 0  Khi đó ta có phương trình tt2 4x 22x 0  Xem phương trình có

 Hướng 3 Chú ý đến căn thức 2x 9 , khi đó nếu nhân thêm một hệ số chẵn thì ta thấy

có dạng 2ab của hằng đẳng thức bậc hai Chú ý rằng hệ số của x là 4 nên khi nhân thêm2

hệ số ta chọn số chính phương Do đó ta viết phương trình lại thành 16x2 4 2x 9 36.Đến đây nếu ta viết một vế của phương trình về dạng A2B2 thì vế còn lai không bằng 0,

do đó ta viết phương trình về dạng A2 B2 Để viết phương trình về dạng A2 B2 tachuyển vế 4 2x 9 sang vế kia Khi đó i phương trình biến đổi thành

Điều kiện xác định của phương trình là

9x2

2

4x 2x 9 9 16x 4 2x 9 3616x 8x 1 4 2x 9 4 2x 9 1 4x 1 2 2x 9 14x 1 2 2x 9 1 2x 2x 9

 Hướng 4 Sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để đưa phương trình về dạng

phương trình bậc 4 Do không có nghiệm đẹp nên khi phân tích phương trình bậc 4 thànhtích ta được hai nhân tử là các tam thức bậc hai Để tìm được các tam thức bậc hai đó ta sửdụng phương pháp hệ số bất định

Thực hiện nâng lên lũy thừa ta được 2x 9  9 4x2  8x4 36x2 x 36 0 

Giả sử 8x4  36x2 x 36 0  ax2bx c mx   2nx k 

Khai triển và đồng nhất hệ sốhai vế ta được am8; bm an 0; ak cm bn    36; bk cn 1; ck 36 Ta không tiếnhành giải hệ trên mà đi chọn các giá trị nguyên của từng cặp hệ số tương ứng thử vào hệtrên để tìm bộ số thỏa mãn Chẳng hạn ta chọn a4; m thay vào rồi thử tiếp các cặp hệ2

số tương ứng tiếp Qua một thời gian thử ta chọn được bộ số thỏa mãn là

a4; b2; c 9; m 2; n 1; k 4 Tức là ta phân tích được phương trình thành

4x2 2x 9 2x   2 x 40

Đến đây ta giải được phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là

9x2



.Phương trình đã cho tương đương với 2x 9  9 4x2 Biến đổi tương đương tiếp ta được

2 2

4x 94x 9

4x 2x 9 2x x 4 08x 36x x 36 0

x

44x 2x 9 0

x

42x x 4 0

 Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có hình thức đơn giản tuy nhiên nó khá thú vị vì nó

mở ra nhiều hướng tiếp cận phương trình Với mục đích thoát căn nên với phép đặt ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng hệ phương trình gần đối xứng dạng 2 Khi dó phương trình được giải một cách nhẹ nhàng.

Ví dụ 12 Giải phương trình x 1 x 3     5 5x 11

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hình thức tương tự như phương trình cho trong ví dụ 11

Do đó ta có các hướng tiếp cận phương trình như đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệphương trình đối xứng dạng 2, biến đổi phương trình về dạng A2 B2, sử dụng phép đặt

ẩn phụ không hoàn toàn để đưa phương trình về dạng tích hay phép nâng lên lũy thừa

 Hướng 1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng dạng 2.

Để ý rằng 5x 11 5 x 2    1

và x 1 x 3     x24x 3 x 2 2 1

Khi đó nếuđặt t x 2 thì ta viết phương trình lại thành t2 1 5 5t 1  Đến đây ta có thể chuyểnphương trình về hệ phương trình đối xứng dạng 2 bằng phép đặt

Điều kiện xác định của phương trình là

11x5

 Hướng 2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình về dạng tích

Trước hết ta viết phương trình lại thành 5x 11 5 5x 11 x    2  9x 14 0  , khi đó

thực hiện phép đặt t 5x 11, t 0   

thì ta có phương trình t25t x 2 9x 14 0  Đểkiểm tra xem phương trình phân tích được thành tích không ta xem phương trình có ẩn t

và kiểm ta biệt thức  có chính phương không Ta có

5 4 x 9x 14 4x 36x 81 2x 9

Như vậy phương trình phân tích được

Điều kiện xác định của phương trình là

11x5

1 29x

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

1 29S

2

4x 36x 81 4 5x 11   20 5x 11 24   2x 9  2 5x 11 5 

Như vậy phương trình giải được

Điều kiện xác định của phương trình là

11x5

 

2 2

2 2

Nhận xét Trong cách giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về

dạng hệ đối xứng kiểu II Các bước thực hiện có thể hiểu đơn giản như sau:

 Biến đổi phương trình sao cho vế phải có dạng mx n 2 b

và căn thức trong vế trái có thể viết dưới dạng a a mx n   b

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho được viết lại thành 2x2 6x 3  4x 9 , hoàn toàn tương tự

nư trên ta có các hướng giải cho phương trình

 Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là

9x4

Phương trình  *

trở thành t2 15 2y Khi đó ta có hệ phương trình

2 2

2x 6x 3 4x 9 4x 8x 4 4x 9 2 4x 9 1

2x 2 4x 9 1 2x 3 4x 92x 2 4x 9 1

Nhận xét Phương trình đã cho có dấu hiệu khả quan về việc đưa về hệ phương trình đối xứng loại

hai, khi đó ta có thể xử lí như sau:

+ Để hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại hai thì các hệ số của các ẩn tương ứng trong hai

phương trình tuân theo dãy tỉ số

Kết hợp với điều kiện xác định của hệ phương trình ta có tập nghiệm là

Biến đổi phương trình trên ta được

   

2 2

Cách 6 Điều kiện xác định của phương trình là x 2

Phương trình đã cho tương đương với 2x 1 23x 2 2 2x 1    3x

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hình thức gần tương tự với phương trình trong các ví dụtrên chỉ khác ở chỗ biểu thức nhân với căn thức không phải là hằng số mà là một biểu thứcchứa ẩn Do đó ta nghĩ đến các biến đổi để tiếp cận lời giải cho phương trình theo cáchướng ẩn phu hóa đưa phương trình về dạng hệ đối xứng dạng 2, đặt ẩn phụ không hoàntoàn đưa phương trình về dạng tích, biến đổi phương trình về dạng A2 B2 và sử dụngphép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng phương trình nhẩm được một nghiệm đẹp là x3

 Hướng 1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng hệ đối xứng dạng 2.

Do biểu thức nhân với căn bậc hai là x 1 nên ta có biến đổi 2  

x  x 3 x x 1   3

.Khi đó đặt t x 1 thì ta viết được phương trình về dạng x2  3 t xt 3 Đến đây thực

hiện phé đặt ẩn phụ y xt 3 , y 0  thì ta thu được hệ phương trình

2 2

Đến đây ta đặt y xt 3 , y 0  Khi đó ta thu được phương trìnhy2 xt 3

Từ đó ta được hệ phương trình

2 2

Vậy phương trình đã cho các tập nghiệm là

Điều kiện xác định của phương trình là x R Phương trình đã cho tương đương với

 Hướng 3 Chú ý đến hệ số cao nhất của các đa thức có mặt trong phương trình ta nhận

thấy nếu thực hiện phép nâng lên lũy thừa thì phương trình thu được có bậc ba, mặt khác

ta lại nhẩm được một nghiệm đẹp là x3 nên phương trình giải được

Điều kiện xác định của phương trình là x R Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình đã cho các tập nghiệm là

 



Phân tích và lời giải

Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là

5x6

 Phương trình đã chođược viết lại thành 2x2 x 1 2 6x 5   Như vậy hình thức của phương trình tương tựnhư các ví dụ trên, do đó ta có các hướng giải quyết phương trình sau

Cách 1 Điều kiện xác định của phương trình là

5x6

 Phương trình đã cho tương đương với

2 2



Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm

 Nhận thấy 2x2 x 1 0  với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với

+ Với , phương trình vô nghiệm do

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm

Cách 4 Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương với

Đặt Khi đó phương trình trên trở thành

Ta xét hai trường hợp sau

x6

4x 2x 2 4 6x 5 4x 4x 1 6x 5 4 6x 5 4

2x 1 6x 5 2 2x 1 6x 52x 1 6x 5 2

x6



Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta chú ý đến nhị thức bậc nhất nhân với căn thức ta viết được tam thức trong căn thành Lại thấy

Đến đây ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng hệ phương trình đối xứng dạng 2

Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình đã cho tương đương với

b 14n b 5 4n b 5